Journal [Énigme] L'escargot et le géant

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oct.
2015

Cher Nal' puisque c'est dimanche et qu'il pleut, je me permets de te soumettre l'énigme suivante.

Un petit escargot est posé à l'extrémité d'une corde parfaitement élastique de 100m.
L'escargot souhaite arriver à l'autre bout de la corde. Il se meut à la vitesse d'1m/h.

Au début de chaque heure, un géant tire sur la corde et celle-ci s'allonge de façon élastique. À chaque fois la corde s'allonge de 100m de façon homogène.

Donc, à chaque fois que le géant tire sur la corde, la distance à parcourir et la distance parcourue augmentent.

À l'issue de la première heure, l'escargot à parcouru 1m, le géant tire sur la corde, celle-ci passe à 200m. Puisque la déformation est homogène, l'escargot se trouve maintenant à 2m du point de départ.

L'escargot peut-il atteindre le bout de la corde ? Si oui, en combien d'heures ?

La nimage de circonstance.

  • # erratum

    Posté par . Évalué à 2.

    Il se meut à la vitesse d' 1km/h.

    Il se meut à la vitesse d' 1m/h.

    en combien d'heure ?

    s/heure/heures/

    • [^] # Re: erratum

      Posté par (page perso) . Évalué à 4.

      Corrigé, merci.

    • [^] # Re: erratum

      Posté par (page perso) . Évalué à 4.

      Second erratum :

      À la fin de chaque heure, un géant tire sur la corde et celle-ci s'allonge de façon élastique.

      Et non pas au début, puisque, vu le début et la suite :

      Un petit escargot est posé à l'extrémité d'une corde parfaitement élastique de 100m.
      […]
      À l'issue de la première heure, l'escargot à parcouru 1m, le géant tire sur la corde, celle-ci passe à 200m.

      Le géant n'a pas tiré au début de la première heure, sinon la corde aurait mesuré 200 m dès le départ.

      Autre façon de corriger l'énoncer, un peu plus tordue :-D :

      Un petit escargot est posé à l'extrémité d'une corde parfaitement élastique de 0m.
      […]
      Au début de chaque heure, un géant tire sur la corde et celle-ci s'allonge de façon élastique.

      Puisque cette corde de zéro mètre sera donc directement étirée pour mesurer 100 m dès le départ. L'ennui c'est que la position de l'escargot sera alors NaN.

      • [^] # Re: erratum

        Posté par . Évalué à 3.

        Puisque cette corde de zéro mètre sera donc directement étirée pour mesurer 100 m dès le départ. L'ennui c'est que la position de l'escargot sera alors NaN.

        Cela pose trop de problème :
        - l'escargot est à la fois à la position initial et à la postiton finale voulu à t=0.
        - Une corde de 0m n'existe pas. Si bien-même, cette corde n'aurai aucune matière, ce qui n'est pas facile à étirer.
        - Si on tire sur la corde, où se trouvera l'escargot après ? Est-ce que l'escargot se trouvera en début ou fin de corde ? Peut-être à 80% de la corde ou au milieu ?

        • [^] # Re: erratum

          Posté par (page perso) . Évalué à 2. Dernière modification le 05/10/15 à 17:48.

          • Une corde de 0m n'existe pas. Si bien-même, cette corde n'aurai aucune matière, ce qui n'est pas facile à étirer.

          Très facile au contraire. Le néant n'apporte aucune résistance à l'étirement. En revanche l'escargot risque d'avoir du mal à glisser dessus sans tomber, parce que c'est un support qui ne fournit aucune réaction.

          • Si on tire sur la corde, où se trouvera l'escargot après ? Est-ce que l'escargot se trouvera en début ou fin de corde ? Peut-être à 80% de la corde ou au milieu ?

          C'est ce que je dis, il sera à NaN mètres…

  • # Impossible

    Posté par . Évalué à 5.

    L'escargot ne peut pas y arriver ! Au bout d'une heure, il lui reste 99 m à parcourir. Mais comme l'élastique s'allonge, il se retrouve à 2 m, il lui reste donc… 198 m ! Et ça ne va pas aller en s'améliorant…
    Parce qu'au bout de 2h, il va y avoir un autre allongement qui va ajouter presque 100 mètres !

    Pauvre escargot… Plus il avance, plus le but recule : comment veux-tu…

    • [^] # Re: Impossible

      Posté par . Évalué à 10.

      En es-tu sûr? Réfléchissons :

      • au bout d'une heure, il a parcouru 1m sur les 100, soit 1%; ce pourcentage reste inchangé avec la dilatation (2m/100)
      • au bout de la deuxième heure, il a parcouru 3m sur les 200, soit 1,5% = (1+1/2)% du trajet; (4,5m/300 après dilatation)
      • au bout de la troisième heure, 5,5m/300, soit 1,83% = (1+1/2+1/3)% (7,33m/400 après dilatation)

      Le pourcentage de chemin parcouru suit la série harmonique. Or, celle-ci diverge: il finira par atteindre son but

      • [^] # Re: Impossible

        Posté par . Évalué à -1.

        Mais on s'en moque complètement, de la distance parcourue !
        La question est (cf. énoncé) : L'escargot peut-il atteindre le bout de la corde ?
        Il peut bien parcourir des milliards de km, s'il vit assez longtemps ce pauvre gastéropode : à chaque heure la distance restant à parcourir augmente.

        • [^] # Re: Impossible

          Posté par . Évalué à 10.

          à chaque heure la distance restant à parcourir augmente.

          Seulement au début. A la fin, la distance restant à parcourir se met à diminuer (parce que, plus l'escargot se rapproche de la fin de la corde, plus l'augmentation de distance se fait derrière l'escargot et non devant).

          Si on regarde mon calcul, la distance restant à parcourir est l(t)-e(t), ce qui donne ce graphique :

           

        • [^] # Re: Impossible

          Posté par . Évalué à 9.

          Mais on s'en moque complètement, de la distance parcourue !

          Tout à fait d'accord, je ne cherche même pas à la connaître. Ce qui m'intéresse, c'est le pourcentage du chemin qui est parcouru. Et celui-ci augmente, de moins en moins à chaque étape certes, mais de manière inexorable vers l'infini. Et donc en passant par 100.

          papatte3 l'a expliqué de manière beaucoup plus détaillée que moi, en calculant même quand ça se produirait.

          Là où c'est contre-intuitif, c'est que la série harmonique, malgré le fait qu'elle augmente de moins en moins à chaque terme, est divergente et finit donc par dépasser n'importe quelle valeur donnée pour peu qu'on atteigne un nombre suffisant de termes. En l'occurrence, le temps nécessaire est de loin supérieur à l'âge de l'Univers. Mais il est fini, et c'est ça qui compte.

    • [^] # Re: Impossible

      Posté par . Évalué à 1.

      ou l'intuition, ou les maths … parfois …

      Ca revient presque qu'au même que cette vielle question de cour d'école :
      "lorsqu'on lance un ballon contre un arbre, il passe inévitablement par le milieu du trajet à parcourir, puis par le milieu du milieu et ainsi de suite … mais à force de passer par le milieu, il ne devrait jamais arriver à l'arbre ?"

      Ou comment introduire les suites divergentes en CE1 …

      Ce n'est pas parce que les choses sont difficiles que nous n'osons pas. C'est parce que nous n'osons pas qu'elles sont difficiles. - Sénéque

      • [^] # Re: Impossible

        Posté par . Évalué à 2. Dernière modification le 05/10/15 à 11:28.

        Je dirais plutôt les séries convergentes, ou comment prouver simplement que 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1 ;-)
        En primaire, on le fait aussi avec les développements décimaux qui ne s'arrêtent pas (du genre 0,3333... = 1/3) ce qui, remarquons le, est le cas pour la série précédente : 0,11111... est le développement de 1 en base 2 (la version décimale c'est 0,999999... = 1).
        À mon époque on ne faisait pas de base 2 en primaire, mais on faisait aussi de la base 5 en plus de la base 10 (je ne sais pas si c'est toujours le cas).

        Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

      • [^] # Re: Impossible

        Posté par . Évalué à 1. Dernière modification le 05/10/15 à 11:24.

        Pour le coup, la suite 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … + (1/2)n converge vers 1.

  • # Soluce

    Posté par . Évalué à 10.

    On peut dire, assez simplement, que la longueur de la corde est
     l(t)=100*(t+1)

    L'escargot, quant à lui, commence par avancer (de 1m pendant l'heure) :
     e(t+1)=e(t)+1+...

    Ensuite, quand on tire la corde, la position de l'escargot avance proportionnellement à la position de la corde :
     e(t+1)=(e(t)+1)*\frac{l(t+1)}{l(t)}

    Si on développe la formule de la longueur et on simplifie, ça nous donne :
     e(t+1)=(e(t)+1)*\frac{l+2}{l+1}

    Ce qui nous donne (je vous passe le détail du calcul) :
     e(t) = (t+1)H_t

    H_k étant le k-ième nombre harmonique (la somme des inverses des k premiers entiers naturels)

    Maintenant qu'on a posé le problème, la question est si l'escargot va atteindre le bout de la corde. On a donc plus intérêt à regarder la position relative sur la corde de l'escargot et non sa position absolue en m.

     e_{rel}(t)=e(t)/l(t) = H_t/100

    Déjà, on sait que l'escargot va arriver vu que la fonction diverge.

    • [^] # Re: Soluce

      Posté par . Évalué à 8.

      Maintenant quand arrive-t-il ?

      Il suffit de chercher t tel que e_rel(t) = 1, ce qui, si on développe, nous donne H_t = 100.

      Si on trace le machin, ça nous donne 2*1043 h soit très très longtemps.

      • [^] # Re: Soluce

        Posté par . Évalué à 2.

        En effet, la solution est de 15 092 688 622 113 788 323 693 563 264 538 538 101 449 859 497 heures.

        Les commentaires ont assez bien expliqué qu'il fallait trouver le nombre de termes pour laquelle la série harmonique (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + … ) est égale à 100.

        Pour les moins convaincus, voici une vidéo de 8 minutes explicitant la chose.

        • [^] # Re: Soluce

          Posté par (page perso) . Évalué à 10.

          Il manque juste la longueur de cet élastique magique à la fin du parcours, et puis de savoir si le géant le lâche, jusqu'où volera l'escargot?

          ⚓ À g'Auch TOUTE! http://afdgauch.online.fr

          • [^] # Re: Soluce

            Posté par . Évalué à 2.

            A la fin du parcours, l'escargot se situe au bout de l'élastique (du point de vue du géant), le vol engendré ne devrait pas valoir l'attente.

          • [^] # Re: Soluce

            Posté par . Évalué à 1.

            Et bien, vu que l'élastique grandit de 100m/h et que l'escargot atteint le but en 15.10⁴²h, il est assez simple de calculer la longueur de la corde à la fin …

            Pour la distance à laquelle arriverait l'escargot, je me prononce moins. Convertir l'énergie élastique d'un ressort en énergie cinétique ne donnerait rien de probant.

        • [^] # Re: Soluce

          Posté par . Évalué à 7.

          En effet, la solution est de 15 092 688 622 113 788 323 693 563 264 538 538 101 449 859 497 heures.

          Selon wikipedia : https://fr.wikipedia.org/wiki/Escargot#Long.C3.A9vit.C3.A9
          La duré de vie des escargot peut aller jusqu’à une trentaine d'année.

          L’énoncé aurai du précisé que l'escargot est immortel car si on part du principe qu'un escargot mort n'avance plus, on peut facilement conclure qu'il n'arrivera pas au bout.

          • [^] # Re: Soluce

            Posté par . Évalué à 10. Dernière modification le 05/10/15 à 15:21.

            Tu as raison, soyons rigoureux, il faudrait donc aussi vérifier, sur wikipédia, l'espérance de vie du géant (un géant mort tire moins bien), et l'élasticité des élastiques…  ;-)

            • [^] # Re: Soluce

              Posté par . Évalué à 2.

              Et il nous faut aussi l'âge du capitainegéant et de l'escargot !

              Tous les nombres premiers sont impairs, sauf un. Tous les nombres premiers sont impairs, sauf deux.

            • [^] # Re: Soluce

              Posté par (page perso) . Évalué à 3.

              Si tu vas par là, il faut également vérifier que l'univers existera toujours.
              Ou du moins qu'il y aura possibilité d'avoir de la vie ou des « objets ».
              La fin des galaxies et étoiles est estimée à 1030 ans.

              • [^] # Re: Soluce

                Posté par (page perso) . Évalué à 6.

                Un géant immortel qui peut étirer à l'infini un élastique peut peut-être arrêter l'expansion de l'univers en tirant dans l'autre sens (enfin tous les autres sens).

  • # Réponse

    Posté par (page perso) . Évalué à 10.

    L'escargot est mort de faim et de déshydratation sur son élastique.

    Python 3 - Apprendre à programmer en Python avec PyZo et Jupyter Notebook → https://www.dunod.com/sciences-techniques/python-3

    • [^] # Re: Réponse

      Posté par . Évalué à 10.

      La première fois que cet idiot de géant tire sur l'élastique, ce dernier casse et l'escargot se retrouve au fond du ravin.

      • [^] # Re: Réponse

        Posté par . Évalué à -10.

        ouais enfin bon, pourquoi chercher un truc réel dans cette "énigme" alors qu'à la base l'énoncé parle de "parfaitement" élastique …

        C'est intrinsèquement pas réel, alors on peut aussi dire que l'escargot a une vie infinie ? non ?

        Ce n'est pas parce que les choses sont difficiles que nous n'osons pas. C'est parce que nous n'osons pas qu'elles sont difficiles. - Sénéque

    • [^] # Re: Réponse

      Posté par . Évalué à 8.

      Et pourquoi ça ne serai pas le géant qui claquerai en premier ?

  • # Bien sûr que non

    Posté par . Évalué à 9.

    Il ne peut pas atteindre la bout de la corde, il va dans la mauvaise direction !

    Tous les nombres premiers sont impairs, sauf un. Tous les nombres premiers sont impairs, sauf deux.

  • # 100h

    Posté par . Évalué à -9.

    À l'issue de la première heure, l'escargot à parcouru 1m, le géant tire sur la corde, celle-ci passe à 200m. Puisque la déformation est homogène, l'escargot se trouve maintenant à 2m du point de départ.

    A partir de cette affirmation je dirai 100 heures… Puisque le rapport distance parcourue / distance totale ne change pas.

  • # Premier terme ?

    Posté par . Évalué à 7.

    Au début de chaque heure, un géant tire sur la corde et celle-ci s'allonge de façon élastique. À chaque fois la corde s'allonge de 100m de façon homogène.

    À l'issue de la première heure, l'escargot à parcouru 1m, le géant tire sur la corde, celle-ci passe à 200m. Puisque la déformation est homogène, l'escargot se trouve maintenant à 2m du point de départ.

    Donc c'est à la fin de chaque heure, que le géant tire. Et c'est l'escargot qui joue en premier.

  • # ça dépend

    Posté par (page perso) . Évalué à -7.

    Si la corde casse, et il va devoir choisir un autre chemin. Sinon, il arrivera un moment ou la corde perdra toute élasticité et le géant ne pourra plus tirer dessus.

  • # Ok, retourne bosser, Joalland !

    Posté par . Évalué à 10.

    Malin comme technique pour faire faire son exo de maths en le faisant passer pour énigme :-p.
    La présentation (l'escargot, le géant, l'élastique) est en effet plutôt originale, mais l'exercice est vraiment un des cas de base du cours sur la convergence des séries.

  • # Journal mensonger !

    Posté par . Évalué à 9.

    Cette histoire de géant ne trompera que les crédules. Tout le monde sait bien que c'est le complot sioniste-maçonnique qui tire les cordes et les ficelles, au détriment de tous les escargots opprimés.

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