Journal On ne sera jamais trop équitable...

Posté par (page perso) .
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9
6
avr.
2010
Un petit moment de détente.

Deux chercheurs américains ont planché onze ans sur le problème du partage équitable d’une pizza.
http://www.courrierinternational.com/article/2010/01/14/conn(...)

Ils ont publié un texte (en anglais et pdf) pour théoriser la chose dans la magazine New Scientist.
http://www.lsus.edu/sc/math/rmabry/pizza/Pizza_Conjecture.pd(...)

Voici une image avec quelques éléments simples et pratiques.
http://www.courrierinternational.com/files/illustrations/Gra(...)


Pour finir, les deux chercheurs avouent que leur objectif n'a jamais été de trouver une solution réalisable mais juste de trouver une solution.
Souvent, nous accordons peu d’importance au fait que les résultats aient des applications ou non. La beauté des résultats nous suffit en elle-même.
  • # ça me rappelles ma terminale...

    Posté par . Évalué à 2.

    ... où j'avais posé la question au prof de maths qui n'avait aucune formule ou démo en stock pour expliquer comment faire, et ça afini autour d'une pizza avec une balance pour vérifier que mon postulat (il suffit que chaque convive ne prenne qu'une part sur 2 en tournant dans un sens ou l'autre...) était vrai...

    Ça y est donc : un des grands mystères de la vie enfin révélé. Onze ans quand même...
  • # Fabuleux

    Posté par . Évalué à -1.

    À quand l'Ig Nobel ? :-)
  • # La chèvre dans le champ rond

    Posté par . Évalué à 3.

    J'adore ce style de pb simple à énoncer et pourtant très dur à résoudre.

    Plus simple que celui-ci (mais bien tordu), j'en connais un pas mal:
    Dans un champ rond, on attache une chèvre à l'un des piquets de clôture. Quelle doit être la longueur de la corde (par rapport au diamètre du champ par exemple) pour que la chèvre puisse brouter la moitié de la surface du champ.
    • [^] # Re: La chèvre dans le champ rond

      Posté par . Évalué à 1.

      Je crois que c'est impossible. Ca équivaudrait à faire la moitié de la quadrature du cercle. :)

      J'ai bon?
      • [^] # Re: La chèvre dans le champ rond

        Posté par (page perso) . Évalué à 2.

        :: Je crois que c'est impossible. Ca équivaudrait à faire la moitié de la quadrature du cercle. :)

        Personne n'a dit qu'on n'avait le droit qu'à la règle et au compas.
      • [^] # Re: La chèvre dans le champ rond

        Posté par . Évalué à 4.

        C'est forcément possible.
        Définis la fonction f(r)=s, où r est le rayon d'action de ta chèvre, la longueur de la corde, et s la surface qu'elle peut brouter avec ce rayon.
        Démontrer que cette fonction est continue n'est pas forcément trivial, je pense que c'est relativement simple cependant, mais on sent bien qu'elle l'est : tu bouges un tout petit peu r, s bougera un tout petit peu aussi, sans jamais faire de « bonds ».
        Avec r=0, on a s=0, avec r=D où D est le diamètre du champs, on a s=S où S est la surface du champs : la chèvre peut tout brouter.

        Il existe donc r compris entre 0 et D tel que s=S/2.

        La solution existe. Maintenant, la trouver est certainement nettement moins simple...

        Yth.
        • [^] # Re: La chèvre dans le champ rond

          Posté par . Évalué à 3.

          en même temps, si tu veux priver la chèvre de nourriture, elle va manger la corde :)

          Sedullus dux et princeps Lemovicum occiditur

          • [^] # Re: La chèvre dans le champ rond

            Posté par . Évalué à 3.

            Et du coup, elle pourra accéder à toute la superficie du champ...
            • [^] # Re: La chèvre dans le champ rond

              Posté par . Évalué à 2.

              D'où une discontinuité en r=0, la fonction reste cependant intuitivement continue sur ]0, D].

              Et comme f(r) tend vers zéro quand r tend vers zéro, il existe bien r appartenant à ]0, D] tel que f(r)<=S/2, et comme f(D)=S>=S/2 (une surface euclidienne ne pouvant être négative ce résultat est trivial, et si on était dans une géométrie non-euclidienne, il aurait fallut le préciser dans l'énoncé, alors que l'inverse est faux : on considère par défaut être en géométrie euclidienne), il existe bien r appartenant à ]0, D] tel que f(r)=S/2.

              CQFD, ça ne change pas le résultat !

              EuclYth.
    • [^] # Re: La chèvre dans le champ rond

      Posté par . Évalué à 2.

      celui là aussi, simplissisme, n'a pour l'instant été prouvé que grâce à l'informatique : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_quatre_c(...)
      • [^] # Re: La chèvre dans le champ rond

        Posté par (page perso) . Évalué à 1.

        :: [le théorème des quatre couleurs] n'a pour l'instant été prouvé que grâce à l'informatique

        Dans l'article de Wikipédia, il est dit : pour la première fois, en effet, la démonstration exige l'usage de l'ordinateur pour étudier les 1478 cas critiques.

        La démonstration a exigé l'usage d'un ordinateur mais il y a quand même une partie de la démonstration qui est purement mathématique. Le résultat n'a donc pas été démontré uniquement grâce à l'informatique, comme tu sembles le dire.
        • [^] # Re: La chèvre dans le champ rond

          Posté par . Évalué à -2.

          C'est un problème de nombre chromatique ça non ?
          Donc c'est minaurais par la taille en nombre de noeud de la plus grande clique.

          Je vois pas pourquoi c'est majorais par 4…

          Tous les contenus que j'écris ici sont sous licence CC0 (j'abandonne autant que possible mes droits d'auteur sur mes écrits)

          • [^] # Re: La chèvre dans le champ rond

            Posté par (page perso) . Évalué à 7.

            minau... quoi ??? majo... hein ???
            tu ne te permets pas et tu vas me soigner cette vilaine peau...
          • [^] # Re: La chèvre dans le champ rond

            Posté par . Évalué à 1.

            %s/minaurais/minoré/g
            %s/majorais/majoré/g

            Pardon aux familles tout ça... (et puis il était plus d'une heure du mat').

            Tous les contenus que j'écris ici sont sous licence CC0 (j'abandonne autant que possible mes droits d'auteur sur mes écrits)

        • [^] # Re: La chèvre dans le champ rond

          Posté par (page perso) . Évalué à 2.

          >> La démonstration a exigé l'usage d'un ordinateur

          Et wikipédia rajoute que, plus récemment,

          >> Il existe ainsi une version entièrement formalisée, formulée avec Coq par Georges Gonthier et Benjamin Werner, qui permet à un ordinateur de complètement vérifier le théorème des quatre couleurs.

          Et là, ça a beau être un ordi, c'est bien de l'informatique (au sens « mathématique » du terme). Faut pas croire que c'est "j'appuie sur un bouton". C'est une vraie preuve, écrite à la main (sur un clavier), pas un programme qui cherche à ta place. L'avantage, c'est que si t'as une erreur dans ta preuve, ben, ça marche pas !
    • [^] # Re: La chèvre dans le champ rond

      Posté par (page perso) . Évalué à 4.

      hum avec un peu de géométrie analytique on devrait y arriver. (r = rayon du champ, l = longueur de la corde)

      x² + y² = r²
      (x-r)² + y² = l² (le x-r c'est pour avoir le centre du cercle de la chèvre qui est sur le premier cercle)

      Si je pose ces équation en système j'obtiendrai facilement les coordonnées en x des points d'intersection

      x² -2xr + r² + y² = l²
      2r² -2xr = l² (j'ai remplacé le x² + y² par r²)

      x = (l² - 2r²)/(-2r) = (2r² - l²)/(2r) [nombre noté a]

      Donc on a les coordonnées x des deux points d'intersection. Avec http://fr.wikipedia.org/wiki/Segment_circulaire je devrais m'en sortir :P en effet on se retrouve à calculer deux segment circulaire. (avec un dessin on voit bien).

      Pour la partie de droite :
      θ₁ = 2 arccos(a/r) = 2 arccos(1 - l²)
      A₁ = r²/2 (θ₁ - sin θ₁)

      Bon, j'aurais du arccos qui se baladera… zut.

      Pour la partie de gauche :
      θ₂ = 2 arccos((r-a)/l) = 2 arccos(-l/2r)
      A₂ = l²/2 (θ₂ - sin θ₂)

      Au final je veux que :
      A₁ + A₂ = πr²/2

      Bon je suis un peu complétement bloqué avec tous les arccos qui traînent et je n'apprécie pas trop la trigo… il y a vraiment une solution ?
  • # 2 ans pour ça

    Posté par . Évalué à 2.

    Qu'est-ce qui leur fait croire à la base que les pizze sont toutes parfaitement circulaires ?

    En tout cas je fais les miennes rectangulaires, d'une part parce que c'est plus commode, et d'autre part parce qu'il y'a moins de gaspillage par rapport à la surface de mon four.
  • # Dans le même genre...

    Posté par (page perso) . Évalué à 4.

    ...vous connaissez le théorème du sandwich au jambon ?

    C'est un théorème de topologie qui dit que si on prend un ensemble P de l'espace (le pain), un ensemble J (le jambon) et un ensemble F (le fromage), alors il existe un plan (un coup de couteau) qui coupe le sandwich en deux parties contenant le même volume de P, de J et de F.

    Ceci reste valable même si on a préalablement découpé le pain, le jambon ou le fromage en plusieurs morceaux, pour des raisons pratiques.

    Et c'est valable même si vous remplacez le jambon par de la salade. Mais c'est nettement moins bon.

    http://en.wikipedia.org/wiki/Ham_sandwich_theorem
  • # j'aimerais pas...

    Posté par . Évalué à 7.

    voir la gueule de la pizza après 11 ans d'étude (enfin, pour ceux qui aiment les champignons, il doit pas y avoir de problème...)
    • [^] # Re: j'aimerais pas...

      Posté par (page perso) . Évalué à 3.

      Et moi je ne vois pas du tout l'intérêt de partager une pizza : si on a une petite faim, on n'en mange qu'une, et si on est plusieurs, ben on en prend beaucoup !

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