LaurentClaessens a écrit 163 commentaires

Il milite pour la definition du Frido qui est bien evidemment la bonne, surtout si on veut enoncer des theoremes de composition. C'est la definition en prepa au programme de MPSI. Si il y a un programme de l'education nationale qui definit la limite au sens usuel comme la limite lorsque x tend vers a lorsque x est different de a, c'est effectivement une erreur grave car c'est ingerable pour la composition.

Il y a malcomprenure je crois. Dans le Frido, il est défini lorsque pour tout , il existe un tel que implique .

Ça a déjà été discuté l'année passée ainsi que sur les deux pages de discussions de Wikipédia, par exemple ici.

Cette définition, dite «épointée» en France, est la définition admise par la totalité de la communauté mathématique au monde, sauf dans les programmes Français.

Pour répondre à la question initiale :

quel est le programme de maths français qui dit que la limite en un point a est la limite lorsque x tend vers a pour x différent de a ?

La réponse est «aucun». Justement, les programmes Français sont le seul endroit au monde où l'on trouve la limite définie sans exclure du domaine où varie.

Et pour la remarque finale :

J'ai un peu de mal a croire qu'il existe d'ailleurs, car les personnes qui l'auraient redige auraient clairement craque leur slip.

Toute la planète a craqué son slip.
https://math.stackexchange.com/questions/2324926/a-question-about-definition-of-limit
https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_of_a_function
https://zh.wikipedia.org/wiki/函數極限

Pourquoi le Frido suit la définition «épointée» ?

Les mauvais arguments d'abord

• Par argument d'autorité : monsieur Perrin dit que les deux choix sont possibles et défendables. Donc j'ai le droit.
• De l'aveu même de Perrin, la définition «pointée» n'a pas d'arguments très convaincants et doit son appui pour le CAPES pour rien de plus profond que «c'est ce qui a été utilisé dans le secondaire».

Maintenant les vraies raisons.

• Il faut être cohérent. Or si on veut faire des maths un poil plus loin que l'enseignement en France, il n'y a aucun débat : c'est la limite «épointée». Il est donc plus commode d'utiliser tout de suite la définition universellement admise.
• La limite épointée permet de distingue plus de cas. En effet la phrase «la limite épointée de f en a existe» donne à f un peu moins de régularité que la phrase «f est continue en a», tandis que «la limite pointé de f en a existe» implique la continuité de f en a.
• la limité épointée traduit l'idée intuitive de « la valeur f(x) s'approche de l quand x s'approche de a ». La limite pointée traduit l'idée intuitive de « la valeur f(x) est proche de l quand x est proche de a ».
• Si on a peur que f soit pathologique en a, la limite épointée permet de travailler en deux coups : d'abord on calcule la limite épointée en a (qui ne dépend pas de la pathologie éventuelle en a), et ensuite on calcule la valeur en a et on peut la comparer à la limite.

La limite pointée est d'accès un poil plus simple (en particulier pour la composition), mais elle paye en étant moins un poil moins riche en nuances.

Cette simplicité d'accès est certainement un bon argument pour la prendre dans le secondaire. Mais, si c'est là la raison de l'avoir choisie dans le secondaire, je disconviens respectueusement avec Perrin avec l'opportunité de "reconduire" cette définition aux niveaux plus avancés.

Parce que Giulietta fait plein de références au Frido. On a beau vouloir faire de la théorie des champs, il faut (souvent) citer des théorèmes sur les espaces de Hilbert, et (moins souvent) sur les extensions de corps. J'ai toujours été ennuyé par les livres de physique qui faisaient «comme si» le lecteur savait tel ou tel résultat.

Cela fait partie de ma philosophie du «tout en un».

Le doctorat est la formation initiale; un professionnel est quelqu'un dont c'est la profession, c'est à dire qui est payé pour le faire, et qui le fait donc (en principe) 8h par jour tous les jours.

Oui; je me suis planté en tapant le titre sur thebookedition.com. La honte. J'ose pas corriger, parce que je ne sais pas ce que ça causerait sur la validité des URL.

À mon avis le succès annuel est relativement limité.

En 2016, c'était une trilogie; en 2017, 2018 c'est devenu une quatrilogie. Voici les ventes :

2016: (17,17,17)= 51
2017 : (9,9,9,10)= 37 <-- qui a acheté le 4ième tome sans les autres ??
2018 :(9,7,7,7) = 30

Cela dit, il faut comprendre qu'acheter le Frido n'est pas souvent un bon calcul. En effet, à part pour passer l'agrégation, je ne vois pas pourquoi on le voudrait en papier (si mes souvenir sont bons, l'année passée, quelqu'un a commenté sur linuxfr qu'il lisait le Frido dans le train comme d'autres lisent le Fables de La Fontaine, sauf que ça frime plus).
Même pour passer l'agrégation, il y a deux cas. Soit le candidat est dans une université et alors il peut prendre une valise entière de livres à la bibliothèque (ne rigolez pas, j'en ai vu). Si le candidat est un candidat libre, le Frido est une possibilité (qui coûte 100 euros quand même). Mais ce n'est pas un mauvais calcul d'acheter en occasion trois ou quatre livres très connus et de compter sur les malles «des autres» le jour J.

Tout cela pour dire que j'ai un seul témoignage de quelqu'un (à part moi) qui a utilisé le Frido pour l'agrégation; c'est Lillian Besson qui est par ailleurs un des grands contributeurs. Mais lui, il l'a utilisé avant que le Frido soit vendu.

Je précise que la fois où j'avais le Frido avec moi, j'ai réussi.

Au niveau des contributions, le résultat est bon.

• Dans les remerciements, je compte 26 personnes qui ont fait des commentaires (j'espère n'avoir oublié personne)
• Il y a 12 contributeurs dans le dépot git, c'est à dire 12 personnes qui ont fait des commits
• J'ai perdu le compte des corrections/commentaires que j'ai reçu par mail personnel.

Par contre, le principal objectif n'est pas du tout atteint. À ma connaissance, aucun mathématicien professionnel (ce que je ne suis pas) n'a essayé de publier un livre collaboratif. Autrement dit, le Frido n'a pour l'instant convaincu personne que publier les sources LaTeX et compter sur les lecteurs pour faire des commentaires est aussi efficace que faire relire le manuscrit par un éditeur commercial.

Pour info, le HoTT book a précédé le Frido.

En gros c'est un peu le sujet de la discussion – cf. ma remarque concernant le théorème 1. Et quand on passe l'agreg on n'a pas le droit de se prendre les pieds dans le tapis sur des notions aussi fondamentales que la continuité et les limites.

J'avais oublié la réponse plus mathématique à cette objection. La voici.

Comme je le disais plus haut, la limite pointée est sûrement plus simple pour les énoncés simples. Mais elle donne moins d'informations; il y a conservation de la difficulté.
La limite pointée ne permet pas de faire facilement la différence entre une discontinuité vraiment sale du genre de sin(1/x) en x=0 d'une discontinuité un peu artificielle comme la fonction

qui se règle en bougeant un seul point.

Donc bon. L'utilisation de la limite pointée simplifie les trucs très simples, mais demande l'introduction de nouveaux outiles (essentiellemet équivalents à la limite épointée) lorsqu'on entre dans les chose à peine moins simples.

En gros c'est un peu le sujet de la discussion – cf. ma remarque concernant le théorème 1. Et quand on passe l'agreg on n'a pas le droit de se prendre les pieds dans le tapis sur des notions aussi fondamentales que la continuité et les limites.

Pas du tout. Le problème vient du côté "tout en un" du Frido, et de son histoire. J'avais commencé par écrire de l'analyse réelle tout à fait normale genre "ouvert dans R" (vraiment niveau agreg). Ensuite, j'ai voulu écrire limite/continuité dans le cadre topologique général (hors agreg) et c'est la connexion entre les deux qui me semble foirer pour l'instant.
Et justement, ça foire à cause du fait que Wikipédia prenne sans prévenir une définition pas du tout standard; j'ai suivi Wikipédia sur certains points sans être assez attentif et boum.

Depuis le temps que la faute est là, et avec le nombre de personnes m'ayant déjà envoyé du retour, j'ai une certaine confiance dans le fait que cette histoire n'a pas d'impact au niveau agreg : "fonction définie sur un ouvert de R^n".

Un grand classique du libre en somme : auteur unique, pas beaucoup de temps, manque de relecture… de temps en temps on tombe sur une perle.

Outre une quantité phénoménale de fautes de frappe, il y en a quelque grâves listées ici :
https://github.com/LaurentClaessens/mazhe/blob/master/erratum.md

et ces théorèmes sont plus pénibles à énoncer ou utiliser avec la définition de limite “sans le point”.

Oui. Mais ils disent un peu plus : dans le cas de la limite épointée, on distingue naturellement trois cas : limite n'existe pas, limite existe mais pas égale à la fonction, limite existe et est égale.

Si le but est de préparer des candidats à l'agreg de maths, c'est quand-même important de considérer le point de vue français sur la question.)

Alors le Frido est pour vous : il présente les deux notions, montre les différences, et prévient le lecteur qu'il risque de se faire arnaquer si il essaye de croiser des références françaises avec des références d'autres pays (d'ailleurs, la rédaction de ce paragraphe doit beaucoup à ce fil de commentaires).

Et comme c'est du libre et que l'auteur principal est sympa, il ne refusera sûrement pas une contributions donnant plus de résultats concernant la limite pointée.

Bon. Ce disant, je remarque qu'il y a encore du flottement dans le Frido lors du passage des définitions topologiques vers leurs "avatars" sur R. Tel qu'écrit dans le Frido, il y a (je crois) une incohérence pour limite et continuité d'une fonction définie sur un singleton ou plus généralement sur un espace contenant un point isolé.

Dites les gars, si quelqu'un voulait un jour «défendre» la limite épointée en citant autre chose que de sources françaises (ce qui confirme ma thèse que Wikipédia viole le principe de neutralité de point de vue), je signale qu'il y a des sources secondaires au moins sur les Wikipédia italianophones et anglophones.
Comme ça, vous pourriez dire qu'il y a eu un jour quelque mathématiciens autre que Français qui ont considéré la limite pointée.

Ah, et pour clarifier : source «secondaire» n'est pas péjoratif, que du contraire. Sur Wikipédia, «secondaire» signifie «qui n'a pas inventé», à mettre en opposition à «travail originial». Ce sont les sources secondaires qui donnent leur pertinence aux concepts. Bourbaki est typiquement une source secondaire qui a beaucoup de pertinence.

La définition “où on enlève le point“ donne des théorèmes plutôt moins jolis (par exemple la caractérisation d'une fonction continue par les limites) mais évite de devoir travailler avec deux définitions de limites (limite en un point du domaine et limite en un point extérieur adhérent au domaine) ce qui est peut-être un avantage “dans les petites classes”.

M'est avis qu'il ne faut pas deux définitions de limites, parce que la définition pointée demande quand même de prendre l'intersection entre le voisinage et le domaine de la fonction.

Pour la dérivée, on peut écrire

même avec une limite pointée. Les gens ont souvent le scrupule de préciser

mais si j'ai bien compris, formellement, c'est inutile.

Je crois que le seul cas où les deux définitions ne sont pas complètement interchangeables, c'est quand la fonction existe au point considéré, comme pour

Ici, la limite pointée n'existe pas alors que la limité épointée donne .

Mais comme il est assez râre d'utiliser la notion de limite là où une fonction existe, en pratique tout ceci n'a aucune importance.

D'autre part, dans mazhe.pdf, je n'ai pas trouvé la définition d'un monoïde

Définition ajoutée.

Bien vu. Après lecture attentive, tout est faisable assez simplement, et sans recourir aux fonctions trigonométriques.

C'est donc tapé et publié. Bonne avancée. Merci.

chémwasamarche(tm)

Firefox 62, ubuntu Bionic.
Peut-être un problème de fonte ?

Ça fait la même chose sur des autres documents de math ?

Enfin, votre paragraphe 0.4 : oui, très bien, à ceci près que dire que la définition pointée n'est jamais utilisée en dehors du lycée ne correspond pas à la réalité que j'ai connue

Corrigé, merci.
J'en ai profité pour remanier tout le paragraphe afin de le rendre plus utile.

J'oubliais un point très important; plus important que tout mon blabla sur la limite : j'adore Wikipédia et quand je me pose des questions sur une convention ou une notation, le plus souvent je choisis celle de Wikipédia. Ma râlerie à propos de la limite est un cas très isolé.

Si je compte bien, Wikipédia arrive 114 fois dans la bibliographie du Frido.

Réponse en quelque points brefs

• Comment je sais que «limite» au sens pointé est un francocentrisme ? Est-ce que la présentation en l'état est un viol du principe de neutralité de point de vue ? Tout cela est discuté sur la page de discussion, et également sur l'autre page de discussion. Si il y a quelque chose à ajouter sur ces questions, je propose qu'on aille là.
• Si j'édite la dépêche pour changer «définition fausse» en «définition francocentique qui m'irrite», est-ce que ça irait mieux ? (là au moins ce serait clair que le problème est mon irascibilité, plutôt que Wikipédia)
• Dans le Frido, il y a d'autres choix qui sont faits, qui ne sont peut-être pas ceux attendus à l'aggreg. Entre autres dans la définition de «compact», de «ln» (sur les complexes). Ces points sont clairement notés là où ils arrivent et répertoriés dans le paragraphe 0.4 «Quelques choix qui peuvent provoquer des quiproquos » du Frido. Si tu penses que ce n'est pas clairement expliqué, et que ça peut induire en erreur, n'hésite pas à me le signaler.

Pour des points de vue plus argumentés sur les avantages et inconvénients de chaque définition, on lira avec intérêt ce papier de Daniel Perrin

La limite pointée a bien entendu une notabilité suffisante pour être mentionnée sur Wikipédia : il y a ce Perrin et quelque autre sources secondaires citées sur les pages de discussion.
C'est ce que font les Wikipédias anglophones et italianophones : la limite pointée est mentionnée, mais n'est pas la définition.

Mais la neutralité de point de vue de Wikipédia est de donner tous les points de vue, proportionnellement à leur représentativité. Dans ce cadre, la seule définition possible est la limite épointée. Les pages de discussions montrent très clairement que la présentation donnée par Wikipédia est un pur francocentrisme.

Après, une définition n'est, mathématiquemet, jamais «fausse». Ici, quand je dis «faux», j'entends : «différente de ce à quoi s'attend la totalité de la communauté». Et, dans le cadre de Wikipédia, «contraire au principe de neutralité de point de vue».

Je vais tenter de lire cette démonstration très soigneusement. Le point délicat est que le Frido n'accepte que des références vers le haut; autrement dit, aucun résultat n'utilisant d'Alembert ne peut être utilisé avant d'avoir démontré d'Alembert.
Du coup, si on utilise quelque chose comme la forme trigonométrique des nombres complexes, ça risque de faire bouger énormément de résultats.

C'est une des raisons pour lesquelles j'ai pour l'instant décidé de mettre ce théorème avec Galois (rien que des choses pas démontrées) parce que j'ai une certaine certitude que la démonstration par ce biais est sans "dépendances" : il y a seulement des corps, des groupes et des extensions.

En revanche les constructions de naturels, fractions, réels […] étaient bien au programme

Pour les naturels, j'ai en fait un doute. Ce qui est faisable sans trop de problèmes est de dire que le vide est un naturel et ensuite de définir

n+1 = n U {n}

(je répète wikipédia)

Par contre, du point de vue de la théorie des ensembles, ce n'est pas évident qu'il existe un ensemble qui contient tous les ensembles ainsi créés. J'imagine que tous les ensembles d'ordinaux jusqu'à un ordinal limite (non compri) satisfont la construction. D'après Wikipédia, N est alors défini comme l'intersection de tous les ensembles qui satisfont la construction.

Bref sans toucher de près aux axiomes de la théorie des ensembles, oui on peut faire la construction des entiers naturels, mais pas celle de l'ensemble des entiers naturels ni même fairela construction RIEN QUE des entiers naturels.

Ou alors je me fais des idées …

En tout cas, c'est pour ça que le Frido accepte sans détails la théorie des ensembles, les naturels et les premières propriétés des naturels.

Comme tout le monde : 24h par jour en décomptant

• le temps de boulot 9h-18h
• la famille
• le sommeil

Et en multipliant le résultat par environ 365 jours et 10 ans.

Corrigé, merci.

Donc, si je comprends bien, tu voudrais mettre les définitions/propriétés liées aux langages à la fin de ce fichier. C'est bien ça ? Et pour les machines de Turing, à la suite ?

Le mieux serait de créer un chapitre pour cela :

• ajouter un \chapter là où il faut dans mazhe.tex
• Ajouter \input{monfichier} en-dessous. Ici, monfichier doit commencer par un nombre à aller chercher dans le fichier réserve.tex.

Sinon, ajouter au bout du fichier 42, ça doit être bon pour commencer.

D'autre part, dans mazhe.pdf, je n'ai pas trouvé la définition d'un monoïde (il y a juste le lemme 6.19 qui parle de sous-monoïde et quelques autres trucs mais jamais de définition formelle). Or, l'ensemble des mots sur un vocabulaire muni du produit (concaténation) forme un monoïde (non-commutatif).

Une définition manquante de plus. Bien vu. On va ajouter ça. En général, les différentes structures algébriques sont définies dans le fichier "42" sur la construction des ensembles de nombres parce qu'on a besoin de ces structures pour les définir; par exemple Q est le corps des fractions de Z. Et pour R, on utilise à fond la structure de corps sur Q.

Enfin, en parcourant ton site, je m'aperçois qu'on travaille à 300m l'un de l'autre, ça vaudrait sans doute le coup qu'on se voit IRL pour discuter de tout ça ;)

Un petit TieBreak ?

J'ai dû mal m'exprimer. La construction de la mesure de Lebesgue n'est pas au programme au sens où la construction n'est pas au programme : tribu, algèbre de parties, completion, théorème de Caratéodory etc. Par contre, la mesure elle-même (dont les principales propriétés sont alors plus ou moins acceptées) est évidemment au programme.
Même chose pour d'Alembert : le résultat doit être connu, mais pas la démonstration (ou alors ça expliquerait mes notes catastrophiques à chaque fois que je me suis présenté :) ).

Cependant, les langages peuvent partir de la théorie des ensembles (puisque ce sont eux-mêmes des ensembles et que beaucoup de notions sont identiques).

Parfait. La première ligne du Frido est précisément qu'on accepte la théorie des ensembles. Rien ne peut nous arrêter !

Si tu es motivé, le bon fichier pour commencer est le fichier nommé 42_nombres.tex. À la fin de ce fichier, les ensembles N,Z,Q et C sont construits avec leurs principales structures : ordre, anneau, groupe, corps.

Comme tu as l'air de pouvoir en ajouter beaucoup là dessus pourquoi ne ferais-tu pas un 2° livre post-agrégation sur l'analyse. Il n'est pas obligé d'être aussi important, même un livret suffirait. Mais ainsi tu donne un cadre précis au Frido, sans te brider.

C'est une grande question. Il faut distinguer les choses qui sont en dehors du programmes des choses qui sont au-delà du programme. Exemples de choses en-dehors :

• La construction de la mesure de Lebesgue
• Le théorème de d'Alembert (celui qui donne une racine dans C pour tout polynôme)
• La construction des naturels

Ces choses ne sont pas exigibles à l'agreg, et sont en effet très longs à faire complètement. Cependant, de nombreux résultats qui sont parfaitement au programme en dépendent.
Donc, pour suivre l'ordre logique mathématique, ces résultats doivent être à l'intérieur du Frido. Ils ne peuvent pas être plus bas.

Au contraire:
* la théorie des champs quantiques,
* les fibrés principaux
* les algèbres de Hopf

sont des choses au-delà du programme au sens où ils dépendent de choses au programme de l'agreg, mais rien dans l'agreg ne les utilise. Ces matières donc effectivement dans une extension du Frido

Tout cela pour dire que non, il n'est pas vraiment possible de mettre les choses "hors programme" dans un bouquin "hors Frido".
Ce qui est par contre possible, c'est de ne pas les compiler dans le même pdf pour la version commerciale. Quand on a les bons scripts de compilation, c'est pas très compliqué. D'ailleurs c'est ce qui arrive à une vignette de xkcd présente dans la version en ligne, mais absente de la version commerciale.
Après, il ne faut pas dramatiser : il s'agit en tout pour l'instant de probablement moins de 200 pages; 100 pages pour la théorie de la mesure, 30 pages de distributions, et 10 pages de théorème de représentation de Riesz.
Même en compilant le Frido sans, ça ne ferait pas une grande différence sur le prix d'achat, ni sur le poids à transporter.

Ok, j'avais mal interprété ta réponse. Par contre, vu la réponse de la réponse, je crois que tu as mal interprété le commentaire de Thomas plus haut.
Je ne vais pas tenter de parler pour lui, mais je vais dire comment je comprends son objection.

Une monaie à preuve de travail part avec un a priori environmental très négatif. Or le site se défend très mal en n'étant pas plus ambitieux que dire «nous sommes mieux que le bitcoin». Certes, la sclériose en plaque, c'est mieux que la peste.
Il faudra être extrêment convainquant sur le fait que telle ou telle monaie est compatible avec une utilisation par 7 miliards de personnes tout en divisant par trois les émissions planétaires.
Dans le cas du bitcoin, c'est plié, c'est non. Étant incompatible avec les objectifs climatiques, le bitcoin n'est pas un candidat à être une partie de solution à quelque problème que ce soit.

Personnellement, j'inverse donc la charge de la preuve. C'est à quelqu'un qui introduit une monaie à preuve de travail de prouver en amont que c'est compatible avec le climat (et plus généralement les ressources), avant de lire plus loin.
Or là, le truc dont on parle n'a pas réussi à prouver qu'il est compatible avec des scénarios climatiquement viables. Donc je considère le Ğ1 a priori comme un grave problème climatique, et donc non ouvert à négotiations sur ses autres avantages éventuels.

En gros, je crois que c'est dans ce sens que Thomas a introduit le question des «ressources» au départ.