Journal Si un MATHEUX pouvait me rafraichir la mémoire....

Posté par  .
Étiquettes : aucune
0
27
août
2003
Salut !

Je ne comprend rien au calcul suivant :

(1+x)^n >=1+nx

Bon.

Avec n+1 :

(1+x)^n+1= (1+x)^n (1+x)>(1+nx)(1+x)

=1+(n+1)x+x² > 1+(n+1)x

Je crois me souvenir (c'est tres vieux) que les puissance s'aditionne, ce qui donne donc le (1+x)^n (1+x).

Mais pour le reste je n'y comprend que dalle...

Certainent il doit y avoir une formule que j'ai oublié.

Si un matheux pouvait m'expliquer cette petite chose, ca serait sympa.

Aussi pourquoi le >= devient un > simple ????

pourquoi n'a-t-on pas 1+(n+1)x directement ? D'ou sort ce (1+nx)(1+x) ? Et comment devient-il 1+(n+1)x ?

Pareil pour le (1+x)^n (1+x) qui devient 1+(n+1)x+x² ....

Tous ca reste mystérieux.

Si quelqu'un de calé pouvait m'aider (J'ai pas fait de maths depuis plus de 10 ans..)

D'avance Merci !

  • # Re: Si un MATHEUX pouvait me rafraichir la mémoire....

    Posté par  . Évalué à 1.

    $ (1+x)^n >=1+nx $

    Tu multiplies ton inéquation par le nombre positif (1+x)
    $ (1+x)^(n+1) >= (1+nx)(1+x) = 1 + (n+1) x + x^2

    Comme $x^2>=0$,
    $ 1 + (n+1) x + x^2 >= 1 + (n+1) x $

    et donc par transitivité
    $ (1+x)^(n+1) >= 1 + (n+1) x $

    Si tu $ x \neq 0 $, tu peux remplacer $ >= $ par $ > $

  • # Re: Si un MATHEUX pouvait me rafraichir la mémoire....

    Posté par  . Évalué à 1.

    tu pars de :
    (1+x)^n >=1+nx

    Si 1+x est positif, alors en multipliant les 2 cotes de l'inegalite
    par (1+x), tu obtiens

    (1+x)^n * (1+x) >= (1+nx) * (1+x)

    a^n * a = a^(n+1) ca c pour la gauche de l'inegalite
    pour la droite, tu developpes, ce qui donne :
    (1+nx) * (1+x) = (1+nx) * 1 + (1+nx)*x
    = 1+nx + x + nx²
    = 1 + (n+1)x + nx²
    (au passage t'as une erreur dans ton calcul)
    et si n>=0, on a
    1+(n+1)x + nx² >= 1 + (n+1)x
    (sans plus de precision sur la valeur de x et n, ca me semble
    difficile de transformer >= en >)
    donc, en recollant les bouts :
    (1+x)^(n+1) >= 1 + (n+1)x

    (ceci valide pour 1+x>=0, soit x>=-1)

    c'etait ca la question ?

    ++

  • # Re: Si un MATHEUX pouvait me rafraichir la mémoire....

    Posté par  (site web personnel) . Évalué à 1.

    (1+x)^(n+1) = [(1+x)^n](1+x)
    >= (1+nx)(1+x) (cf l'inégalité de départ)
    >= 1+(n+1)x+x² (on développe le membre de droite)
    >= 1+(n+1)x (x² >=0 quelque soit x réel)
    inégalité stricte si x différent de 0

  • # Re: Si un MATHEUX pouvait me rafraichir la mémoire....

    Posté par  . Évalué à 2.

    C'est une demonstration par recurence, la demo n'est pas complète.

    J'essaie de la faire rapidement :

    Initialisation de la recurence :
    pour n=0 : (1+x)^n>=1+nx <=> 1>=1 c'est donc bon

    Supposons que pour n=N la relation est bonne (1):
    (1+x)^(N+1)=(1+x)^N.(1+x) (par definition de la puissance)
    d'apres hypothese (1) (1+x)^N>=1+Nx donc
    (1+x)^(N+1)=(1+x)^N.(1+x) >(1+Nx).(1+x) (il y a des contraintes sur x, on ne peut pas multiplier les deux membres de l'inéquation par n'importe quoi, on va dire que (1+x)>=1)

    (1+Nx).(1+x)=1+(N+1)x+Nx² (il y a une erreur dans ta demo, il manque le N devant la puissance de 2)

    1+(N+1)x+Nx²>1+(N+1)x

    donc on obtient :

    (1+x)^(N+1)>1+(N+1)x

    C'est la relation pour n=N+1 donc par recurence on demontre que quelque soit n dans N la relation est bonne.

    (Ma demo est incomplete au niveau des conditions sur x et sur l'inegalite qui devient strict)

    J'espere que cela t'auras aidé.

  • # Re: Si un MATHEUX pouvait me rafraichir la mémoire....

    Posté par  (site web personnel, Mastodon) . Évalué à 2.

    (1+x)^n >=1+nx (1)

    Bon, on part de là ? (mais tu veux faire quoi en fait ? trouver x ou n ou autre chose ? Ou démontrer la proposition ?)

    On voit que l'inégalité est trivialement vérifiée pour n=0 (1=1)
    Supposons que ce soit vrai pour n et montrons que, si c'est vrai pour n, ça l'est pour n+1. (récurence)

    Donc on doit démontrer que
    (1+x)^(n+1) >= 1+(n+1)x ? (2)

    Ce qui est équivalent à démontrer que
    => (1+x)^n*(1+x) >= 1+nx +x ? (3)

    On passe de (2) à (3) par simple distributivité à gauche, simple mise en évidence à droite. 2^3 = 2*2^2

    Mais aussi, on sait que (1+x)^n*(1+x) >= (1+nx)*(1+x) (4)

    (on trouve (4) en multilpliant membres à membres (1) par (1+x) )

    Donc, pour démontrer la relation (2), il faudrait que 1+nx+x <= 1+nx+x+nx^2.
    en effet. Si A est plus grand que B et que B est plus grand que C, A est fatlement plus grand que C.

    C'est trivialement le cas pour tout n positif.
    (en supprimant 1+nx+x des 2 cotés on trouve que nx^2 >= 0)

    Donc, pour tout n positif, on peut dire que (1+x)^n >=1+nx .

    cqfd
    (PS : le >= qui devient un > doit être une erreur)

    Mes livres CC By-SA : https://ploum.net/livres.html

  • # Re: Si un MATHEUX pouvait me rafraichir la mémoire....

    Posté par  . Évalué à 1.

    Tout d'abord, la formule de départ (1+x)^n >=1+nx m'est inconnue...
    Cela ressemble à une formule de développement limité (dl):
    lorsque x->0, on a : (1+x)^n = 1 + nx + n(n-1)x^2/(2!) + n(n-1)(n-2)x^3/(3!) + n(n-1)...(n-p)x^p / (p!) + x^(p+1)*epsilon(x)
    où epsilon est la fonction reste qui tend vers 0 quand x tend vers 0.
    (je fais de tête, je peux me tromper)

    Mes souvenirs de dl datent un peu, mais on doit pouvoir montrer que le reste est toujours positif. Bref, supposons cette formule vraie.

    (1+x)^(n+1)=(1+x)*(1+x)*...(1+x) (n+1 fois)
    =(1+x)*(1+x)^n
    Or (1+x)^n >= 1+ nx
    En multipliant membre à membre par 1+x, on a :
    (1+x)^(n+1) >= (1+nx)*(1+x)

    Or (1+nx)*(1+x) = 1 + nx+x+nx^2
    = 1 + (n+1)x + nx^2

    donc (1+x)^(n+1) >= 1 + (n+1)x + nx^2
    Si l'on suppose n et x >0, on a nx^2 > 0 donc
    1 + (n+1)x + nx^2 >1 + (n+1)x

    d'ou (1+x)^(n+1) >= 1 + (n+1)x + nx^2
    >= 1 + (n+1)x

    Donc, pas de disparition du = , et on pouvait aisement utiliser la formule de depart en remplacant n par n+1.

    J'ai un peu l impression d'avoir brasse de l'air, mais si j'ai pu aider un peu...

  • # Re: Si un MATHEUX pouvait me rafraichir la mémoire....

    Posté par  . Évalué à 1.

    Hop, au pif :
    le >= c au cas ou X=0 ou n = 1
    pour n+1 tu n'a plus l'égalité (mais toujours le cas x=0 !?:)

    Ensuite je suppose que X > 0
    donc (1+X) > 0 (1)

    or si a > 0 et que b > c alors ab > ac (2)
    donc dans ta récurrence (le n+1)
    tu as (1+X) ^ n+1 = (1+X)^n * (1 + X) (ce que tu appelles joliment l'addition des puissances)

    or (1+X)^n >= (1+nX) (Hyp de récurrence)
    donc d'après (1) et (2) (on considère que (1 +X) est a) tu obtiens que (1 + X)^n * (1 + X) >= (1+nX) * (1 + X)
    <=> (équivalent à)
    (1+X)^(n+1) >= (1+nX) * (1 +X)

    or si on dévelloppe (1+nX) * (1 +X), on obtient :
    (1+nX) + X + nX^2 = 1 + (n+1)X + nX^2

    or si X > 0 alors nX^2 > 0
    donc
    1 + (n+1)X + nX^2 > 1 + (n+1) X ( et là c'est bien un > et non un >= à cause du nX^2 > 0)

    Voila, en espérant être clair :)
    Caeies, qui fait plus de Maths depuis 3 ans :) (mais qu'en a bouffé :)

  • # Re: Si un MATHEUX pouvait me rafraichir la mémoire....

    Posté par  . Évalué à 1.

    > Mais pour le reste je n'y comprend que dalle...
    (1+nx)(1+x)=1+(n+1)x+x² c'est un développement
    plus doucement :
    (1+nx)(1+x)=1.1+1.x+nx.1+nx.x
    =1+x+nx+nx²
    =1+(n+1)x+nx² (j'ai regroupe le x et le nx)
    Après, comme le x² est positif (le carré d'un nombre positif est positif, celui d'un nombre négatif aussi ex. (-2)²=-2x(-2)=+4), si on ajoute x² à 1+(n+1)x, c'est plus grand, donc (1+nx)(1+x)>=1+(n+1)x
    Et c'est bien >=, on n'a pas besoin de > je pense

  • # Re: Si un MATHEUX pouvait me rafraichir la mémoire....

    Posté par  . Évalué à 2.

    pour ton souvenir tu as bon : x^(a+b) = x^a * x^b


    ------------------------
    explication de la methode utilisée

    en fait cette demonstration utilise la méthode de la démonstration par récurrence

    tu veut montrer qu'une proposition P(n) est vraie quelque soit n :
    1) tu montres qu'elle est vraie pour n=0 ( tu montres P(0) )
    2) tu montres que si elle est vraie pour un n donné, alors elle est vraie pour n+1 ( tu montres que P(n) implique P(n+1) )

    donc si elle est vraie pour n=0, elle est vraie pour n+1=1
    de meme si elle est vraie pour n=1 (ce que je viens de montrer) elle est vraie pour n+1=2
    de la meme maniere tu peux le montrer pour tous les "n" possibles
    donc elle est vraie pour tout n
    ------------------------

    donc ici l'auteur de la demonstration applique cette methode

    il montre que (1+x)^0 >= 1+0*x
    ce qui est evident
    (ca tu l'as pas mis mais j'imagine que ct marqué la ou tu l'as lu

    ensuite il veut montrer que si pour un n donné on a :
    (1+x)^n >=1+nx
    alors pour ce meme n on a :
    (1+x)^(n+1) >= 1+(n+1)x


    donc pour ca il prend un n et il suppose qu'on a
    (1+x)^n >= 1+nx

    ensuite il faut montrer que
    (1+x)^(n+1) >= 1+(n+1)x


    allons-y donc :

    comme tu le dis,
    (1+x)^(n+1) = (1+x)^n * (1+x)
    (egalité (1) )

    or on a supposé que :
    (1+x)^n >= 1+nx

    donc (1+x)^n * (1+x) >= (1+nx) * (1+x)
    (en multipliant de chaque coté par (1+x) qui est j'imagine positif, tu dois avoir des contraintes sur x comme x>0 j'imagine, vérifie ton énoncé)
    (en effet une inégalité ne change pas de sens si on multiplie chaque membre par un nombre positif)

    donc en utilisant l'egalité (1) plus haut, on a :
    (1+x)^(n+1) >= (1+nx) * (1+x)


    or (1+nx) * (1+x) = 1+(n+1)x+x²
    tu trouves ça en développant le produit des 2 sommes
    en effet (a+b) * (c+d) = ac+ad+bc+bd

    donc on a :
    (1+x)^(n+1) >= 1+(n+1)x+x²

    or x>=0 (j'imagine) donc x²>=0
    donc 1+(n+1)x+x² >= 1+(n+1)x

    or si a>=b et b>=c ca donne a>=c
    donc on a enfin :
    (1+x)^(n+1) >= 1+(n+1)x

    donc on a bien montré la relation pour n+1, en l'ayant supposée vraie pour n

    comme elle est vraie pour n=0, elle est vraie pour tout n

  • # Re: Si un MATHEUX pouvait me rafraichir la mémoire....

    Posté par  . Évalué à 1.

    comme ca a fusé :-)))

    c'est vraiment un nid de taupes ici 8-)

  • # Re: Si un MATHEUX pouvait me rafraichir la mémoire....

    Posté par  . Évalué à 4.

    Hum, je suis un peu a la bourre mais voici ma modeste contribution

    # Résultat:
    Pour tout n>=0 (n entier) et x>=-1
    (1+x)^n >= 1+nx

    # On peut faire une démo élémentaire par récurence comme tu le propose:

    Pour n=0 c'est immediat

    Si on suppose le resultat pour n, on a pour n+1:
    (1+x)^(n+1) = [(1+x)^n]*[1+x]
    >= [1+nx]*[1+x] //en utilisant l'hypothese de récurence et 1+x>=0
    >= 1+(n+1)x+x² //en developpant
    >= 1+(n+1)x //car x²>=0

    D'ou par recurence, pour tout n>=0 et x>=-1
    (1+x)^n >= 1+nx

    De plus, si x!=0 on a
    (1+x)^(n+1) > 1+(n+1)x //car x²>0

    D'ou pour x!=0 et n>0
    (1+x)^n > 1+nx


    # Remarque: on peut aussi utiliser la formule de Taylor-Lagrange a l'ordre 1:

    (1+x)^n = 1 + nx + Int((x-t)*n*(1+t)^(n-1),t,0,x)

    Or, pour -1<=x<=0, la fonction qu'on intègre est negative
    et les boenes d'integrations sont 'à l'envers', donc l'integrale
    est positive, d'ou (1+x)^n >= 1+nx
    De meme pour 0<=x, la fonction qu'on intègre est positive,
    d'où le résultat


    # Ou une démo plus simple:

    La fonction x->(1+x)^n est convexe sur [-1,+inf]
    (sa derivée seconde n*(n-1)*(1+x)^(n-2) est positive),
    elle est donc au dessus de ses tangentes, en particulier
    la tangente en 0: T(x)=1+nx (car f(0)=0 et f'(0)=n)


    ---
    Un taupin qui est bien content d'en avoir fini.

    Note personnelle: j'aime surtout la derniere demo

    • [^] # [+++]

      Posté par  . Évalué à 1.

      clap clap pour la derniere :))

      comme tu nous a tous grillés !

      enfin ça me fait pas regretter la prépa quand même

    • [^] # Re: Si un MATHEUX pouvait me rafraichir la mémoire....

      Posté par  . Évalué à 2.

      J'aime bien cette démo, moi, je vote pour celle-là. (désolé je ne peux pas plusser, mais le coeur y est)

  • # Yes !

    Posté par  . Évalué à 1.

    Sympa !

    Merci tous le monde !

    La, j'ai matiére à réflexion :-)

    Je vais donc étudier tous cela, encore merci.


    Sinon, c'est effectivement un resonement par récurence, l'inégalité de Bernouilli il me semble.

    Mais bon, les maths, quand on ne pratique plus depuis longtemps...
    La récurence ca va, mais le reste, ouille ouille ouille.


    Encore merci pour vos explications bien complétes,
    Vous etes super !

  • # Re: Si un MATHEUX pouvait me rafraichir la mémoire....

    Posté par  (site web personnel) . Évalué à 3.

    Sans me lancer dans un démonstration, les précédentes me semblant déjà pas mal, je ne peux tout de même pas m'empècher de donner ce lien: http://www-didactique.imag.fr/preuve/Newsletter/000910Theme/000910T(...)
    qui permet de pas mal accélerer les démonstrations (voir le point 2, de toute beauté.)

    Quelques morceaux choisis:

  • Démonstration par appel à l'opinion publique : "Si c'était vrai ça se saurait, donc c'est faux..."

  • Démonstration par nécessité : "Ça doit être vrai, sinon toutes les mathématiques s'effondreraient."


    • etc.

Suivre le flux des commentaires

Note : les commentaires appartiennent à celles et ceux qui les ont postés. Nous n’en sommes pas responsables.