Le Frido, livre collaboratif de mathématique de niveau agrégation et un peu plus

Posté par . Édité par Davy Defaud, Ysabeau, audionuma, Benoît Sibaud, Neozahikel et palm123. Modéré par Pierre Jarillon. Licence CC by-sa.
43
13
sept.
2019
Éducation

Le Frido 2019, mathématique pour l’agrégation

Le Frido est un livre de mathématique en quatre volumes reprenant à peu près tout de la construction des naturels (non incluse) jusqu’à la fin de l’agrégation, tant en algèbre qu’en analyse.

Sommaire

Le Frido

Originalité

Les principes de base du Frido sont les suivants :

  • il couvre tous les champs de l’agrégation, donc il est gros (2 200 pages) ;
  • il va dans l’ordre logique mathématique, c’est‐à‐dire que les démonstrations n’utilisent que des théorèmes déjà démontrés ; cela n’est pas (et de loin) l’ordre pédagogique ;
  • rien n’est considéré comme évident, les preuves sont détaillées ; pas d’abus de notations ni conventions implicites ;
  • les sources LaTeX sont publiées sous licence FDL et n’attendent que vos commentaires et contributions.

À qui ça s’adresse ?

Le Frido s’adresse aux personnes qui ont le niveau pour commencer à travailler l’agrégation. Si vous ne savez pas ce qu’est un déterminant, la définition donnée dans Le Frido ne vous éclaira pas. Si vous savez déjà en gros ce qu’est une extension de corps et que vous voulez savoir ce qu’est le théorème de l’élément primitif et comment ça se démontre, Le Frido est pour vous. Si vous voulez savoir ce qu’est une suite régularisante, et quelles sont ses propriétés par rapport au produit de convolution, Le Frido est encore pour vous.

Quoi de neuf depuis l’année passée ?

Le journal des modifications détaille les changements.

Voici les principaux :

  • tout sur le cercle S1 : topologie, boréliens pour sa propre topologie, boréliens induits de R2, produit de convolution, preuve que les coordonnées polaires fournissent un difféomorphisme de classe  C^{\infty} ;
  • inégalités de Clarkson ;
  • démonstration du théorème de d’Alembert ;
  • démonstration de la formule de Stirling ;
  • démonstration du théorème de Weinersmith (et un petit épilogue qui liste quelques propriétés de la constante de Weiner) ;
  • élément premier, idéal premier et idéal maximum propre ; des précisions et des équivalences.

Quoi de moins faux depuis l’année passée ?

Il n’y a pas que des ajouts, il y a aussi des corrections ; de nombreuses fautes débusquées par beaucoup de lecteurs que je remercie. L’erratum complet donne des détails.

Ma préférée est celle‐ci :

Toute fonction continue Q\mapsto R peut être prolongée en une fonction continue sur R.

Avouez que cet énoncé a toute l’apparence de la véracité.

Où est‐ce que j’achète ?

Du calme. Vous avez sans doute envie de lire la version courante qui est régulièrement mise à jour.

Si vous voulez réellement du papier (par exemple, pour passer l’oral d’agrégation 2020), voici les liens vers le site de vente : volume 1, volume 2, volume 3 et volume 4.

Où est‐ce que je télécharge ?

Vous pouvez télécharger :

Comment je contribue ?

Si vous trouvez une faute, si quelque chose n’est pas clair, si vous avez une idée, ou si vous voulez rédiger du texte, il y a plusieurs moyens :

  • écrire directement dans les commentaires ici ;
  • écrire un courriel directement à votre serviteur (il est sympa et tient compte de toutes les remarques) ;
  • ouvrir une issue sur GitHub ;
  • rédiger un correctif et faire une demande de fusion sur GitHub ;
  • rédiger un correctif et m’envoyer directement une archive ZIP de votre répertoire .git (ça, on ne me l’a jamais fait, mais ça marche, je l’ai déjà essayé) ;
  • créer une divergence (fork) sur votre site de partage préféré et me demander de faire un git pull.

Qu’est‐ce qu’il y a à faire ?

Si vous lisez des pages et que vous trouvez qu’un passage n’est pas clair, voire carrément faux, écrivez‐moi. Si vous connaissez la démonstration d’un théorème énoncé sans démonstration, envoyez‐la‐moi (ou rédigez‐la pour m’envoyer un correctif).

Il y a une liste de question dans l’introduction. Si vous vous y connaissez en informatique théorique, n’hésitez pas à enrichir le chapitre dédié.

S’il y a une leçon d’agrégation pour laquelle il n’est pas possible de trouver deux développements dans Le Frido, faites‐le‐moi savoir (de préférence avec des idées). Je suis complètement nul en agrégation ; la dernière fois que j’ai tenté, j’ai eu 1/20 en algèbre et 2/20 en analyse (11/20 en modélisation tout de même).

Giulietta

Le Frido n’est que le début. La suite est Giulietta qui contient des choses de plus haut niveau. Mon objectif là‐dedans est d’aller vers la théorie quantique des champs de façon compréhensible par un mathématicien, et en suivant la règle « définition, théorème, démonstration ».

Bon, d’accord, je sais que ça n’existe pas. On ne connaît pas de formulation mathématiquement cohérente de la théorie quantique des champs, mais je crois que je peux arriver à faire le champ scalaire libre en moins de temps qu’il m’en faudra pour mourir de vieillesse.

J’ai déjà pas mal de géométrie différentielle :

  • théorie des connexions sur les fibrés vectoriels, principaux et associés ;
  • transformations de jauge ;
  • structure spin sur une variété, opérateur de Dirac ;
  • représentations irréductibles de U(1) et SU(2) ;
  • équations de Maxwell en termes de connexions.

Mon plan pour la suite :

  • représentations irréductibles du groupe de Poincaré, lien avec celles de SL(2,C) (en suivant ceci) ;
  • savoir ce qu’est exactement un état sur une C*-algèbre (en suivant ceci) ;
  • comprendre ce que signifie précisément l’expression « smearing vector » (je n’ai pas encore trouvé de bonnes sources).

Le tout :

  • en utilisant les bons outils de géométrie différentielle ;
  • en écrivant x\cdot y ce que les physiciens notent x^iy_i ;
  • en disant « le vecteur v » et non « le vecteur v_{\mu} ».

Aller plus loin

  • # Ouch

    Posté par (page perso) . Évalué à 4 (+2/-0).

    Je m'incline, enfin un journal sur LinuxFr où je ne comprends pas les notions abordées.

    En tout cas merci pour ce partage en libre, ceux qui savent ce qu'est un déterminant doivent apprécier puisque tu indiques de nombreux lecteurs. Peux-tu partager un ordre de grandeur du succés annuel? (nombre de lecteurs que tu connais/nombre de aggrégés)

    ⚓ À g'Auch TOUTE! http://afdgauch.online.fr

    • [^] # Re: Ouch

      Posté par . Évalué à 6 (+5/-0).

      À mon avis le succès annuel est relativement limité.

      En 2016, c'était une trilogie; en 2017, 2018 c'est devenu une quatrilogie. Voici les ventes :

      2016: (17,17,17)= 51
      2017 : (9,9,9,10)= 37 <-- qui a acheté le 4ième tome sans les autres ??
      2018 :(9,7,7,7) = 30

      Cela dit, il faut comprendre qu'acheter le Frido n'est pas souvent un bon calcul. En effet, à part pour passer l'agrégation, je ne vois pas pourquoi on le voudrait en papier (si mes souvenir sont bons, l'année passée, quelqu'un a commenté sur linuxfr qu'il lisait le Frido dans le train comme d'autres lisent le Fables de La Fontaine, sauf que ça frime plus).
      Même pour passer l'agrégation, il y a deux cas. Soit le candidat est dans une université et alors il peut prendre une valise entière de livres à la bibliothèque (ne rigolez pas, j'en ai vu). Si le candidat est un candidat libre, le Frido est une possibilité (qui coûte 100 euros quand même). Mais ce n'est pas un mauvais calcul d'acheter en occasion trois ou quatre livres très connus et de compter sur les malles «des autres» le jour J.

      Tout cela pour dire que j'ai un seul témoignage de quelqu'un (à part moi) qui a utilisé le Frido pour l'agrégation; c'est Lillian Besson qui est par ailleurs un des grands contributeurs. Mais lui, il l'a utilisé avant que le Frido soit vendu.

      Je précise que la fois où j'avais le Frido avec moi, j'ai réussi.

      Au niveau des contributions, le résultat est bon.

      • Dans les remerciements, je compte 26 personnes qui ont fait des commentaires (j'espère n'avoir oublié personne)
      • Il y a 12 contributeurs dans le dépot git, c'est à dire 12 personnes qui ont fait des commits
      • J'ai perdu le compte des corrections/commentaires que j'ai reçu par mail personnel.

      Par contre, le principal objectif n'est pas du tout atteint. À ma connaissance, aucun mathématicien professionnel (ce que je ne suis pas) n'a essayé de publier un livre collaboratif. Autrement dit, le Frido n'a pour l'instant convaincu personne que publier les sources LaTeX et compter sur les lecteurs pour faire des commentaires est aussi efficace que faire relire le manuscrit par un éditeur commercial.

      Pour info, le HoTT book a précédé le Frido.

      • [^] # Re: Ouch

        Posté par . Évalué à 2 (+1/-0).

        Euh, c'est quoi un mathématicien professionnel ? Avoir un doctorat en mathématique (ce qui me semble est ton cas) ne suffit pas ?

        • [^] # Re: Ouch

          Posté par . Évalué à 4 (+3/-0).

          Le doctorat est la formation initiale; un professionnel est quelqu'un dont c'est la profession, c'est à dire qui est payé pour le faire, et qui le fait donc (en principe) 8h par jour tous les jours.

          • [^] # Re: Ouch

            Posté par . Évalué à 0 (+2/-3). Dernière modification le 14/09/19 à 13:57.

            Salut :)

            Soyons précis.

            Le doctorat est la formation initiale […]

            Le doctorat est une formation (et de loin ni la première ni la dernière en université), qui atteste de compétences. C'est apprécié mais pas indispensable dans le monde professionnel. ;)

            J'oubliais aussi : bravo pour tout le travail !

            • [^] # Re: Ouch

              Posté par (page perso) . Évalué à 5 (+3/-0).

              Je pense que par mathématicien professionnel il faisait référence aux chercheurs en mathématiques qui, eux, ont bien besoin d'un doctorat. Après, les doctorants en maths sont (la plupart du temps ?) sous un contrat CDD et payés un vrai salaire et contribuent des articles scientifiques, donc je dirais que c'est déjà des professionnels en début de carrière (carrière qui se finit souvent à la fin de la thèse du fait de la difficulté à trouver ensuite des postes fixes).

              Ceci dit, dans le contexte (agrégation), c'est vrai que c'était flou, car pour enseigner en lycée/collège avec l'agrégation (le truc le plus commun), un doctorat n'apporte que peu ou rien, tant pédagogiquement que bureaucratiquement.

              En fait, bureaucratiquement, si tu passes l'agrégation avant ta thèse et que tu demandes un report de prise de poste pour faire un thèse (classique), lorsque tu finis ta thèse, tu as moins de points que trois ans avant (il y a un bonus je sais pas quoi juste après l'agrégation) ; si, en plus, t'es célibataire sans enfants, tu es sûr de ne pas pouvoir choisir la région où tu veux ton poste — même le dernier classé au CAPES passe avant toi s'il est pacsé/marié, je te dis pas si en plus il a des enfants ; c'était de l'ordre agrégation = 21 points, mon super total, alors que 1 enfant = 100 ou 150 points ou quelque chose comme ça bien au-delà :-)

              Bon, et pédagogiquement, j'ai envie de dire que l'expérience qu'on a en enseignant à l'université n'a rien à voir avec celle d'enseigner en lycée ou collège qui font la plupart des postes d'agrégés. Ceci dit, même l'agrégation n'assure rien d'un point de vue pédagogique : tu es noté exclusivement sur tes compétences en maths bien au-delà du lycée et sur rien concernant la pédagogie à propos de laquelle tu n'as jamais reçu de formation avant d'enseigner (du moins, c'était le cas il y a quelques années, je crois pas que ça ait changé).

              • [^] # Re: Ouch

                Posté par . Évalué à 3 (+2/-0).

                Ah làlà.

                Soyons Précis (c'était une blagounette).

                Pour en revenir au débat, oui une thèse sert, et en effet une aggreg' c'est probablement autre chose.

                Je ne peux pas parler de l'aggreg car pas fait. Je peux parler de thèse car fait. En gros, ça ne me sert à rien mis à part ouvrir des portes. Mais dans ma vie de développeur, j'ai juste « gâché » 5 années (attention, aucun regret : j'ai appris des choses que je n'aurais jamais pu apprendre en entreprise).

                C'est un diplôme, il atteste d'une capacité et en France c'est très apprécié. Dans d'autres pays, c'est plus la reconnaissance du travail qui compte. Ça dépend de la culture "locale" ;-)

                Mon commentaire précédent est bien à prendre au second degré ;)

                • [^] # Re: Ouch

                  Posté par (page perso) . Évalué à 3 (+1/-0).

                  j'ai juste « gâché » 5 années (attention, aucun regret : j'ai appris des choses que je n'aurais jamais pu apprendre en entreprise).

                  Je suis bien d'accord, toute expérience nous apporte en général quelque chose ! Et pas que technique : pour moi l'agreg c'est surtout une année où je m'amusais en jouant au tarot et à la belote ;-)

                  Mon commentaire précédent est bien à prendre au second degré ;)

                  Je m'en doutais bien, sauf que comme tous les messages semblaient parler de quelque chose différent pour « professionnel », je suis venu ajouter mon grain de sel aussi :-)

  • # Un volume, des volules ?

    Posté par (page perso) . Évalué à 4 (+2/-0).

    Quand on clique sur les liens de la section Où est‐ce que j’achète ?, on remarque (ce qui me semble être) une typo : dans les noms des liens et sur la page de garde des tomes 2,3 et 4 on trouve volule au lien de volume.

  • # Giuletta

    Posté par (page perso) . Évalué à 2 (+0/-0).

    J'ai l'impression que Giuletta réinclut le Frido. Pourquoi ce choix ? Pourquoi ne pas en faire un livre séparé qui en serait la suite ?

    • [^] # Re: Giuletta

      Posté par . Évalué à 4 (+3/-0).

      Parce que Giulietta fait plein de références au Frido. On a beau vouloir faire de la théorie des champs, il faut (souvent) citer des théorèmes sur les espaces de Hilbert, et (moins souvent) sur les extensions de corps. J'ai toujours été ennuyé par les livres de physique qui faisaient «comme si» le lecteur savait tel ou tel résultat.

      Cela fait partie de ma philosophie du «tout en un».

  • # Dommage

    Posté par . Évalué à 6 (+5/-0).

    J'aurais bien voulu un livre "Maths: tout-en-un", mais je n'ai absolument pas le niveau pour lire ton livre. Faudrait que je reparte du niveau collège pour bien faire. :D

    En tout cas, félicitations pour le travail effectué.

  • # Limite en un point

    Posté par . Évalué à 0 (+0/-0). Dernière modification le 16/09/19 à 19:57.

    Juste par curiosité : quel est le programme de maths français qui dit que la limite en un point a est la limite lorsque x tend vers a pour x différent de a ?

    • [^] # Re: Limite en un point

      Posté par . Évalué à 0 (+0/-0). Dernière modification le 16/09/19 à 20:02.

      Il y a une remarque du Frido qui laisse entendre qu'un programme de maths officiel donne une définition louche. Dans le programme de prépa (MPSI), ils ne disent pas vraiment quelle est la définition de la limite, mais ils disent que si une fonction a une limite en a et que f est défini en a, alors cette limite est f(a). Il est donc clair que dans ce programme, la définition de limite est celle qui est utilisée dans le Frido.

      • [^] # Re: Limite en un point

        Posté par (page perso) . Évalué à 3 (+1/-0). Dernière modification le 16/09/19 à 20:49.

        Je n'ai pas trouvé la remarque dont tu parles. Dans le Frido, ils donnent la définition de limite en termes de voisinages dans le cas général d'un espace topologique. En MPSI, en cours, on définissait à l'aide de voisinages dans R (c'est-à-dire en pratique des ]a-ε,a+ε[), le cas d'utilisation le plus courant. Je ne sais pas ce que dit le programme, mais je pense que tout le monde fait comme ça.

        • [^] # Re: Limite en un point

          Posté par . Évalué à 1 (+1/-0). Dernière modification le 16/09/19 à 21:29.

          C'est ici, page 385

          8.1.13 Limite pointée ou épointée ?

          Ils laissent entendre que l'education nationale preconise de definir la limite en un point a comme limite lorsque x tend vers a pour x different de a. Ce n'est pas le cas dans le programme actuel de prepa MPSI. Qu'on soit sur R ou sur un espace topologique general ne change rien au probleme.

          Ils laissent entendre que ca peut poser probleme lorsqu'on parle avec des etrangers. Je trouve que c'est un peu abuser. Il y a bien d'autres soucis lorsqu'on parle avec des etrangers, notamment le fait que N = {0, 1, 2, …} en France et N = {1, 2, 3, …} aux USA. J'ai meme vu Villani ecrire que N = {1, 2, 3, …} dans un cours ecrit en francais. Donc les habitudes americaines arrivent doucement en France. Je ne sais pas ce qui se passe dans d'autres pays comme l'Allemagne ou l'Italie par exemple.

          • [^] # Re: Limite en un point

            Posté par (page perso) . Évalué à 3 (+1/-0).

            Tu m'apprends des choses, je savais pas que certains parlaient de « limite pointée ».

            • [^] # Re: Limite en un point

              Posté par . Évalué à 0 (+0/-0). Dernière modification le 16/09/19 à 21:50.

              J'ai trouve cet article de Daniel Perrin : https://www.math.u-psud.fr/~perrin/CAPES/analyse/fonctions/definitiondelimite.pdf

              Il milite pour la definition du Frido qui est bien evidemment la bonne, surtout si on veut enoncer des theoremes de composition. C'est la definition en prepa au programme de MPSI. Si il y a un programme de l'education nationale qui definit la limite au sens usuel comme la limite lorsque x tend vers a lorsque x est different de a, c'est effectivement une erreur grave car c'est ingerable pour la composition.

              Mais j'aimerais bien voir un tel programme. J'ai un peu de mal a croire qu'il existe d'ailleurs, car les personnes qui l'auraient redige auraient clairement craque leur slip.

              • [^] # Re: Limite en un point

                Posté par . Évalué à 4 (+3/-0).

                Il milite pour la definition du Frido qui est bien evidemment la bonne, surtout si on veut enoncer des theoremes de composition. C'est la definition en prepa au programme de MPSI. Si il y a un programme de l'education nationale qui definit la limite au sens usuel comme la limite lorsque x tend vers a lorsque x est different de a, c'est effectivement une erreur grave car c'est ingerable pour la composition.

                Il y a malcomprenure je crois. Dans le Frido, il est défini \lim_{x\to a}f(x)=\ell lorsque pour tout \epsilon, il existe un \delta tel que 0<|x-a|<\delta implique |f(x)-\ell|<\epsilon.

                Ça a déjà été discuté l'année passée ainsi que sur les deux pages de discussions de Wikipédia, par exemple ici.

                Cette définition, dite «épointée» en France, est la définition admise par la totalité de la communauté mathématique au monde, sauf dans les programmes Français.

                Pour répondre à la question initiale :

                quel est le programme de maths français qui dit que la limite en un point a est la limite lorsque x tend vers a pour x différent de a ?

                La réponse est «aucun». Justement, les programmes Français sont le seul endroit au monde où l'on trouve la limite définie sans exclure a du domaine où x varie.

                Et pour la remarque finale :

                J'ai un peu de mal a croire qu'il existe d'ailleurs, car les personnes qui l'auraient redige auraient clairement craque leur slip.

                Toute la planète a craqué son slip.
                https://math.stackexchange.com/questions/2324926/a-question-about-definition-of-limit
                https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_of_a_function
                https://zh.wikipedia.org/wiki/函數極限

                Pourquoi le Frido suit la définition «épointée» ?

                Les mauvais arguments d'abord

                • Par argument d'autorité : monsieur Perrin dit que les deux choix sont possibles et défendables. Donc j'ai le droit.
                • De l'aveu même de Perrin, la définition «pointée» n'a pas d'arguments très convaincants et doit son appui pour le CAPES pour rien de plus profond que «c'est ce qui a été utilisé dans le secondaire».

                Maintenant les vraies raisons.

                • Il faut être cohérent. Or si on veut faire des maths un poil plus loin que l'enseignement en France, il n'y a aucun débat : c'est la limite «épointée». Il est donc plus commode d'utiliser tout de suite la définition universellement admise.
                • La limite épointée permet de distingue plus de cas. En effet la phrase «la limite épointée de f en a existe» donne à f un peu moins de régularité que la phrase «f est continue en a», tandis que «la limite pointé de f en a existe» implique la continuité de f en a.
                • la limité épointée traduit l'idée intuitive de « la valeur f(x) s'approche de l quand x s'approche de a ». La limite pointée traduit l'idée intuitive de « la valeur f(x) est proche de l quand x est proche de a ».
                • Si on a peur que f soit pathologique en a, la limite épointée permet de travailler en deux coups : d'abord on calcule la limite épointée en a (qui ne dépend pas de la pathologie éventuelle en a), et ensuite on calcule la valeur en a et on peut la comparer à la limite.

                La limite pointée est d'accès un poil plus simple (en particulier pour la composition), mais elle paye en étant moins un poil moins riche en nuances.

                Cette simplicité d'accès est certainement un bon argument pour la prendre dans le secondaire. Mais, si c'est là la raison de l'avoir choisie dans le secondaire, je disconviens respectueusement avec Perrin avec l'opportunité de "reconduire" cette définition aux niveaux plus avancés.

                • [^] # Re: Limite en un point

                  Posté par (page perso) . Évalué à 2 (+0/-0).

                  N'ayant jamais entendu les termes « pointée » et « épointée » (ou alors leur séjour dans ma mémoire a été bref), j'ai l'impression qu'en dehors du secondaire, en effet tout le monde (même en France) utilise l'épointée en l'appelant simplement « limite ». Or, au secondaire, à mon époque, la définition donnée de limite (sans préciser épointée ou pointée) était admise, il me semble, présentée intuitivement avec des dessins, sans parler de ε. Les fonctions considérées étaient continues partout où elles étaient définies, on apprenait juste par cœur les limites des fonctions usuelles pour déduire par composition toutes les limites qu'on nous demandait sans voir de cas pathologiques.

                  Du coup, est-ce que ce soucis de vocabulaire se pose vraiment maintenant en pratique à un moment du cursus ?

                  • [^] # Re: Limite en un point

                    Posté par . Évalué à 2 (+1/-0). Dernière modification le 18/09/19 à 07:19.

                    Du coup, est-ce que ce soucis de vocabulaire se pose vraiment maintenant en pratique à un moment du cursus ?

                    À mon avis, pas souvent.

                    Ce qui est «à la limite» dans la limite pointée x\to a est la taille de l'intervalle autour de a.
                    Ce qui est «à la limite» dans la limite épointée x\to a, est bien le x.

                    Le mot «limite» et la notation x\to a décrivent précisément la limite épointée et non pointée.

                    Si tu prends la fonction f qui vaut zéro partout sauf en 0 où elle vaut 1. Avec la limite épointée, on peut dire «la limite en zéro existe et vaut zéro». Avec la limite pointée, on n'a juste pas le vocabulaire qu'il faut pour décrire la régularité de cette fonction.

                    Prend l'énoncé "deux fonctions f et g continues égales partout sauf peut être en un point a sont égales partout". La limite épointée permet d'énoncer la démonstration sous la forme "trivialement, lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x). Or les fonctions sont continues et sont donc partout égales à leur limite. Fin."
                    Avec la limite pointée, il faut chipotter un peu plus parce qu'on ne peut pas cacher la difficulté sous le théorème "une fonction est continue en a si et seulement si f(a)=\lim_{x\to a}f(x)".

                    Le fameux théorème de composition s'énonce "la composée de fonctions continues est continue"; dans le cadre de la limite pointée, ça n'a aucun intérêt de l'énoncer avec des limites.
                    Énoncé avec des limites épointées, ce théorème est, certes, un poil plus compliqué, mais il dit un peu plus.
                    Là je me permet d'insister : l'argument du théorème de composition n'est pas convainquant; au contraire, il montre la supériorité de la limite épointée parce qu'elle permet de dire plus.

                    À mon avis, fondamentalement, la limite épointée est meilleure parce qu'elle permet d'assurer ses arrières. Il n'y a aucun cas où elle est "moins bien" (parce que la notion de continuité recouvre bien la limite pointée), mais :

                    • elle est plus fine et donc permet de faire des distinctions plus riches entre les différents niveaux de régularité. Il y a quelque cas où ça peut servir, et en particulier on assure ses arrières au cas où on tombe sur un cas où c'est obligatoire;
                    • elle est utilisée partout; utiliser la limite pointée c'est comme utiliser la lettre \epsilon pour désigner un entier qui tend vers l'infini. C'est pas faux en soi … mais … ça provoque des malentendus inutiles.
                • [^] # Re: Limite en un point

                  Posté par . Évalué à 2 (+2/-0).

                  Je vais donner mon point de vue de thésard en analyse. Je préfère la définition "pointée", un peu par habitude (c'est la définition de la prépa), mais aussi parce qu'en fait, ce n'est pas important (pour un chercheur).

                  Si on prend une fonction f:E\to F et x\in \overline{E},
                  - la définition "épointée" de "f a une limite en x$ est en fait un cas particulier de la définition "pointée" : il suffit de restreindre le domaine de f à E\setminus\{x\} et on retrouve la définition "épointée". Dans l'autre sens, il faut faire des circonlocutions.
                  - dans un article, il est de toute façon préférable d'être le plus clair possible. En particulier, si f est continue en x, j'écrirais "f est continue en x" et pas "f admet une limite en x", même si c'est la même chose avec ma définition. Inversement, si f n'est pas continue mais admet une limite "épointée", je le préciserais d'une manière ou d'une autre, probablement en disant \lim_{x'\to x,x'\neq x} f(x') =\cdots.
                  - de manière générale, je n'ai pas rencontré dans ma recherche de situation où cette distinction avait une importance. Mais peut-être est-ce parce que je suis dans un domaine où ces questions n'apparaissent pas, et que la situation est différente dans d'autres domaines ? Si on me donne un article où ceci est important, je peux changer d'avis. Mais en attendant, je considèrerais que la définition "française" est tout aussi bonne que la définition "épointée".

                  Dit autrement, en recherche, de ce que j'ai pu voir, cette question n'a pas d'importance. Et comme la définition "pointée" en plus générale en jouant avec le domaine de départ, je la préfère. Un aspect qui pourrait me faire pencher pour une définition ou une autre est d'ordre pédagogique pendant mes enseignements : quelle est la définition avec laquelle les élèves s'en sortent le mieux ? Je serais intéressé par des études pédagogiques sur ce sujet, qui compare les performances des élèves dans les deux cas. Y en-a-t-il ? Lors de mes recherches (sur Google, pas mes recherches en maths) je n'en ai pas trouvé. Mais je ne suis pas un bon chercheur, alors… (recherche sur Google, pas mes recherches en maths, enfin je crois).

                  On pourrait aussi invoquer des raisons foireuses à base d'esthétique : la définition "pointée" me semble plus naturelle à définir, surtout dans les espaces topologiques où les voisinages épointés ne sont pas des objets naturels. Mais je suis assez lucide pour me rendre compte que c'est certainement une rationalisation de mon habitude, et pas un argument sérieux.

                  PS 1 : de toute façon, la seule vraie façon de parler de limite, c'est les filtres (ou les suites généralisées pour les personnes qui n'aiment pas l'abstraction). Quelqu'un de motivé pour enseigner ça en L1 ?

                  PS 2 : désolé de t'avoir laissé en plan pour les problèmes de topologie des fonctions tests. Après avoir échoué à compiler, ça m'a découragé, puis je me suis retrouvé dans le rush de fin de thèse. Qui sait, peut-être que je reviendrais dessus après ma soutenance ?

                  • [^] # Re: Limite en un point

                    Posté par . Évalué à 1 (+1/-1).

                    Je vais donner mon point de vue de thésard en analyse.

                    Dans le cas d'une thèse, c'est la limite épointé sans débat possible. Tu t'adresse à la communauté internationale, et dans la communauté de la recherche, la question n'existe même pas vaguement.

                    Toutes les circonvolutions de notations que tu peux inventer ne peuvent qu'induire en erreur le lecteur.

                    Par conséquent, cet argument :

                    dans un article, il est de toute façon préférable d'être le plus clair possible.

                    signifie que tu dois utiliser la limite épointée. C'est ce à quoi s'attend le lecteur. Et même pire : le lecteur n'a même jamais entendu parler qu'il y avait un débat à ce niveau.

                    Ah, tant que j'y suis, il y a la même chose pour "compact". Partout sauf en France, "compact" signifie "peut extraire un sous-recouvrement fini de tout recouvrement par des ouverts". Un compact peut être non séparé.
                    Là, je connais des gens qui se sont fait déchirer par des commités de sélection de post-doc pour avoir donné l'impression de ne pas savoir qu'il existait des espaces non séparables (ils avaient parlé de compacts et ce qu'ils disaient avait de faciles contre-exemples non séparables).

                    • [^] # Re: Limite en un point

                      Posté par . Évalué à 3 (+3/-0). Dernière modification le 19/09/19 à 14:05.

                      Il y avait un chargé de TD de la prépa Agreg de l'ENS-Lyon qui avait dit à un élève qui l'emmerdait sur ce genre de questions : "Écoute, tu sors de la salle. Ensuite tu prends l'ascenseur et tu descends au -1. À gauche, il y a un labo de bio et dans un placard, il y a une boite avec marqué dessus : Drosophiles. Tu ouvres la boite, et une bonne fois pour toute, tu les e……."

                      Oui, Walter Rudin semble avoir défini dans un de ses bouquins la limite en un point comme la limite lorsque x tend vers a lorsque x est différent de a. Après, si tu lis une thèse, et que tu ne comprends pas quelle est la limite que le mec utilise, c'est pas la peine de faire des maths. Personnelement, dans le symbole de limite, je mets x \neq a si je veux parler de limite au sens dont tu parles, et j'emploie la limite que tu qualifies de "française" dans les cas général.

                      J'ai jamais eu de problème à soulever sur ce type de définition bien qu'ayant fait de la recherche en analyse aux USA. Et pour la compacité, si tu as un doute, tu demandes à la personne sa définition. Si c'est dans un papier, un peu de bon sens te permettra de voir rapidement si l'espace topologique est séparable ou non.

                    • [^] # Re: Limite en un point

                      Posté par . Évalué à 1 (+1/-0).

                      Dans le cas d'une thèse, c'est la limite épointé sans débat possible. Tu t'adresse à la communauté internationale, et dans la communauté de la recherche, la question n'existe même pas vaguement.

                      Je ne suis pas d'accord avec toi, parce que, comme je l'ai dit, il n'y a ambiguïté que dans les cas où parler de limite n'est en fait pas intéressant. Donc dire "c'est la limite épointée et pas l'autre" n'a pas de sens, puisque c'est alors la même chose ! Pourquoi parler en termes aussi absolus alors que, dans les cas intéressants, c'est la même chose ?

                      Si jamais il y a ambiguïté, je le préciserais, en adoptant une terminologie non-équivoque. Comme ça, même les français comprendront, ce qui est encore mieux.

                      (Au passage, ma thèse est rédigée en français, mais on peut dire qu'on parle des articles que j'ai écrits.)

                      signifie que tu dois utiliser la limite épointée. C'est ce à quoi s'attend le lecteur. Et même pire : le lecteur n'a même jamais entendu parler qu'il y avait un débat à ce niveau.

                      Non, le plus clair est de préciser, puisque si les non-français s'attendent à une limite épointée, les français s'attendent eux à une limite pointée. Si tu importes unilatéralement des usages, les autres français ne comprendront pas.

                      Ah, tant que j'y suis, il y a la même chose pour "compact". Partout sauf en France, "compact" signifie "peut extraire un sous-recouvrement fini de tout recouvrement par des ouverts". Un compact peut être non séparé.

                      Effectivement, et il y a d'autres exemples. Par exemple croissant/nondecreasing. Ou les corps qui, dans certains cours, sont commutatifs. Ce n'est pas un problème de maths, c'est un problème de traduction. On traduit "compact" par "Hausdorff compact" dans un sens et par "quasi-compact" dans l'autre. On doit de toute façon apprendre la traduction de tout le jargon qu'on emploie, ce n'est pas différent. Et on peut aussi mentionner les noms de théorèmes qui ne sont pas les mêmes d'un pays à l'autre.

                      Chaque langage a ses habitudes et usages pour les noms. C'est comme ça, c'est pas grave. Lorsqu'on s'approche de la recherche, on l'apprend et on s'adapte. De même façon qu'on apprend le reste du jargon en anglais. C'est pareil pour tous les pays (même si la France semble plus impactée). Ces histoires de limites ne sont qu'un exemple de plus à cette liste.

                      Enfin, je le répète : la seule vraie notion de limite est celle de limite suivant un filtre. En recherche, le débat pointée/épointée ne se pose pas, pas parce que "c'est l'un et pas l'autre", mais parce qu'aucunes des deux notions n'est la bonne.

                      Sauf en enseignement, où on ne va pas enseigner les filtres, en L1 en tout cas. Là, la question est aussi inconséquente, puisque les étudiants devront apprendre les filtres ensuite.

                      • [^] # Re: Limite en un point

                        Posté par . Évalué à 4 (+3/-0).

                        Enfin, je le répète : la seule vraie notion de limite est celle de limite suivant un filtre. En recherche, le débat pointée/épointée ne se pose pas, pas parce que "c'est l'un et pas l'autre", mais parce qu'aucunes des deux notions n'est la bonne.

                        Ok. Tu m'as mis le doute. Il est vrai que, à moins que quelque chose m'échappe, le filtre des voisinages donne la limite pointée. En ce sens elle est meilleure. Et là c'est un argument que je dois considérer.

                        https://math.stackexchange.com/questions/3364039/usual-limit-from-filter

                        Bien joué.

                        • [^] # Re: Limite en un point

                          Posté par . Évalué à 0 (+0/-0).

                          La limite suivant le filtre des voisinages est effectivement la limite pointée. Et la limite suivant le filtre des voisinages de x épointée est la limite épointée (pour peu que ça soit effectivement un voisinage, c'est-à-dire lorsque x est un point d'accumulation).

                          C'est l'avantage des filtres : on a toute les notions de limites d'un coup. Limite pointée, limite épointée, limite à gauche, à droite, en haut, en l'infini, limite d'une suite, et d'autres encore.

                          Un autre avantage des filtres est que certaines démonstrations sont beaucoup plus simples avec. Je pense au théorème de Tychonoff et à l'existence des mesures de Haar.

                          En gros : si j'enseigne un jour la topologie, je parle de filtres.

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