Journal [HS] combien fait 0,12 à l'infini ?

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juil.
2023

Comme il y a des matheux qui traînent sur ce site, avec un pote on se disait que 0,9999 à l'infini va finir par valoir 1 (la définition d'un espace complet, si on admet que R est un corps)

pour autant, 0,1212121212… ça fait 0,2 ? (en accumulant les 2)

désolé pour la question de taupin :/

/BAud et des questions existentielles o_O
eh, c'est dredi, j'ai le droit !

  • # Les devoirs sont 2x plus chers les jours fériés

    Posté par  (site web personnel) . Évalué à 10. Dernière modification le 14 juillet 2023 à 19:17.

    Appelons notre variable theophile:

    theophile = 0,1212121212...
100*theophile = 12,1212121212...
99*theophile = 12,0000000... = 12
theophile = 12/99 = 4/33

    Appelons notre autre variable melchior:

    melchior = 0,99999999...
10*melchior = 9,99999999...
9*melchior = 9,0000000... = 9
melchior = 1

    (Mais IANAM…)

  • # 0,9999... = 1

    Posté par  . Évalué à 10.

    0,9999… ne va pas finir par valoir 1, c'est seulement une autre écriture pour 1. L'explication que notre prof de math nous donnait est que entre 2 nombres réels différents on peut toujours en insérer un autre. Entre 0,9999… et 1 ce n'est pas possible, donc les 2 nombres sont égaux. De même 0,129999… = 0,13. En fait on peut dire que tous les nombres décimaux ont 2 écritures, une "courte" et une longue et pas pratique, donc inutilisée.

    Pour 0,121212… que signifie "en accumulant les 2" ?

    • [^] # Re: 0,9999... = 1

      Posté par  . Évalué à 2.

      En fait on peut dire que tous les nombres décimaux ont 2 écritures

      Si ce que tu appelles écriture, c'est ce qui correspond au développement décimal, alors oui tous les nombres décimaux ont un développement décimal propre (l'écriture courte) mais il y en a un qui n'a pas de développement décimal impropre (écriture longue) : 0.

      Si ce que tu appelles écriture, c'est le sens usuel, alors tous les nombres décimaux en ont une infinité : "1", "0001", "1.000" sont toutes des écritures du même nombre.

  • # 0,18................... ?

    Posté par  (site web personnel) . Évalué à 2.

    donc, 0,18181818…

    c'est 0,19 ou 0,2 ? — approximativement — on va dire !?

    j'ai la même avec 0,14141 41414…..

    et pi, c'est 3,14159265 (j'en ai 25 de plus)

    • [^] # Re: 0,18................... ?

      Posté par  . Évalué à 2.

      Ni l'un ni l'autre. Tu peux appliquer la même recette présentée par Benoît pour trouver 0,18… = 2/11 et 0,14… = 14/99. Mais ni 0,19, ni 0,2, même à l'infini. Si tu fais une approximation, ça dépend à combien de décimales tu coupes. Pour le premier, ça fera 0,2 ou 0,18 ou 0,182 ou 0,1818, etc. Et pour le second, par d'arrondi supérieur, donc 0,1 ou 0,14 ou 0,141 etc.

      Et pour pi, bah, ça vaut pi.

      • [^] # Re: 0,18................... ?

        Posté par  (site web personnel) . Évalué à 4.

        Et pi c'est tout.

        Adhérer à l'April, ça vous tente ?

        • [^] # Re: 0,18................... ?

          Posté par  (site web personnel) . Évalué à 2. Dernière modification le 14 juillet 2023 à 23:32.

          Et pi c'est tout

          genre 3,14159265 et j'en ai 25 de plus (au moins chui cohérent), ma casio 850 P n'en avait que 9 o_O

          • [^] # Re: 0,18................... ?

            Posté par  (site web personnel) . Évalué à 4.

            Pour envoyer quelqu'un sur la Lune ça devrait suffire

            Un LUG en Lorraine : https://enunclic-cappel.fr

          • [^] # Re: 0,18................... ?

            Posté par  . Évalué à 2.

            genre 3,14159265 et j'en ai 25 de plus

            Seulement 34 chiffres ?

            Attention si jamais tu voulais faire le tour de l'univers observable avec ça, tu aurais une imprécision de l'ordre de quelques molécules !

            • [^] # Re: 0,18................... ?

              Posté par  (site web personnel) . Évalué à 3.

              L’univers observable ayant un rayon en x*13,… a.l. ≈ 1027 m (à la louche), ça ferait tout de même des macro-molécules. Il faudra surtout faire attention à ne pas dévier et à se déplacer très proche de c pour que l’univers ne s’étende pas trop pendant le trajet.

              « IRAFURORBREVISESTANIMUMREGEQUINISIPARETIMPERAT » — Odes — Horace

              • [^] # Re: 0,18................... ?

                Posté par  . Évalué à 2.

                à se déplacer très proche de c pour que l’univers ne s’étende pas trop pendant le trajet.

                Même très proche de c, c'est pas assez rapide :). Selon l'état des connaissances actuel, il s'étend plus vite que c.

                • [^] # Re: 0,18................... ?

                  Posté par  (site web personnel) . Évalué à 2.

                  Question bête : dans le référentiel de l’observateur au centre de cette sphère, le voyage sera long, même carrément impossible. Mais étant données les transformations de Lorentz, combien durerait le voyage dans le référentiel tournant (oui, tourner va être délicat aussi) ?

                  « IRAFURORBREVISESTANIMUMREGEQUINISIPARETIMPERAT » — Odes — Horace

                  • [^] # Re: 0,18................... ?

                    Posté par  . Évalué à 2.

                    Question bête : dans le référentiel de l’observateur au centre de cette sphère, le voyage sera long, même carrément impossible. Mais étant données les transformations de Lorentz, combien durerait le voyage dans le référentiel tournant (oui, tourner va être délicat aussi) ?

                    Aujourd'hui, le "tour" de l'univers observable c'est grosso modo 3*10 ⁵⁴. Si on considère que le voyage consiste à faire le tour d'aujourd'hui (en étant magiquement téléporté dessus à la vitesse qui va bien), le temps nécessaire dans le référentiel d'un terrier, c'est
                    tout simplement t=3*1054/v. En prenant v=0.99c, c'est grosso modo 1046 s, soit 2*1028 fois le temps écoulé depuis le big bang.

                    Si le voyage se déroulait en ligne droite à vitesse constante, le temps dans le référentiel du voyageur serait donné par la transformation de Lorentz. Avec v=0,99c, le facteur de Lorentz vaut environ 7. Le voyage mettrait donc 7 fois moins de temps.

                    Si le voyage se déroule en cercle, le calcul dépasse mes compétences. Mais vu le rayon de courbure de la trajectoire, ça ne me surprendrait pas que ça ne change pas grand chose au résultat.

      • [^] # Re: 0,18................... ?

        Posté par  . Évalué à 4. Dernière modification le 15 juillet 2023 à 13:35.

        pas d'accord, c'est juste un symbole pour tau/2 ;-)

  • # HS ou pas ...

    Posté par  (site web personnel) . Évalué à 8.

    Je ne trouve pas ce journal HS, au contraire. Il s'agit d'analyse numérique. Ce n'est plus traité, ni auprès des ingénieurs, ni auprès des universitaires.

    Un normalien en méca aujourd'hui fera du Catia, mais plus d'analyse numérique.

  • # 2,5

    Posté par  . Évalué à 5.

    Ce nourjal me fait penser à une assez jolie énigme trouvée à l'époque sur fivethirtyeight :

    Soit la totalité des réels vérifiant les deux propriétés suivantes :

    • Ils sont de la forme 1/n, avec n entier ;
    • Leur développement décimal est fini.

    On demande leur somme.

    Le résultat n'a aucun intérêt, d'ailleurs, je l'ai déjà donné. Mais le cheminement, lui, est assez élégant.

    Ça, ce sont les sources. Le mouton que tu veux est dedans.

  • # Mieux vaut arrondir

    Posté par  (site web personnel, Mastodon) . Évalué à 4.

    Perso, j'aurais tendance à arrondir au nombre de mailles requises pour le tricot. C'est souvent plus simple (mais pas toujours et quand on a affaire à pas toujours ça peut compliquer pas mal).

    Cela dit, je me demande si cela répond à la question qui est posée.

    « Tak ne veut pas quʼon pense à lui, il veut quʼon pense », Terry Pratchett, Déraillé.

    • [^] # Re: Mieux vaut arrondir

      Posté par  . Évalué à 4.

      Cela dit, je me demande si cela répond à la question qui est posée

      Pas toujours.

  • # et dans l'autre sens ?

    Posté par  . Évalué à -2.

    Plus drôle et moins intuitif, c'est si on rajoute les 9 de l'autre côté:
    …9999 est égal à -1
    En effet, si on ajoute …9999 et 1, la retenue se décale à l'infini et on trouve bien 0 !

    (c'est d'ailleurs la base de l'idée de la représentation en complément à 2 pour les entiers en machine…)

    • [^] # Re: et dans l'autre sens ?

      Posté par  . Évalué à 3.

      Plus drôle et moins intuitif, c'est si on rajoute les 9 de l'autre côté:
      …9999 est égal à -1
      En effet, si on ajoute …9999 et 1, la retenue se décale à l'infini et on trouve bien 0 !

      Rajouter des 9 devant crée une série divergente. Dire d'en rajouter à l'infini n'a donc pas de sens si tu ne précises pas comment faire. Donc tu peux dire que chez toi, par définition, ça vaut -1, c'est tout aussi vrai et intéressant que si moi je dis que ça vaut 42 ou que quelqu'un dit que ça vaut les numéros du loto de demain.

      (c'est d'ailleurs la base de l'idée de la représentation en complément à 2 pour les entiers en machine…)

      Non.
      1) La représentation en complément à 2 porte sur un nombre fixes de chiffres, on ne peut pas en rajouter à l'infini.

      2) Cette convention d'écriture est différente de l'usuelle. "-1" usuelle s'écrit "11111….1111" en complément à 2. Ca ne veut absolument pas dire qu'il y a une quelconque relation entre "111111…..1111" en écriture usuelle et "-1" en écriture usuelle.
      C'est un peu comme si je disais que 4 en base 10, ça vaut 100 en base 2 et que du coup 4 est égal à 100 tout le temps. Ce sont deux notations différentes, qui ne doivent pas être mélangées.

      3) Le principe d'utiliser le complément pour les nombres négatifs fait que ça simplifie l'addition d'entier tant que tu restes dans la plage qui peut être représentée.
      Ça ne découle pas d'une quelconque propriété mathématique qui dirait que si tu rajoutes suffisamment de chiffres tu obtiens -1

      • [^] # Re: et dans l'autre sens ?

        Posté par  . Évalué à 5.

        Pour ça il faut passer dans les nombres p-adiques ! Ce qui n’est pas sans conséquences, on perd par exemple l’ordre total, et la manière de calculer les distances entre nombres n’a plus rien à voir.

      • [^] # Re: et dans l'autre sens ?

        Posté par  . Évalué à 1. 

        Rajouter des 9 devant crée une série divergente. Dire d'en rajouter à l'infini n'a donc pas de sens si tu ne précises pas comment faire. Donc tu peux dire que chez toi, par définition, ça vaut -1, c'est tout aussi vrai et intéressant que si moi je dis que ça vaut 42 ou que quelqu'un dit que ça vaut les numéros du loto de demain.

        Alors oui, on sort de la représentation usuelle, mais ça n'est pas non plus absurde comme le 42 que tu sors pour te faire plaisir. Si en additionnant y à x, je tombe sur 0, c'est assez logique de dire que y est égal à -x.

        La représentation en complément à 2 porte sur un nombre fixes de chiffres, on ne peut pas en rajouter à l'infini.

        Tout à fait, et c'est pour ça que la retenue n'a plus besoin de «partir à l'infini»; elle se perd maintenant en temps fini.

        Cette convention d'écriture est différente de l'usuelle. "-1" usuelle s'écrit "11111….1111" en complément à 2. Ca ne veut absolument pas dire qu'il y a une quelconque relation entre "111111…..1111" en écriture usuelle et "-1" en écriture usuelle.
C'est un peu comme si je disais que 4 en base 10, ça vaut 100 en base 2 et que du coup 4 est égal à 100 tout le temps. Ce sont deux notations différentes, qui ne doivent pas être mélangées.

        Là, je ne suis pas l'argument.

        Le principe d'utiliser le complément pour les nombres négatifs fait que ça simplifie l'addition d'entier tant que tu restes dans la plage qui peut être représentée.
Ça ne découle pas d'une quelconque propriété mathématique qui dirait que si tu rajoutes suffisamment de chiffres tu obtiens -1

        Wikipedia

        • [^] # Re: et dans l'autre sens ?

          Posté par  . Évalué à 2.

          Alors oui, on sort de la représentation usuelle, mais ça n'est pas non plus absurde comme le 42 que tu sors pour te faire plaisir.

          Je ne dis pas que c'est absurde, je dis que ce n'est pas défini par défaut. Rien ne t'empêche de le définir ou de préciser un cadre mathématique dans lequel c'est défini, mais sans ça, ça ne veut rien dire. Si d'autres commentaires n'avaient pas porté sur des prolongations de sommations elles aussi unusuelles, je pense que j'aurais clairement dit que c'est faux (sous-entendu avec les mathématiques usuelles).

          Si en additionnant y à x, je tombe sur 0, c'est assez logique de dire que y est égal à -x.

          Dans un anneau oui. Sauf que là, ton x n'est pas défini : ce n'est pas un entier, ni une série convergente. L'addition n'est pas définie non plus et donc parler d'un résultat égal à 0 n'a pas de sens. A partir de là, c'est dur d'appliquer une quelconque logique.

          Là, je ne suis pas l'argument.

          J'essaye de comprendre d'où vient le résultat 9999..999 =-1. Comme tu parlais de complément à 2, je me suis dit que tu es parti du principe que 111111…1 = -1 dans cette implémentation et que tu as transposé ça dans la notation usuelle en prenant 9 à la place du 1. Et il y a plusieurs erreurs à ça dont l'une qui consiste à mélanger les notations.

        • [^] # Re: et dans l'autre sens ?

          Posté par  . Évalué à 5.

          Wikipedia

          Ok je viens de relire l'article et je pense que ta confusion vient vraiment du changement de notation.

          Par défaut, quand tu écris un nombre sans précision, tu es dans la notation qui est associée au développement décimal. Dans cette notation 0,9999… est une écriture valide du nombre qui s'écrit 1 dans cette même notation.
          Par contre dans cette notation, il n'existe pas de nombre 99999…9 !

          L'article Wikipedia parle d'une autre notation, le complément en base 10. Dans celle-ci, 9999…9 est un nombre, celui qui s'écrit -1 dans la notation usuelle.
          Si je prends un exemple plus simple: 14 en base 5, ça vaut 9 en base 10. Cependant, si tu croises quelqu'un qui te dit "j'ai un résultat contre intuitif : 14 = 9", tu vas lui dire que c'est faux.
          Là c'est le même principe, ce n'est pas parce qu'il existe un système de notation dans lequel -1 s'écrit 999…9, que ça veut dire que -1 = 99999…999.

  • # L'île aux enfants

    Posté par  (site web personnel) . Évalué à 2.

    Tôt ou tard, tout fini par valoir -1/12. Tout le monde le sait …

  • # en accumulant les deux

    Posté par  . Évalué à 4.

    0,1212121212… ça fait 0,2 ? (en accumulant les 2)

    J'ai pas compris la question… en accumulant les 2 ? peut-être voulais-tu dire les 12 ? Mais même ainsi je n'arrive pas à comprendre comment tu penses que ça pourrait faire 0.2 ? forcément 0.1212… c'est plut petit que 0.122 par exemple, ça ne peut pas faire 0.2

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