Le Frido : livre libre de mathématique pour l’agrégation et plus

Posté par  . Édité par Yves Bourguignon, Ysabeau, Benoît Sibaud et palm123. Modéré par Ysabeau. Licence CC By‑SA.
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sept.
2021
Éducation

Le Frido est un livre de mathématique monolithique qui va de la construction des naturels (axiomatique non comprise) jusqu’aux derniers retranchements de l’agrégation : analyse, algèbre, probabilités, statistiques. Licence FDL.

Sommaire

Avertissement : pas pour les débutants

Bien que les démonstrations soient très détaillées et que rien ne soit considéré comme évident, le Frido n’est pas un livre pour les débutants :

  • les définitions sont données dans le cadre le plus général possible ;
  • les résultats sont démontrés dans l’ordre logique mathématique, pas dans l’ordre pédagogique—j’ai un script en Python pour vérifier que toutes les références se font vers le haut. Il n’y a nulle part « nous démontrerons plus tard ce théorème que nous utilisons tout de suite ». Cela rend la table des matières très fragmentée ; il est difficile de faire une partie algèbre, suivie d’une partie analyse suivie d’une partie probabilités.
  • le Frido n’utilise aucun abus de notations sans le dire très explicitement et sans démontrer qu’elles fonctionnent. Le cercle est dans \mathbb{R}^2 et n’est pas l’ensemble des nombres complexes de norme 1, et est encore moins la partie [0,2\pi[ de \mathbb{R}. Les isomorphismes entre ces ensembles sont écrits, et il est démontré par exemple que les mesures et tribus passent correctement à travers ces isomorphismes. Certes ça alourdit toutes les démonstrations, mais au moins c’est correct.
  • Certaines dépendances que tout le monde semble considérer comme « évidentes » sont explicités : le birapport dépend du choix d’identification entre \mathbb{R}\cup\{\omega\} et la droite projective ; une extension de corps par un élément dépend du corps « ambiant ».

Je crains par contre que le Frido ne soit tombé dans ce piège.

Changements

Quelques résultats ajoutés depuis septembre passé.

  • Théorème pour permuter distribution et intégrale
  • Le dual d’un espace vectoriel normé sépare les points
  • Le cas d’égalité dans Hölder et Minkowski
  • Les naturels : définition, opérations, ordre.
  • Un théorème permettant de définir une application par récurrence.

J’ai ajouté une liste de développements leçon par leçon. Cette liste est très incomplète, et je ne sais pas si les choix sont pertinents. Toutes les recommandations sont bienvenues.

Les images de couverture ont changé. C’est toujours tiré de Pepper et Carrot de David Revoy.

Agrégation

Une grande nouvelle de cette année est que le Frido est sur la clef agreg de l’agrégation interne. Pour l’agrégation externe, je ne sais pas.

Si vous voulez utiliser le Frido à l’agrégation, il faut l’acheter ; voir le règlement plus bas.

Règlement de l’agrégation

Le règlement de l’agrégation concernant les livres est à la page 75 du rapport. En très résumé, deux points sont saillants :

  • seuls sont autorisés les ouvrages avec un numéro ISBN et jouissant d’un minimum de diffusion commerciale ;
  • cette restriction est motivée par le principe d’égalité des candidats : les ressources documentaires autorisées doivent être facilement accessibles à tout candidat au concours.

Que pouvons-nous en déduire ?

  • Les phrases sont écrites au présent. Les livres qui ne sont plus commercialisés sont donc interdits. Comme en témoigne cette conversation, certains classiques de l’agrégation ne sont pas « faciles » à trouver. Ils sont donc interdits, et c’est une bonne chose.
  • Si nous comptons l’équité financière dans « facilement accessibles », un livre de 30 euros rien que pour la topologie viole sinon la lettre, en tout cas l’esprit du règlement.

Nous retombons sur des classiques du libre : la pérennité et le cout.

Bon, là j’exagère peut-être un peu. Mais je crois quand même qu’il est une bonne chose d’avoir mis l’équité envers tous les candidats et la facilité d’accès au centre du règlement. Cela devrait ouvrir quelques discussions autour de la prépondérance des livres privateurs dans l’agrégation.

Telle que l’agrégation fonctionne aujourd’hui, il y a une très nette rupture d’équité d’accès aux livres entre les différents candidats.

La clef agreg contient (au moins) trois livres libres :

Si vous avez vous-même rédigé des notes de cours, je vous encourage à

  • y mettre une licence libre ;
  • le publier en auto-édition (thebookedition, lulu) ;
  • écrire une annonce par an sur LinuxFr.org.

Apparemment, ces trois actions déclenchent une magie qui fait qu’on se retrouve sur la clef agreg quelques années plus tard :)

Remerciements

Chaque année, de nombreuses personnes m’écrivent pour me signaler une multitude d’améliorations possibles, allant de la « bête » faute de frappe jusqu’à la vraie grosse faute de mathématique. Je ne sais pas quel bouche-à-oreille est allé d’ici jusqu’à la clef agreg, mais les gens qui y ont participé ont fait également un sacré travail.

Bref, même si certaines contributions ont l’air d’être plus décisives que d’autres, dans le Frido comme dans tout projet libre, toutes les contributions sont essentielles.

Giulietta

Giulietta est un document plus informel. Il contient à peu près tout ce que je connais en mathématique. Il se divise en quatre parties :

  • Le Frido en français
  • De la mathématique plus avancée en anglais : beaucoup de géométrie différentielle
  • Des exercices et corrigés de Matlab que j’avais donné il y a longtemps à Louvain-la-Neuve
  • Des exercices et corrigés de mathématique provenant de TP donnés à Bruxelles et Besançon.

Comment contribuer ?

Pas besoin de taper en LaTeX pour contribuer.

  • Écrivez-moi si vous trouvez des erreurs ou des passages pas clairs.
  • Je me permets d’insister sur « passages pas clairs ». Si vous avez besoin de 20 minutes pour comprendre une ligne, c’est qu’il manque des explications. N’hésitez pas à me le faire savoir.
  • Faites une capture d’écran et griffonnez sur le jpg. C’est plus pratique que de dire « dans le troisième terme de l’équation en dessous de (23.127), l’indice du A devrait être j ».
  • Rédigez une démonstration à la main sur du papier et envoyez-moi une photo. Plusieurs contributeurs l’ont déjà fait, et ça marche bien.
  • Pour désigner une proposition ou une équation, utilisez les labels affichés. Au lieu de dire « la proposition 27.112 », dites « la proposition PROPooHNJZooGfRCfU ». Une recherche de « HNJZ » dans le pdf donnera toujours le bon résultat alors que le numéro peut changer.
  • Si possible ajoutez des références vers les sources utilisées.

Aller plus loin

  • # Bravo !

    Posté par  . Évalué à 5 (+3/-0).

    les résultats sont démontrés dans l’ordre logique mathématique, pas dans l’ordre pédagogique

    Je comprends bien qu'à certains moments on considère plus pédagogique de ne pas suivre l'ordre logique pédagogique mais il me semble que suivre l'ordre logique mathématique peut aussi être un choix pédagogique pertinent, non ?

    Je crains par contre que le Frido ne soit tombé dans ce piège.

    J'ai l'impression qu'il parle de deux pièges, non ? Tu as "choisi" lequel ?

    Des exercices et corrigés de Matlab que j’avais donné il y a longtemps à Louvain-la-Neuve

    C'est marrant, j'ai l'impression que la proportion de moules liées d'une manière ou d'une autre à LLN est loin d'être négligeable. Malheureusement, sur le sujet, Benoît ne saura pas nous sortir de chiffres pour confirmer ou infirmer ce buikgevoel.

    Je me permets d’insister sur « passages pas clairs ». Si vous avez besoin de 20 minutes pour comprendre une ligne, c’est qu’il manque des explications.

    Ou bien cela veut dire que je n'ai plus fait de mathématiques depuis trop longtemps.

    La clef agreg contient (au moins) trois livres libres : […] Cours d’analyse de Jacques Harthong cc-by-nc-sa

    Haha, la subtile tentative de lancer de troll.

    Encore bravo pour ce bel ouvrage !

    Surtout, ne pas tout prendre au sérieux !

    • [^] # Re: Bravo !

      Posté par  . Évalué à 4 (+3/-0).

      J'ai l'impression qu'il parle de deux pièges, non ? Tu as "choisi" lequel ?

      Le premier; le second je ne comprends même pas de quoi ça parle :)

      Haha, la subtile tentative de lancer de troll.

      Heu je ne vois pas … heu … woooo !! Je n'avais pas vu! Je viens de remarquer qu'il ne donne pas les sources et que la licence n'autorise pas la réutilisation commerciale.
      Bien vu.

      Je comprends bien qu'à certains moments on considère plus pédagogique de ne pas suivre l'ordre logique pédagogique mais il me semble que suivre l'ordre logique mathématique peut aussi être un choix pédagogique pertinent, non ?

      De temps en temps, oui. Mais au point du Frido, non. Le lemme de Zorn est un des premiers résultats énoncés (non démontré), puis le premier chapitre enchaine sur la constructions des natures, entiers, rationnels (corps des fractions) et des réels. C'est bourré de pièges. Par exemple la construction des réels est faite par suites de Cauchy de rationnels. Mais vu que les réels ne sont pas encore construits, "de Cauchy" ne veut pas dire ce qu'on croit (pour tout esplilon dans R, il existe, etc.)
      Pédagogiquement, ce premier chapitre ne doit être lu que par des étudiants qui sont déjà bien à l'aise avec la théorie des corps, les classes d'équivalences, et les convergences de suites.

      • [^] # Re: Bravo !

        Posté par  . Évalué à 1 (+0/-0).

        Le premier; le second je ne comprends même pas de quoi ça parle :)

        Si tu as compris le premier et que tu sais l'expliquer à quelqu'un qui n'a plus que de vagues notions de probabilité, je suis preneur :)

        • [^] # Re: Bravo !

          Posté par  . Évalué à 2 (+0/-0).

          Le premier paragraphe du lien dit en gros que lorsqu'on définit un paramètre (de façon assez suffisante) puis un second qui dépend du premier, il peut s'avérer du coup (dans l'exemple qui a été pris) que le premier paramètre ne soit plus assez explicitement défini pour que le second soit circonscrit ; en tout cas le cheminement/raisonnement logique est rompu (on bogue un peu si on est vigilent sinon on fait facilement des contre-sens/erreurs.) Ce genre de souci n'est pas intentionnel et peut arriver facilement dans certains contextes.
          Ici, je pense que le lien est par rapport à la progression voulue : ne pas utiliser de notion non définie précédemment et y aller progressivement. Mais l(es) auteur(s) du Frido crai(gnen)t de n'voir pu honorer l'engagement et ce à leur insu. Les problème de la poule et de l'œuf quoi.

          p.s. J'ai lu la page en diagonale mais j'espère n'avoir pas fait de contre-sens.

        • [^] # Re: Bravo !

          Posté par  . Évalué à 4 (+3/-0).

          Si on veut modéliser un pile ou face, on dit «soit une variable aléatoire valant pile ou face avec probabilité 1/2». C'est un raccourcis pour dire qu'on considère :

          • un ensemble \Omega contenant un nombre pair d'éléments
          • une application sur \Omega valant "pile" sur la moitié de \Omega et "face" sur l'autre moitié.

          Pour modéliser deux pile ou face, on dit «soient deux variables aléatoires indépendantes qui valent pile ou face avec probabilité 1/2». Sous-entendu :

          • un ensemble \Omega contenant un nombre d'éléments divisible par 4
          • une fonction sur \Omega valant (pile, pile) sur un quart de \Omega, valant (pile, face) sur un quart, (face, pile) sur un quart et (face, face) sur le dernier quart.

          Le problème est quand l'énoncé d'une théorème dit «soit X un pile ou face (sans préciser quel \Omega) et bla bla bla»

          Si en cours de démonstration on dit «Soit Y un autre pile ou face indépendant de X», alors on est fautif. Parce que si X est en fait défini sur \{1,2,3,4,5,6\} (nombre pair d'éléments, mais pas divisible par 4), on ne peut pas y mettre un deuxième "pile ou face".

          La façon rigoureuse d'introduire Y serait de prendre une nouvelle variable aléatoire X' définie sur \Omega\times \{1,2\} (c'est à dire qu'on duplique X : une fois pour Y=pile et une fois pour Y=face).

          À partir de ce moment, on n'est plus en train de démontrer des choses sur le X de l'énoncé, mais sur le X' qui est une extension.

          • [^] # Re: Bravo !

            Posté par  . Évalué à 2 (+1/-0).

            Super merci, avec l'exemple c'est plus clair.

          • [^] # Re: Bravo !

            Posté par  . Évalué à 2 (+1/-0).

            Pour les personnes intéressées, le blog de Terrence Tao détaille plus avant cette approche de ce problème. En gros, on s'autorise à étendre un espace de probabilité, pourvu que toutes les notions qu'on étudie (loi, indépendance, que-sais-je…) soient compatibles avec les extensions d'espace de probabilité (c'est dans les premiers paragraphes du post en lien).

  • # agrégation

    Posté par  (site Web personnel) . Évalué à 2 (+1/-0).

    Une grande nouvelle de cette année est que le Frido est sur la clef agreg de l’agrégation interne. Pour l’agrégation externe, je ne sais pas.

    Félicitation ! C'est même la consécration de tout le travail accompli.

    • [^] # Re: agrégation

      Posté par  . Évalué à 2 (+1/-0).

      Félicitation !

      merci.

      C'est même la consécration de tout le travail accompli.

      Effectivement, c'est une preuve qu'il y a quelque personnes sérieuses qui n'ont pas trouvé deux fautes en regardant sur deux pages au hasard.; et qui estiment que le Frido peut avoir une utilité. Ça fait plaisir.

      Si je préparais l'agrégation, je m'enquerrais tout de même quelle version y est.
      Pour l'anecdote, quand j'ai complètement raté passé essayé l'agreg en 2015, la version du livre de Chafaï sur la clef n'était pas celle annoncée sur le site; il y avait un chapitre et un co-auteur de plus sur la clef.

      J'ai téléchargé la clef, et le répertoire supposé contenir les livres est vide. Je suppose que c'est à cause des droits d'auteurs sur les autres livres.

      • [^] # Re: agrégation

        Posté par  . Évalué à 2 (+2/-0). Dernière modification le 13/09/21 à 20:50.

        Félicitations pour ce superbe travail qu'est le Frido !

        Par contre, il est sur la clef de l'agreg interne et ne serait-ce pas plutôt un livre destinée à l'agreg externe ?

        • [^] # Re: agrégation

          Posté par  . Évalué à 1 (+0/-0).

          Par contre, il est sur la clef de l'agreg interne et ne serait-ce pas plutôt un livre destinée à l'agreg externe ?

          oui; mais ce n'est pas la même clef ?

          Sinon, si un candidat ou un formateur à l'agreg externe pouvait demander à un membre du jury de l'ajouter, ce serait certainement une bonne chose.

          • [^] # Re: agrégation

            Posté par  . Évalué à 2 (+2/-0).

            D'après le site : agregOS, il est dit qu'il s'agit du "Système d’exploitation pour les épreuves orales de l'agrégation interne de Mathématiques".

            J'en déduis (peut-être trop vite) que pour l'externe, il y a autre chose.

            Comme l'élaboration de la clef doit demander pas mal de boulot et qu'elle repose sur des logiciels libres. Je pense qu'il serait plus judicieux de faire une clef CAPES/AGREG interne/externe, où chacun pioche ce dont il a besoin.

            Dans ce cas, les livres d'exo7math qui sont d'un plus bas niveau, mériteraient d'y figurer. Ce serait pour eux aussi une belle reconnaissance.

            Sinon, pour quelqu'un qui bosse l'interne, conseilles-tu la lecture du Frido ?
            Si oui par où commencer ?
            Et si la personne est assez folle pour le faire que souhaiterais-tu comme retours ?

            • [^] # Re: agrégation

              Posté par  . Évalué à 3 (+2/-0).

              J'en déduis (peut-être trop vite) que pour l'externe, il y a autre chose.

              Bonne déduction.

              M'est avis que la liste des documents sur la clef de l'agreg externe est ici:
              https://agreg.org/index.php?id=bibliotheque-numerique-pour-la-modelisation

              Dans ce cas, les livres d'exo7math qui sont d'un plus bas niveau, mériteraient d'y figurer. Ce serait pour eux aussi une belle reconnaissance.

              Clairement; ce serait un bel ajout.
              Par contre, il ne faut pas surestimer l'importance d'être sur cette clef. Elle n'est utilisable que durant l'épreuve de modélisation; les candidats doivent quand même apporter leurs livres pour les deux autres oraux.

              Incidemment, je vois qu'exo7 n'est cité que 2 fois dans le Frido … je me soupçonne de ne pas les avoir cité à chaque utilisation.

              Sinon, pour quelqu'un qui bosse l'interne, conseilles-tu la lecture du Frido ?

              Je n'ai jamais fait l'interne. Mais pour ce que j'en ai compris, c'est beaucoup d'exercices. Et justement le Frido n'est pas très riche en exemples et exercices.

              Si oui par où commencer ?

              À mon avis, il faut partir des leçons, des plans et des développements. Chercher dans le Frido les définitions, énoncés et démonstrations utilisées.
              Surtout ne pas faire une lecture linéaire en partant du début.

              Cela dit, mes conseils sont à prendre avec du recul : la dernière fois que j'ai tenté l'agreg, j'ai eu 1/20 en algèbre et 2/20 en analyse.

              Et si la personne est assez folle pour le faire que souhaiterais-tu comme retours ?

              En termes d'amélioration de l'existant :

              • savoir les passages pas clairs ou pas assez justifiés
              • les fautes

              Pour ajouter des choses :

              • des exemples de tout
              • des énoncés et preuves en plus si nécessaire.

              Pas besoin de taper en LaTeX. J'accepte les photos de feuilles écrites à la main. (un candidat doit de toutes façons passer du temps à rédiger proprement des démonstrations et des solutions d'exercices)

              J'accepte aussi les copies d'écran du Frido en jpg sur lesquelles il y a des commentaires écrits à le souris. (c'est pratique si c'est juste pour pointer une faute de frappe)

              • [^] # Re: agrégation

                Posté par  . Évalué à 3 (+1/-0).

                Bonjour. Tu connais tous les sujets que tu abordes dans ton livre et tu n'as pas l'agrég ? C'est si mortel que cela ? Ça ne m'encourage pas trop à le tenter !

                • [^] # Re: agrégation

                  Posté par  . Évalué à 2 (+1/-0).

                  Pas tout à fait.
                  En réalité, j'ai très bien réussi les deux écrits, et ensuite j'ai fait 11/20 en modélisation, ce qui n'est pas tout à fait minable.
                  C'est en algèbre et en analyse que j'ai eu 1/20 et 2/20. La raison principale est que je n'ai jamais travaillé à faire un plan de leçon, et que j'ai pratiquement découvert la démonstration des développements durant la préparation, dans des livres que je n'avais jamais ouvert.

                  Ça c'était la cession 2015, la seule cession durant laquelle le Frido était interdit. Durant la cession 2013 où le Frido était autorisé (et même dans la bibliothèque), j'ai réussi l'agreg. Mais là j'avais le Frido avec moi (650 pages à l'époque)

                  Bref, ça pour dire qu'il y a une bonne partie de bachotage dans les leçons : il faut avoir préparé les plans, connaître les développement sur le bout des doigts, et savoir la table des matière des livres qu'on compte utiliser.

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