Journal Y a-t-il un mathématicien dans la salle ?

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19
mar.
2007
Bonjour à tous,

Je viens de lire aujourd'hui que des mathématiciens étaient "venus à bout" du groupe de Lie E8: http://www.lemonde.fr/web/article/0,1-0@2-3244,36-884723,0.h(...)

Et la chose semble être "pleine de promesses" dans des domaines aussi variés que l'informatique ou la théorie des cordes.

À d'autres endroits sur le Web, j'ai lu qu'on avait "décrypté", "décodé" ou "calculé" ce groupe.

J'ai un peu fouillé sur Wikipédia ( http://fr.wikipedia.org/wiki/E8 ), mais je ne trouve nulle part la réponse à une question qui me tarabuste: le résultat en question, c'est quoi au juste?

Je sais ce qu'est un groupe, je sais vaguement ce que sont les algèbres de Lie, mais quelqu'un peut-il m'expliquer ce que peut bien être le résultat obtenu? Ça veut dire quoi au juste "venir à bout" d'un groupe de Lie? On en a trouvé une représentation intéressante, on l'a mis en équation ???
  • # Tu l'as sosu les yeux...

    Posté par  . Évalué à 1.

    La représentation de la réponse est dans le lien sur la taille dans l'article du Monde :
    The result of the E8 calculation is a matrix, or grid, with 453,060 rows and columns. There are 205,263,363,600 entries in the matrix, each of which is a polynomial.
  • # En effet

    Posté par  (site Web personnel) . Évalué à 6.

    Je pense que l'existence de ce groupe avait été prouvée, mais qu'il avait été jusque là impossible de le construire. En gros, on devait savoir à quoi ressemblaient les éléments du groupe, mais on avait pas réussi à définir clairement la base de l'espace vectoriel...

    Par exemple, si on parle de |R x |R (donc le plan euclidien), on a su très rapidement qu'il était engendré par la matrice
    [[v1, 0]
    [0, v2]]
    où v1 et v2 sont des scalaires. Tout point du plan peut être écrit comme le produit de cette base [[1,0],[0,1]] avec un vecteur à 2 coordonnées... Et pour le groupe de !lie, il manquait cette matrice.

    Enfin, je pense qu'il s'agit de ça...
    • [^] # Re: En effet

      Posté par  (site Web personnel) . Évalué à 1.

      J'ai toujours été persuadé de l'intéret des mathématiques dans la vie de tout les jours, mais autant la j'avoue avoir du mal a croire le discours du monde qui a l'air de dire : " ca va tout révolutionner"
      Je veux bien mais j'ai beaucoup de mal a voir l'intéret d'avoir trouver la matrice génératrice d'un groupe de dimension 248 ce qui n'a quand meme dans le monde réel pas la moindre représentation.

      Si vous pouviez éclairer ma lanterne..
      • [^] # Re: En effet

        Posté par  . Évalué à 10.

        Le principal interet dans la vie de tout le jours n'est pas je pense le résultat mais
        les techniques de calculs ( par informatique en plus ) qui ont été développé.
        Car elle tu peux en reprendre tout de suite une partie pour par exemple calculer si les ailes de ton avions elle vont pas tomber aux premières turbulences.

        Après ça va interesser les physiciens Théoriciens qui font de la grande unification car E(8) contient SO(10) qui lui même contient SU(5) qui lui même contient le modèle Standard de la physique des particules. Sachant qu'on à déja prouver que la grande unification basée sur SU(5) ne marchait pas.
        Bon OK aucun interet dans la vie de tout les jours.

        Après il y a des tas de choses que tu peux ranger dans un groupe et il y aura surement des gens que ça interessera à moyen/long termes.

        N'oublie pas qu'il s'agit de recherche fondamentale et donc que l'important n'est pas l'interet dans la vie de tout les jours mais le resultat, la difficultée à l'obtenir, et la façon dont il à été obtenu.
        Crois tu que lorsque Galilée à expliqué que la terre tourne ça avait un interet dans la vie des habitants de l'époque ?
        • [^] # Re: En effet

          Posté par  . Évalué à 1.

          J'ajouterais que mener à bien la demonstration générale d'une grande théorie permet en général de définir plusieurs axiômes simples s'appuyant dessus et qui, eux, peuvent être enseignés à l'école. De là, beaucoup de choses plus simples peuvent se développer et avoir des applications pratiques. Si l'on considère en outre que peu de personnes sont suffisamment éminentes pour établir ces fondements, c'est tout à leur honneur de l'avoir fait.

          Tout le monde est d'accord pour dire que pour monter un gratte-ciel, il faut établir des fondations solides, mais à peu près tout le monde fait également abstraction du fait que pour ce faire, il faut déjà vivre sur une planète ...
      • [^] # Re: En effet

        Posté par  (site Web personnel) . Évalué à 4.

        Je sais qu'en informatique on utilise les générateurs de groupe pour casser les symètries dans les problèmes (par exemple en programmation par contraintes[1]).

        Un espace de dimension 248 revient en gros à un problème avec 248 variables, cela ne me parait pas si irréaliste que cela.

        [1] http://fr.wikipedia.org/wiki/Programmation_par_contraintes
        • [^] # Re: En effet

          Posté par  (site Web personnel) . Évalué à 3.

          euh je veux pas te contredire mais mes souvenirs de prépa me disent que : "Un espace de dimension 248 revient en gros à un problème avec 248 variables" n'est pas exacte.
          En effet une matrice n*n de dimension 2 représente un systéme a n équations et n variables.

          Ensuite je suis d'accord pour dire qu'il y a des applications a ce calcul. Certainement en cryptographie et autre, mais les espaces de dimension 4 sont déja rare mais on y trouve des applications, 5 et 6 ca devient déja beaucoup plus rare (on en utilise dans l'astronomie pour gérer le temps et la gravité en plus des 3 dimensions), alors 248 ..... :|

          Par exemple le commentaire précédent sur les ailes d'avion ... pour avoir fait du calcul numériques, jamais on utilise des matrices au dela de 3*3.

          Bref que ca soit au niveau mathématiques (aide a la résolution d'autre probléme) ou au niveau du quotidien (amélioration de tel ou tel procédé) j'ai beaucoup de mal a voir les implications et meme si je ne doute pas qu'il en existe j'ai tendance a remettre en cause les propos du monde qui ressemble un peu a un :
          "ca va changer votre vie"
          • [^] # Re: En effet

            Posté par  . Évalué à 8.

            Par exemple le commentaire précédent sur les ailes d'avion ... pour avoir fait du calcul numériques, jamais on utilise des matrices au dela de 3*3.


            Regarde un peut du coté de la modélisation par éléments finis, tu va découvrir les joie des matrices géantes.
            • [^] # Re: En effet

              Posté par  . Évalué à 3.

              Perso j'utilise tous les jours des simples elements finis a 2 noeuds et j'ai 14 degres de liberte (donc des matrices 14*14)(6ddl par noeud + 2 termes speciaux).
              Un element volumique classique comporte 8 noeuds avec chacun 6ddl (3 translations et 3 rotation) soit 48 ddl par element au minimum et on peu ajouter d'autre parametre par exemple la temperature.

              Et enfin tous les elements sont assembles dans une enorme matrice.
          • [^] # Re: En effet

            Posté par  . Évalué à 4.

            En effet une matrice n*n de dimension 2 représente un systéme a n équations et n variables.

            Cette matrice s'écrit avec n² valeurs dans le plan (cette représentation-là est en deux dimensions) mais la matrice est de dimension n² et permet de résoudre des systèmes de dimension n.

            Tu confonds la représentation de la matrice (ici de dimension 2, mais on aurait pû écrire la matrice en ligne -> dim 1), avec la dimension intrinsèque de la matrice.
          • [^] # Re: En effet

            Posté par  (site Web personnel) . Évalué à 5.


            Ensuite je suis d'accord pour dire qu'il y a des applications a ce calcul. Certainement en cryptographie et autre, mais les espaces de dimension 4 sont déja rare mais on y trouve des applications, 5 et 6 ca devient déja beaucoup plus rare (on en utilise dans l'astronomie pour gérer le temps et la gravité en plus des 3 dimensions), alors 248 ..... :|


            Les espaces de grandes dimensions interviennent naturellement, ne serait-ce que comme discrétisations d'espaces de fonctions, qui sont de dimension infinie (c'est un peu l'idée de la méthode des éléments finis dont on parle dans ce thread).

            Mais ce qui a été fait est simplement le calcul des représentations d'un groupe qui est une variété de dimension 248 (c'est à dire qu'un élément de ce groupe peut être décrit avec 248 paramètres), et cela n'a a priori rien à voir avec la résolution d'un système d'équations linéaires à 248 inconnues (pour lesquelles il existe des méthodes efficaces, même sur des systèmes bien plus gros :-))
          • [^] # Re: En effet

            Posté par  (site Web personnel) . Évalué à 4.

            En effet une matrice n*n de dimension 2 représente un systéme a n équations et n variables.

            Peut-être que je me trompe mais une matrice n*n pour moi ca représente bien un endormorphisme d'un espace de dimension n, les vecteurs colonnes d'une matrice n*n peuvent aussi representer une base de K^n si le rang de la matrice est égal n.

            Enfin j'ai bien l'impression que l'on parle d'espace de dimension n. Mais j'ai peut-être tord, vu que je ne fais plus trop d'algèbre depuis quelques temps.
      • [^] # Re: En effet

        Posté par  (site Web personnel) . Évalué à 6.

        c'est comme les quaternions, ca sert à rien(1).
        On a déjà les nombres, et on a inventé les complexes, qui, cool, permettent de représenter le plan (ou un espace à deux dimensions).
        Mais les quaternions, c'est à 4 coordonnées... Ca se représente même pas. Dire qu'il ya des gens qui ont travaillé sur un truc qui se représente pas, et qu'ils ont été payés...

        C'est en fait pas parceque ça a une tête complètement imbitable, que c'est pas physiquement concevable, que ça n'a aucune application... Au contraire, ca peut faciliter *grandement* d'autres calculs qui se formalisent alors très bien...
        Un exemple simple ? Quotidien même ?
        int***ough[42][51];
        Très drôle à se représenter, mais pas forcément sans application...

        En fait, le principal problème que tu soulèves, c'est que les maths ne sont pas à la portée de tous... Tout simplement parcequ'arrivé à un certain niveau, ou a besoin d'outils très compliqués pour manipuler d'autres données très compliqués qui pourront servir de façon très compliquée à manipuler des objets simples. Et toi, tu ne comprends intuitivement que les objets simples, car tu n'as pas fait 5 ans de maths à l'école normale ou à l'X...
        Enfin, c'est partout pareil.. Moi j'ai jamais compris l'intérêt de java, sauf perdre du temps à dessiner des boites UML, à attendre que la jvm se lance, et se rendre compte qu'il y a une exception de 2km de longs qui vient de se lancer... Et pourtant, il parait que des gens arrivent à modéliser des trucs qui marchent avec ça...


        (1) sauf en infographie, en traitement du signal, en mécanique...
        • [^] # Re: En effet

          Posté par  . Évalué à 1.

          Ahahah on reconnaît l'étudiant au MPRI :-)
        • [^] # Re: En effet

          Posté par  . Évalué à 6.

          Et si je ne m'abuse, pour te citer un exemple historique qui fait que "pour l'instant personne n'y comprend rien mais un jour peut-être tout le monde s'en servira", aux débuts de la physique quantique, deux formalismes s'affrontaient, l'un utilisant les matrices, et l'autre utilisant... autre chose (les bra, ket, et autre, ça s'appelle comment déjà comme formalisme??)
          Puis, un physicien avec une bonne culture mathématique fit un bon petit calcul pour démontrer que ça revenait strictement à la même chose, mais en notant les choses différemment...
          La raison? A l'époque, les matrices n'étaient pas populaires chez la plupart des physiciens, qui ne savaient pas comment s'en servir, et ne voyaient pas ce que ces tableaux qu'on tourne et retourne pourraient bien représenter!

          Si je ma mémoire me joue des tours, merci de me corriger.

          En attendant, peut-être que plus tard, tout ça fera partie des programmes de base communs en physique, et tout le monde scientifique estimera que c'est un savoir indispensable et basique! ;)
          • [^] # Re: En effet

            Posté par  . Évalué à 3.

            Et encore, tu n'as pas essayé de travailler avec des biologistes ! :-)
            • [^] # Re: En effet

              Posté par  . Évalué à 2.

              Pourquoi, ils sont nuls en maths ou susceptibles ? Heureusement qu'il y a un smiley, je l'aurais presque pris mal...
            • [^] # Re: En effet

              Posté par  . Évalué à 1.

              Figure-toi que j'ai essayé, dans un tout autre domaine (je fais des microsystèmes, micro-électromécanique), et on a tenu une réunion pendant environ 1h et demi, sur les reformulations successives de:

              - de quoi t'as besoin?
              -- ça dépend, qu'est-ce que tu peux faire?
              - plein de trucs! ça dépend! de quoi t'as besoin?
              -- ben j'ai besoin de plein de trucs, peut-être même des trucs auxquels j'ai jamais pensé, et que j'y penserai quand je saurai précisément ce que tu peux faire!
              - oui mais je peux faire plein de trucs, c'est impossible de tout détailler, on fait en fonction de ce dont t'as besoin!!

              et ça peut durer trèèèèèèès longtemps
  • # En très gros...

    Posté par  (site Web personnel) . Évalué à 10.

    Un groupe de Lie c'est avant tout un groupe, donc un ensemble d'éléments avec une loi produit dessus. "Comprendre" un groupe G c'est connaitre tous les produits a.b pour a et b dans G.
    Si G est fini c'est faisable (ie. faisable en un temps fini avec une mémoire finie): il suffit de dresser une table de multiplication, mais si G est infini (c'est le cas de E8) il faut trouver autre chose.
    Donc l'idée c'est de savoir comment G agit sur un ensemble donné, c'est à dire déterminer toutes les actions de G sur cet ensemble (et parmi ces actions on ne garde que celles qui vérifient certaines propriétés, on les appelle les représentations de G). Là encore il se peut qu'il y en ait un nombre infini, mais il se trouve qu'on peut décomposer chaque représentation comme "produit" de "briques élémentaires" (qu'on appelle les représentations irréductibles de G). Et ce qui nous sauve c'est qu'il y en a souvent (c'est le cas de E8) un nombre fini, donc stockable explicitement en machine.
    Ce qui a été calculé c'est une table des représentations de E8.
    Après pour savoir au niveau des applications que cela pourra avoir, il faut voir que E8 est un groupe de Lie simple (c'est à dire que c'est une des briques élémentaires qui permet de construire des groupes de Lie) et qu'il apparait aussi en physique théorique. Cette matrice est une représentation "concrète" qui va permettre de faire des calculs de manière relativement explicite, alors que jusqu'à présent on avait à notre disposition qu'une (en fait plusieurs) vues abstraites sur ce groupe. C'est donc une arme supplémentaire pour s'attaquer aux questions sur E8, rien encore ne nous dit qu'elle sera efficace (même si on peut raisonnablement le penser).
    • [^] # Re: En très gros...

      Posté par  . Évalué à 2.

      Enfin une réponse très claire à ma question de départ... Merci !
    • [^] # Re: En très gros...

      Posté par  (site Web personnel) . Évalué à 1.

      "Comprendre" un groupe G c'est connaitre tous les produits a.b pour a et b dans G.


      Je ne te suis plus, là. Tous les produits a.b pour a et b dans G, ce sont simplement tous les éléments de G, non ? (stabilité, toussa).
    • [^] # Re: En très gros...

      Posté par  . Évalué à 0.

      Un groupe de Lie c'est certe un groupe, mais aussi une variété, c'est à dire un objet géométrique, ce qui nous en donne une certaine image (certe E8 est de dimension 248....)

      Par contre il y a un nombre infini de représentation (c'est déjà le cas pour A2 qui est le groupe de lie SL_3(C), ie des matrices 3x3 de déterminant 1), après grâce a certains outils on peut se restreindre a moins.
  • # On ne te demande pas...

    Posté par  . Évalué à 3.

    On ne te demande pas de comprendre, on te demande de voter pour la bonne personne !

    Depuis quand le peuple doit réfléchir ?
    • [^] # Re: On ne te demande pas...

      Posté par  . Évalué à -1.

      désolé d'avoir fait de l'humour au second degré !
      • [^] # Re: On ne te demande pas...

        Posté par  . Évalué à 0.

        C'est pas facile, l'humour au second degré : soit c'est trop flagrant, soit il n'y a que toi qui comprends que c'est de l'humour ... ici, c'est foiré, pas la peine de gueuler, c'est uniquement de ta faute :)

        Un jour, tu y arriveras.
    • [^] # Re: On ne te demande pas...

      Posté par  . Évalué à 1.

      Héhé, je sens une pointe de critique envers l'article du monde ... essaye de faire tenir une explication potable et vulgarisé pour n'importe quel public en si peu de ligne dans un journal généraliste pour voir. L'explication de Pierre Tramal un peu plus haut est pas mal dans le genre, mais elle s'adresse déja à un public d'informaticiens, plutôt scientifique déja. Avec des trucs qui donnent le vertige (des notions de représentation infinie d'un ensemble infini, mais en plus simple quand même, par exemple, des notions de calculabilité ... )
      • [^] # Re: On ne te demande pas...

        Posté par  . Évalué à 1.

        Aucunement ! je n'ai même pas lu l'article du Monde. Mon second degré faisait plus allusion à l'abrutissement des masses voulues par le pouvoir pour contrôler plus facilement le peuple (la télévision étant une bonne méthode pour formater le peuple, repensez à la grande phrase du PDG de TF1). Alors essayer de comprendre un problème complexe de mathématicien revient à se mettre en marge de ce système, à choisir la pillule bleue, ou pire, à devenir un dissident du pouvoir dans les régimes totalitaires.

        Mais c'était juste de l'humour....
    • [^] # Re: On ne te demande pas...

      Posté par  . Évalué à 1.

      Ton post est HS, mais j'ai quand même envie d'y répondre, puisqu'il s'adresse à moi...

      Je suppose que tu veux parler des élections législatives du 10 juin ?

      Indice: j'habite en Belgique

      :-)
      • [^] # Re: On ne te demande pas...

        Posté par  . Évalué à 3.

        En fait, mon post ne s'adresse pas directement à toi, c'est plus une blague générale et incomprise :'( , sans destinataire spécifique.

        Et je ne voulais pas parler des élections législatives du 10 juin.

        Indice: j'habite en France :-)
        • [^] # Re: On ne te demande pas...

          Posté par  . Évalué à 2.

          Bon, pour te rassurer, moi ça m'a fait rire. Et j'ai tout de suite saisie l'allusion à l'abrutissement des masses à qui l'on ne demande surtout pas de se poser des questions... quel que soit le domaine.
  • # Polynomes de KL

    Posté par  . Évalué à 2.

    Ce qui a était fait par l'équipe de recherche est le calcul de tous les polynômes de Kazhdan-Lusztig, ce sont des polynômes qui sont doublement indicés (par des éléments du groupe de Weyl du groupe de Lie) contiennent beaucoup d'information (en terme de cohomologie, de multiplicité de représentations, etc.). Ces polynômes sont assez galère a calculer à la main (même pour des "petits" groupes de Lie style A2 ou G2), ils en donnent quelques information dans la page web donné par l'article du monde ( http://www.aimath.org/E8/computerdetails.html ), en expliquant que le projet avait été initialisé par du Cloux, Vogan et Leeuwen.


    Par exemple une fameuse conjecture (la conjecture de KL) de 1979 (démontrée en 81 par deux binômes de manière indépendante qui sont Kashiwara, Berntein, Brilinski et je ne sais plus qui) disait que leurs valeurs en -1 correspondait a la multiplicité d'une représentation simple de dimension fini dans un module de dimension fini (les deux indices étant reliés aux plus hauts poids de la représentation)

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