Remsirems a écrit 3 commentaires

  • # Whaow

    Posté par  . En réponse à la dépêche Le Frido, un livre de mathématique libre pour l’agrégation. Évalué à 3.

    QUEL TRAVAIL… !!

  • [^] # Re: autres petites remarques rapides

    Posté par  . En réponse à la dépêche Le Frido, un livre de mathématique libre pour l’agrégation. Évalué à 5.

    … Ou

    \newcommand\gts[1]{\og#1\fg}

    dans le préambule, et ensuite \gts{entre guillemets} pour produire « entre guillemets ». C'est ce que je fais et je trouve ça plus cohérent sémantiquement — car cela montre que les guillemets vont nécessairement par paires… Autre avantage : cela n'utilise que le package [french]{babel}, extrêmement répandu, mais en évitant par contre d'avoir à se coltiner des \fg{} avec une paire d'accolades vides abominable… (Remarque : les subtilités syntaxiques de \newcommand font qu'il n'y a pas besoin d'indiquer des accolades vides, même dans le préambule).

  • [^] # Re: Réponses à quelques questions

    Posté par  . En réponse à la dépêche Le Frido, un livre de mathématique libre pour l’agrégation. Évalué à 1.

    Quelques réponses à d'autres questions :
    - Analyse 1 : Oui, car les fonctions continues à support compact sont denses dans Lp, et que le résultat est vrai pour une fonction continue à support compact par convergence dominée : comme la translation est une isométrie de Lp, on montre que la limite supérieure quand s tend vers 0 est inférieure ou égale à \epsilon en considérant une fonction continue à support compact approximant f dans Lp à \epsilon / 2 près.
    - Analyse 3 : Oui. C'est virtuellement le même raisonnement que pour montrer que, dans un espace vectoriel général, toute famille libre se prolonge en base. L'étape cruciale sera de montrer qu'il existe toujours un vecteur orthogonal à un sous-espace fermé strict ; et cela s'obtient en projetant orthogonalement un vecteur n'appartenant pas au sous-espace fermé strict vers celui-ci. En effet, dans les espaces de Hilbert, il y a une notion de projection orthogonale vers une partie convexe fermée, notion qui ne requiert pas de base ou de trucs du genre : le projeté orthogonal de x sur une partie fermée convexe F est défini comme la limite commune des suites de points y_n de F tels que |y_n - x| converge vers la valeur minimale possible. Le principale difficulté est de montrer qu'une telle suite est nécessairement convergente, ce qu'on fait en montrant qu'elle est de Cauchy — l'estimée-clé étant que |x - (y + y') / 2|2 = (|x - y|2 + |x - y'|2) / 2 - |(y - y') / 2|2.
    - Probas 1 : Oui, même si je n'aime pas trop cette présentation. Ma présentation favorite est « Supposons pour simplifier que tous les garçons jouent au football, et qu'aucune fille ne joue au football. Mes nouveaux voisins viennent d'emménager : je sais grâce aux meubles que j'ai vus les déménageurs décharger qu'il y a exactement 2 enfants (2 petits lits) dont au moins 1 garçon (1 ballon de football — le point ici étant que, qu'il y ait 1 ou 2 garçons, il y aura toujours 1 seul ballon évidemment !). En croisant mon voisin le lendemain, je lui dis “eh bien, vous avez donc 2 enfants ? – oui ! – dont au moins un garçon ? – oui ? — et l'autre, est-il aussi un garçon ? », et là la question est de savoir quelle est la probabilité qu'il me réponde “oui” (réponse : 1/3). À peu près toute autre présentation réaliste des choses (notamment, je frappe et un garçon m'ouvre) donnera une probabilité de 1/2 pour l'autre enfant. J'aime aussi expliquer ce paradoxe en imaginant un parent amnésique, qui a oublié qui étaient ses enfants : si on lui demande si un de ses enfants au moins est un garçon, il va regarder dans la première chambre, si c'est un garçon, revenir me dire « oui », et sinon regarder dans la deuxième chambre, et me dire « oui » si c'est un garçon ou « non » si c'est une fille. Le fait est que, chaque fois que le parent amnésique a dû regarder dans la seconde chambre (et qu'il a fini par me répondre « oui »), nous sommes sûrs que l'autre enfant était une fille ; alors que s'il n'a regardé que dans la première chambre, il y a toujours une chance sur 2 que ce soit un garçon : ainsi, la probabilité que l'autre soit un garçon quand on a demandé « au moins un ? » est strictement inférieure à 1/2.
    - Probas 2 : Oui, car la probabilité (éventuellement conditionnelle) de A n'est jamais que l'espérance (éventuellement conditionnelle) de l'indicatrice de A, et l'espérance de l'espérance conditionnelle est l'espérance.
    - Probas 7 : Non. La formule écrite définit l'indépendance conditionnellement à A, qui n'est ni nécessaire ni suffisante pour avoir indépendance tout court. Exemple canonique : X et Y sont uniformes sur {-1, +1} et indépendantes, et A est la donnée du produit X Y. Alors, conditionnellement à {A = 1}, X et Y sont identiques (de loi uniforme sur {-1, +1}), et conditionnellement à {A = -1}, elles sont opposées (de lois uniformes sur {-1, +1} également), donc absolument pas indépendantes ni dans un cas ni dans l'autre.

    Désolé d'être un peu lapidaire, mais je n'ai pas beaucoup de temps…