Bonjour à tous,
Je viens de lire aujourd'hui que des mathématiciens étaient "venus à bout" du groupe de Lie E8: http://www.lemonde.fr/web/article/0,1-0@2-3244,36-884723,0.h(...)
Et la chose semble être "pleine de promesses" dans des domaines aussi variés que l'informatique ou la théorie des cordes.
À d'autres endroits sur le Web, j'ai lu qu'on avait "décrypté", "décodé" ou "calculé" ce groupe.
J'ai un peu fouillé sur Wikipédia ( http://fr.wikipedia.org/wiki/E8 ), mais je ne trouve nulle part la réponse à une question qui me tarabuste: le résultat en question, c'est quoi au juste?
Je sais ce qu'est un groupe, je sais vaguement ce que sont les algèbres de Lie, mais quelqu'un peut-il m'expliquer ce que peut bien être le résultat obtenu? Ça veut dire quoi au juste "venir à bout" d'un groupe de Lie? On en a trouvé une représentation intéressante, on l'a mis en équation ???
Journal Y a-t-il un mathématicien dans la salle ?
19
mar.
2007
# Tu l'as sosu les yeux...
Posté par reg . Évalué à 1.
[^] # Re: Tu l'as sosu les yeux...
Posté par Aldoo . Évalué à 10.
# En effet
Posté par Axioplase ıɥs∀ (site web personnel) . Évalué à 6.
Par exemple, si on parle de |R x |R (donc le plan euclidien), on a su très rapidement qu'il était engendré par la matrice
[[v1, 0]
[0, v2]]
où v1 et v2 sont des scalaires. Tout point du plan peut être écrit comme le produit de cette base [[1,0],[0,1]] avec un vecteur à 2 coordonnées... Et pour le groupe de !lie, il manquait cette matrice.
Enfin, je pense qu'il s'agit de ça...
[^] # Re: En effet
Posté par marseillais (site web personnel) . Évalué à 1.
Je veux bien mais j'ai beaucoup de mal a voir l'intéret d'avoir trouver la matrice génératrice d'un groupe de dimension 248 ce qui n'a quand meme dans le monde réel pas la moindre représentation.
Si vous pouviez éclairer ma lanterne..
[^] # Re: En effet
Posté par Mais qui suis-je ? :) . Évalué à 10.
les techniques de calculs ( par informatique en plus ) qui ont été développé.
Car elle tu peux en reprendre tout de suite une partie pour par exemple calculer si les ailes de ton avions elle vont pas tomber aux premières turbulences.
Après ça va interesser les physiciens Théoriciens qui font de la grande unification car E(8) contient SO(10) qui lui même contient SU(5) qui lui même contient le modèle Standard de la physique des particules. Sachant qu'on à déja prouver que la grande unification basée sur SU(5) ne marchait pas.
Bon OK aucun interet dans la vie de tout les jours.
Après il y a des tas de choses que tu peux ranger dans un groupe et il y aura surement des gens que ça interessera à moyen/long termes.
N'oublie pas qu'il s'agit de recherche fondamentale et donc que l'important n'est pas l'interet dans la vie de tout les jours mais le resultat, la difficultée à l'obtenir, et la façon dont il à été obtenu.
Crois tu que lorsque Galilée à expliqué que la terre tourne ça avait un interet dans la vie des habitants de l'époque ?
[^] # Re: En effet
Posté par Obsidian . Évalué à 1.
Tout le monde est d'accord pour dire que pour monter un gratte-ciel, il faut établir des fondations solides, mais à peu près tout le monde fait également abstraction du fait que pour ce faire, il faut déjà vivre sur une planète ...
[^] # Re: En effet
Posté par GPH (site web personnel) . Évalué à 4.
Un espace de dimension 248 revient en gros à un problème avec 248 variables, cela ne me parait pas si irréaliste que cela.
[1] http://fr.wikipedia.org/wiki/Programmation_par_contraintes
[^] # Re: En effet
Posté par marseillais (site web personnel) . Évalué à 3.
En effet une matrice n*n de dimension 2 représente un systéme a n équations et n variables.
Ensuite je suis d'accord pour dire qu'il y a des applications a ce calcul. Certainement en cryptographie et autre, mais les espaces de dimension 4 sont déja rare mais on y trouve des applications, 5 et 6 ca devient déja beaucoup plus rare (on en utilise dans l'astronomie pour gérer le temps et la gravité en plus des 3 dimensions), alors 248 ..... :|
Par exemple le commentaire précédent sur les ailes d'avion ... pour avoir fait du calcul numériques, jamais on utilise des matrices au dela de 3*3.
Bref que ca soit au niveau mathématiques (aide a la résolution d'autre probléme) ou au niveau du quotidien (amélioration de tel ou tel procédé) j'ai beaucoup de mal a voir les implications et meme si je ne doute pas qu'il en existe j'ai tendance a remettre en cause les propos du monde qui ressemble un peu a un :
"ca va changer votre vie"
[^] # Re: En effet
Posté par Beretta_Vexee . Évalué à 8.
Regarde un peut du coté de la modélisation par éléments finis, tu va découvrir les joie des matrices géantes.
[^] # Re: En effet
Posté par Laurent Mutricy . Évalué à 3.
Un element volumique classique comporte 8 noeuds avec chacun 6ddl (3 translations et 3 rotation) soit 48 ddl par element au minimum et on peu ajouter d'autre parametre par exemple la temperature.
Et enfin tous les elements sont assembles dans une enorme matrice.
[^] # Re: En effet
Posté par aedrin . Évalué à 4.
Cette matrice s'écrit avec n² valeurs dans le plan (cette représentation-là est en deux dimensions) mais la matrice est de dimension n² et permet de résoudre des systèmes de dimension n.
Tu confonds la représentation de la matrice (ici de dimension 2, mais on aurait pû écrire la matrice en ligne -> dim 1), avec la dimension intrinsèque de la matrice.
[^] # Re: En effet
Posté par Pierre Tramal (site web personnel) . Évalué à 5.
Les espaces de grandes dimensions interviennent naturellement, ne serait-ce que comme discrétisations d'espaces de fonctions, qui sont de dimension infinie (c'est un peu l'idée de la méthode des éléments finis dont on parle dans ce thread).
Mais ce qui a été fait est simplement le calcul des représentations d'un groupe qui est une variété de dimension 248 (c'est à dire qu'un élément de ce groupe peut être décrit avec 248 paramètres), et cela n'a a priori rien à voir avec la résolution d'un système d'équations linéaires à 248 inconnues (pour lesquelles il existe des méthodes efficaces, même sur des systèmes bien plus gros :-))
[^] # Re: En effet
Posté par GPH (site web personnel) . Évalué à 4.
Peut-être que je me trompe mais une matrice n*n pour moi ca représente bien un endormorphisme d'un espace de dimension n, les vecteurs colonnes d'une matrice n*n peuvent aussi representer une base de K^n si le rang de la matrice est égal n.
Enfin j'ai bien l'impression que l'on parle d'espace de dimension n. Mais j'ai peut-être tord, vu que je ne fais plus trop d'algèbre depuis quelques temps.
[^] # Re: En effet
Posté par Axioplase ıɥs∀ (site web personnel) . Évalué à 6.
On a déjà les nombres, et on a inventé les complexes, qui, cool, permettent de représenter le plan (ou un espace à deux dimensions).
Mais les quaternions, c'est à 4 coordonnées... Ca se représente même pas. Dire qu'il ya des gens qui ont travaillé sur un truc qui se représente pas, et qu'ils ont été payés...
C'est en fait pas parceque ça a une tête complètement imbitable, que c'est pas physiquement concevable, que ça n'a aucune application... Au contraire, ca peut faciliter *grandement* d'autres calculs qui se formalisent alors très bien...
Un exemple simple ? Quotidien même ?
int***ough[42][51];
Très drôle à se représenter, mais pas forcément sans application...
En fait, le principal problème que tu soulèves, c'est que les maths ne sont pas à la portée de tous... Tout simplement parcequ'arrivé à un certain niveau, ou a besoin d'outils très compliqués pour manipuler d'autres données très compliqués qui pourront servir de façon très compliquée à manipuler des objets simples. Et toi, tu ne comprends intuitivement que les objets simples, car tu n'as pas fait 5 ans de maths à l'école normale ou à l'X...
Enfin, c'est partout pareil.. Moi j'ai jamais compris l'intérêt de java, sauf perdre du temps à dessiner des boites UML, à attendre que la jvm se lance, et se rendre compte qu'il y a une exception de 2km de longs qui vient de se lancer... Et pourtant, il parait que des gens arrivent à modéliser des trucs qui marchent avec ça...
(1) sauf en infographie, en traitement du signal, en mécanique...
[^] # Re: En effet
Posté par lurker . Évalué à 1.
[^] # Re: En effet
Posté par Maclag . Évalué à 6.
Puis, un physicien avec une bonne culture mathématique fit un bon petit calcul pour démontrer que ça revenait strictement à la même chose, mais en notant les choses différemment...
La raison? A l'époque, les matrices n'étaient pas populaires chez la plupart des physiciens, qui ne savaient pas comment s'en servir, et ne voyaient pas ce que ces tableaux qu'on tourne et retourne pourraient bien représenter!
Si je ma mémoire me joue des tours, merci de me corriger.
En attendant, peut-être que plus tard, tout ça fera partie des programmes de base communs en physique, et tout le monde scientifique estimera que c'est un savoir indispensable et basique! ;)
[^] # Re: En effet
Posté par Obsidian . Évalué à 3.
[^] # Re: En effet
Posté par gaston1024 . Évalué à 2.
[^] # Re: En effet
Posté par Maclag . Évalué à 1.
- de quoi t'as besoin?
-- ça dépend, qu'est-ce que tu peux faire?
- plein de trucs! ça dépend! de quoi t'as besoin?
-- ben j'ai besoin de plein de trucs, peut-être même des trucs auxquels j'ai jamais pensé, et que j'y penserai quand je saurai précisément ce que tu peux faire!
- oui mais je peux faire plein de trucs, c'est impossible de tout détailler, on fait en fonction de ce dont t'as besoin!!
et ça peut durer trèèèèèèès longtemps
# En très gros...
Posté par Pierre Tramal (site web personnel) . Évalué à 10.
Si G est fini c'est faisable (ie. faisable en un temps fini avec une mémoire finie): il suffit de dresser une table de multiplication, mais si G est infini (c'est le cas de E8) il faut trouver autre chose.
Donc l'idée c'est de savoir comment G agit sur un ensemble donné, c'est à dire déterminer toutes les actions de G sur cet ensemble (et parmi ces actions on ne garde que celles qui vérifient certaines propriétés, on les appelle les représentations de G). Là encore il se peut qu'il y en ait un nombre infini, mais il se trouve qu'on peut décomposer chaque représentation comme "produit" de "briques élémentaires" (qu'on appelle les représentations irréductibles de G). Et ce qui nous sauve c'est qu'il y en a souvent (c'est le cas de E8) un nombre fini, donc stockable explicitement en machine.
Ce qui a été calculé c'est une table des représentations de E8.
Après pour savoir au niveau des applications que cela pourra avoir, il faut voir que E8 est un groupe de Lie simple (c'est à dire que c'est une des briques élémentaires qui permet de construire des groupes de Lie) et qu'il apparait aussi en physique théorique. Cette matrice est une représentation "concrète" qui va permettre de faire des calculs de manière relativement explicite, alors que jusqu'à présent on avait à notre disposition qu'une (en fait plusieurs) vues abstraites sur ce groupe. C'est donc une arme supplémentaire pour s'attaquer aux questions sur E8, rien encore ne nous dit qu'elle sera efficace (même si on peut raisonnablement le penser).
[^] # Re: En très gros...
Posté par Serge Julien . Évalué à 2.
[^] # Re: En très gros...
Posté par Archibald (site web personnel) . Évalué à 1.
Je ne te suis plus, là. Tous les produits a.b pour a et b dans G, ce sont simplement tous les éléments de G, non ? (stabilité, toussa).
[^] # Re: En très gros...
Posté par Pierre Tramal (site web personnel) . Évalué à 1.
En fait je voulais parler de la table de multiplication du groupe, donc de l'application (a,b)->a.b.
[^] # Re: En très gros...
Posté par FrancoD . Évalué à 0.
Par contre il y a un nombre infini de représentation (c'est déjà le cas pour A2 qui est le groupe de lie SL_3(C), ie des matrices 3x3 de déterminant 1), après grâce a certains outils on peut se restreindre a moins.
# On ne te demande pas...
Posté par Matthieu . Évalué à 3.
Depuis quand le peuple doit réfléchir ?
[^] # Re: On ne te demande pas...
Posté par Matthieu . Évalué à -1.
[^] # Re: On ne te demande pas...
Posté par Thomas Douillard . Évalué à 0.
Un jour, tu y arriveras.
[^] # Re: On ne te demande pas...
Posté par Thomas Douillard . Évalué à 1.
[^] # Re: On ne te demande pas...
Posté par Matthieu . Évalué à 1.
Mais c'était juste de l'humour....
[^] # Re: On ne te demande pas...
Posté par Serge Julien . Évalué à 1.
Je suppose que tu veux parler des élections législatives du 10 juin ?
Indice: j'habite en Belgique
:-)
[^] # Re: On ne te demande pas...
Posté par Matthieu . Évalué à 3.
Et je ne voulais pas parler des élections législatives du 10 juin.
Indice: j'habite en France :-)
[^] # Re: On ne te demande pas...
Posté par jigso . Évalué à 2.
# Polynomes de KL
Posté par FrancoD . Évalué à 2.
Par exemple une fameuse conjecture (la conjecture de KL) de 1979 (démontrée en 81 par deux binômes de manière indépendante qui sont Kashiwara, Berntein, Brilinski et je ne sais plus qui) disait que leurs valeurs en -1 correspondait a la multiplicité d'une représentation simple de dimension fini dans un module de dimension fini (les deux indices étant reliés aux plus hauts poids de la représentation)
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