Le Frido 2025

Posté par  (site web personnel) . Édité par BAud, Benoît Sibaud et Xavier Teyssier. Modéré par Xavier Teyssier. Licence CC By‑SA.
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sept.
2025
Éducation

Présentation

Le Frido est un livre de mathématique libre initialement destiné à l'agrégation, mais devenu généraliste. En supposant connue une théorie intuitive des ensembles, ça va jusqu'aux martingales, distributions, extensions de corps, etc. Avec toutes les démonstration intermédiaires (modulo les 981 entrées restantes dans ma liste de choses à faire).

Les résultats sont classés par ordre logique mathématique : chaque démonstration ne s'appuie que sur des résultats énoncés et démontrés plus haut. C'est loin d'être l'ordre pédagogique.

L'extension guilietta donne le reste de ce que je sais en math : groupes de Lie (l'objectif est de donner la liste des représentations de SL(2,C)).

Nouveautés 2025

Le bouquin vient de dépasser les 3000 pages cette année.

  • Théorème de Banach-Alaoglu.
  • Démonstration du fait que le système trigonométrique est une base hilbertienne.
  • Fonctions analytiques entre espaces de Banach. L'objectif sera d'énoncer et démontrer le théorème d'inversion locale. Le seul doc que j'aie trouvé est celui-ci. Sinon ChatGPT se débrouille assez bien.
  • Structure de groupe de Lie sur un sous-groupe fermé (ça c'est dans une extension)
  • Dans le même ordre d'idée : modification de la définition d'une variété pour accepter des cartes à partir d'ouverts de n'importe quel espace vectoriel normé (et non seulement de \mathbb{R}^n). Formellement, ça rend correcte pour un groupe de Lie l'idée de prendre des cartes depuis l'algèbre de Lie. En pratique, ça permet aussi de prendre des cartes depuis le produit tensoriel des fibres pour prendre le produit tensoriel de fibrés vectoriels. Si on n'accepte que des cartes depuis des ouverts de \mathbb{R}^n, il faut prendre un isomorphisme (pas canonique) entre \mathbb{R}^n et le produit tensoriel, et montrer qu'en réalité rien ne dépend de ce choix. L'inconvénient est qu'on ne peut plus parler de l'ensemble des cartes.

Sommaire

Mon flot de rédaction

Quand j'écris une démonstration, soit je cherche un peu par moi-même, soit je cherche sur internet. Quand je trouve un texte qui me semble correct, je commence par rédiger sur du papier de brouillon; la plupart du temps j'ajoute beaucoup de détails par rapport à ce que je lis. En particulier, j'écris sur mon papier de brouillon les labels (dans le Frido) des résultats à citer.

Quand ma démonstration est terminée, je copie des feuilles vers LaTeX. Chaque démonstration passe donc par (au moins) deux rédactions personnelles : une de l'écran vers le papier de brouillon et une du papier vers LaTeX.

ChatGPT

Ce flot est valable également quand je demande à ChatGPT. Ce dernier est maintenant crédité comme source dans neuf démonstrations. Parfois seul parfois en collaboration avec moi ou d'autres sources. Je ne copie-colle jamais un résultat.

Avant de demander à ChatGPT, je regarde d'abord pas mal sur internet ; et je me demande parfois pourquoi d'ailleurs.

Mon activité sur Stack

Lorsque je ne trouve pas une démonstration en ligne, je demande souvent sur Stack. Et parfois je n'ai pas de réponses satisfaisantes.

Zorn et existence d'un max pour tout ensemble fini

Je demande si il est vrai que tout ensemble Dedekin-fini totalement ordonné a un maximum.

À mon avis la preuve donnée par Asaf Karagila (et qui a 5 votes positifs) a au moins un trou ; j'explique dans les commentaires ce qui ne me va pas. Si vous avez une idée de comment compléter, n'hésitez pas.

Connexité

Voici une question qui lie connexité et espaces totalement normaux. Je ne suis pas certain que l'énoncé soit même vrai.

Si vous êtes douées en topologie, lâchez-vous.

Remarque pas très gentille

À chaque fois que je dois poser une question sur Stack ou à ChatGPT, je ne peux pas m'empêcher de penser que soit je suis nul en recherche sur Internet (c'est le cas), soit l'ensemble de la communauté mathématique a échoué à mettre en ligne des résultats importants.

Citations

Le Frido cite toutes ses sources, théorème par théorème. À côté de chaque énoncé, il y a une liste des endroits où j'ai trouvé des informations utiles soit pour l'énoncé soit pour la démonstration.

La référence [1] signifie qu'il y a de l'invention personnelle non triviale. C'est moi qui ai inventé (une partie de) soit de l'énoncé, soit de la preuve.

Plagiat massif

Dans le monde de l'enseignement académique, le plagiat massif est la norme. Par exemple, le dernier en date que j'ai utilisé cite cinq livres en avouant ouvertement que ce n'est pas complet. Et bien entendu, il ne dit pas quelle partie de son texte vient d'où.

En ne remontant ma bibliographie pas plus loin que juillet 2025, je trouve celui-ci qui ne cite aucune source. Si un étudiant avait fait ça dans un mémoire de licence, il aurait été engueulé comme du poisson pourri.

Les mathématiciens professionnels ne citent pratiquement jamais Wikipédia ou math.stackexchange.com. Le Frido oui.

Pourquoi citer ses sources ?

La bibliographie sert à remercier la personne qui a fait l'effort de me rendre l'information disponible.

En ce qui me concerne, la bibliographie ne sert pas à :

  1. permettre de remonter à l'inventeur original d'un énoncé ou d'une technique
  2. permettre au lecteur d'aller plus loin
  3. donner de la crédibilité à un résultat.

Développons

  1. Les résultats présentés dans le Frido ne sont pas de la recherche toute fraîche. Il est illusoire de remonter la chaîne de la source de la source de la source pour trouver l'idée originale.
  2. Si le lecteur veut aller plus loin, il possède le même internet que moi. Il est de très rare que j'utilise une source qui ne soit pas en ligne.
  3. Ce qui fait la crédibilité d'un résultat, c'est la démonstration. Si la lectrice veut se convaincre qu'un résultat est vrai, elle peut soit faire la même recherche que moi sur le même internet, soit lire la preuve donnée. Le Frido n'est pas un ouvrage de vulgarisation. La lectrice est supposée être là pour lire et comprendre les démonstrations.

Le cas particulier chatGPT (1)

chatGPT n'est pas un cas particulier.

Si c'est l'entreprise OpenAI qui a fait l'effort de mettre une information disponible pour moi, c'est elle que je cite. C'est bien l'entreprise OpenAI qui a la citation, pas chatGPT lui-même en tant que "personne". Cela est à mettre en relief par rapport au cas de cette réponse où je cite bien la personne qui a écrit et non l'entreprise derrière stack.

Que OpenAI elle-même soit incapable de citer les sources sur lesquelles elle base sa réponse est — dans mon contexte — un non-problème. En effet, je serais moi-même incapable de vous dire d'où je connais le paradoxe de Zénon, la définition de la continuité ou la démonstration de la formule n(n+1) / 2. Ce sont des informations qui sont codées dans mon cerveau. Je suis capable de vous les dire, mais pas de faire de citations de mes sources.

Le cas particulier chatGPT (2)

Ce n'est pas un cas particulier.

En remontant ma biblio jusqu'à janvier 2025, je trouve cet intéressant exemple : ma question sur math.stackexchange à propos de variétés analytiques.

Voici l'ordre dans lequel se sont passées les choses.

  1. Je me pose une question de math qui me semble assez naturelle.
  2. Je ne trouve rien sur internet.
  3. Je pose la question sur math.stackexchange
  4. Je n'ai pas de réponses.
  5. Je pose à chatGPT un copié-collé de ma question qui est sur Stack.
  6. chatGPT me donne une réponse correcte.
  7. Je rédige la réponse de chatGPT et la publie dans Giulietta.

Question : à qui suis-je supposé donner le crédit de la démonstration ?

Ma réponse : à OpenAI.

Au final, la communauté mathématique a échoué à mettre en ligne un énoncé et une démonstration correcte de «tout groupe de Lie C^{\infty} est analytique».
Ensuite la communauté mathématique a échoué à répondre à une question sur stackexchange.
Au final c'est un échec retentissant pour l'ensemble de la communauté mathématique.

En réalité la question de savoir si OpenAI mérite une entrée dans ma biblio est une question très accessoire. Il y a un problème de publication scientifique largement en amont.

Le cas particulier chatGPT (3)

Bon. ok. ChatGPT est un cas particulier. Le plus souvent quand je demande à chatGPT c'est que j'ai déjà fait des recherches sur Internet et souvent également demandé sur stack sans avoir de réponses utiles.

Donc quand je cite chatGPT, c'est un signe que l'ensemble de la communauté mathématique a échoué dans sa mission de mettre la connaissance correctement en ligne.

Mettons une mathématicienne (nommons-la Alice) ayant écrit un résultat dans un livre privateur. Supposons qu'elle retrouve ce résultat dans le Frido avec chatGPT comme source. Est-elle en droit de râler ?

Étudions la question.

  1. Au niveau du Frido, tous les résultats sont établis depuis plus d'un siècle. Aucune de mes sources n'a probablement inventé aucun des résultats présentés.
  2. Si elle avait publié le PDF de son bouquin en ligne plutôt que de le vendre à un éditeur, elle aurait sans doute eu la citation. Elle a échangé de l'argent contre de la visibilité (j'assume : je dis bien qu'elle a reçu de l'agent pour être moins visible).
  3. OpenAI l'a-t-elle volé ? Peut-être. Son éditeur pourra pleurnicher devant un tribunal.
  4. Son salaire est payé par mes impôts. Donc la moralité de publier un livre privateur est en soi déjà une question pas du tout triviale.

Bref.

Qu'il y ait un problème dans la chaîne "livre privateur -> openAI -> moi" est possible.

Mais le vrai problème de mon point de vue est largement en amont. Pourquoi il y avait un livre privateur à la base ?

Images de couverture

Les images de couverture proviennent de Pepper et Carrot.

yanntricks

On parlait de tikz dans un fil sur typst.

Le Frido fait ses figures avec yanntricks, un module python basé sur sage. Le principe est qu'on décrit sa figure en python, puis le code Tikz est généré automatiquement. Pratiquement tout ce qui est calculable en python/sage est traçable.

Il y a deux idées de base :

  • Tout est ramené à des points et segments de droites. Écrivez en python une fonction ma_fonction qui prend un réel et retourne un point, passez cette fonction au constructeur ma_courbe=CustomGraph(ma_fonction), et hop ma_courbe.code_tikz() est le code tikz d'une série de segments de droites qui donnera votre courbe.

  • Le code Tikz créé contient du code LaTeX écrivant dans un fichier la taille des boîtes (bounding box) des éléments LaTeX que vous insérez, de telle sorte qu'en deux passes, yanntricks soit au courant des tailles (ça marche avec tous les compteurs internes de LaTeX; vous pouvez donc tenir compte du numéro de la page courante dans votre image). Cela permet de faire :

C = Cirle(Point(2,1),4)  #cercle de centre (2,1) et de rayon 4
C.put_mark($\omega-x$, 30) # placer $\omega-x$ sur le cercle à un angle 30 degrés
C.tikz_code()

Le code tikz produit mettra automatiquement \omega-x à la bonne place pour que le centre de la boîte soit sur le rayon qui fait un angle de 30 degrés avec l'horizontale, et assez loin pour que la boîte ne coupe pas le cercle.

Très peu de changements sont nécessaires pour générer le code pstricks ou tikz ou quoi que ce soit d'autre : seulement les droites, points et quelque trucs de base. Pas besoin des cercles, courbes, etc.

L'inconvénient

L'inconvénient de yanntricks est que le code est une usine à gaz que j'ai développé par à coups pendant une dizaine d'années — sans linter, sans annotations de types et sans rigueur. En réalité, le prix du billet d'entrée est absurdement élevé. Tellement que moi-même je ne m'y aventure plus.

Vente

Extrait du règlement (dans le rapport), page 42) de l'agrégation :

Durant tout ce temps, elles ou ils ont libre accès […] à leurs
propres ouvrages. Seuls sont autorisés les ouvrages avec un numéro ISBN et jouissant d'une véritable
diffusion commerciale. […] une « diffusion commerciale avérée » est tout autant importante.
[…] Cette restriction est motivée par le principe d'égalité des candidats : les ressources documentaires autorisées doivent être facilement accessibles à tout candidat au concours.

En résumé :

  1. Si une ressource est gratuite, ce n'est pas assez cher pour être facilement accessible à tous les candidats.
  2. Les livres qui ne sont plus vendus (et qui ne sont donc disponibles qu'en seconde main) ne sont pas autorisés.

Truc marrant : le point 1 est bizarre, mais est appliqué, tandis que le point 2 est très raisonnable mais n'est pas appliqué. C'est ce qui arrive quand on écrit un règlement en ayant un cas très précis en tête et qu'on ne se rend pas compte que ce qu'on écrit a une portée beaucoup plus large que le seul cas auquel on pense.

Et le pire est que ce règlement n'interdit même pas ce livre qui, si j'ai bien compris, est exactement ce qu'on avait envie de refuser au départ : une pure liste de définitions et d'énoncés de théorèmes classés par leçon.

Avis si vous travaillez dans une prépa agreg : tapez un plan par leçon (avec la démonstration des deux développements), publiez-là sur thebookedition et ensuite bachotez seulement ces leçons avec vos étudiants.

Bref, pour faire plaisir au règlement de l'agreg, le Frido est en vente :

Total : 115,86 euros.

Problème d'accès aux ressources documentaires

Ironie mise à part, je trouve que l'objectif est évidemment très louable :
« principe d'égalité des candidats : les ressources documentaires autorisées doivent être facilement accessibles à tout candidat au concours.»

Par contre force est de constater que l'accès aux ressources est encore très inégalitaire.

  • certaines candidates arrivent avec des valises entièrement remplies de livres. Probablement un millier d'euros de livres. Toutes les candidates ne peuvent pas facilement se procurer ça.
  • l'acceptation des livres qui ne sont plus disponibles qu'en seconde main (voire plus du tout) crée une forte inégalité entre les candidates qui ont accès à une bibliothèque universitaire et les autres.

Que faire ? Tout accepter ?

Finalement, si tout était accepté sans aucune restriction, certes certaines auraient accès à quelque documents de plus que les autres. Mais il y a tellement de ressources disponibles que le petit plus qu'un candidat pourrait se procurer n'a aucune chance d'être décisif.

  • # Le cas particulier ChatGPT

    Posté par  (site web personnel, Mastodon) . Évalué à 10 (+9/-1).

    ChatGPT n’est pas un moteur de recherche.

    Je le répète en gras, parce que c’est un point critique : ChatGPT n’est pas un moteur de recherche.

    En conséquence, ceci devient un problème :

    Si c'est l'entreprise OpenAI qui a fait l'effort de mettre une information disponible pour moi, c'est elle que je cite. C'est bien l'entreprise OpenAI qui a la citation, pas chatGPT lui-même en tant que "personne". […] Que OpenAI elle-même soit incapable de citer les sources sur lesquelles elle base sa réponse est — dans mon contexte — un non-problème.

    Sauf que encore une fois, ChatGPT n’est pas un moteur de recherche. Il ne va pas te ressortir des informations telles qu’il les a ingurgitées, par conception.

    La conséquence principale, c’est la présence de résultats plausibles mais complètement inventés, absents du corpus d’entrainement et donc des sources, un phénomène que l’on regroupe sous le terme d’« hallucination ».

    Pire : malgré les stratégies mises en places par OpenAI pour s’en débarrasser, ces hallucinations sont mathématiquement inévitables, d’après OpenAI elle-même.

    Conséquence : une information qui n’existe que sur ChatGPT est peut-être vraie, ou peut-être de la pure invention. Et tu n’as aucun moyen de le savoir tant que tu n’as pas réussi à vérifier cette information, soit via des sources tierces, soit en re-démontrant ce qu’il y a à démontrer.

    C’est à rapprocher avec ce que tu dis ici :

    Au final, la communauté mathématique a échoué à mettre en ligne un énoncé et une démonstration correcte de «tout groupe de Lie C{\infty} est analytique».
    Ensuite la communauté mathématique a échoué à répondre à une question sur stackexchange.
    Au final c'est un échec retentissant pour l'ensemble de la communauté mathématique.

    Si ChatGPT a réussi à retrouver quelque chose que « la communauté mathématique » a échoué à faire… il y a un vrai risque pour que l’information de ChatGPT soit une hallucination.

    La connaissance libre : https://zestedesavoir.com

    • [^] # Re: Le cas particulier ChatGPT

      Posté par  (site web personnel, Mastodon) . Évalué à 4 (+4/-2).

      Je précise qu’on ne parle pas de « rares cas » d’hallucination : cette étude d’aout 2025 montre 40 % de réponses contenant de fausses informations, en hausse par rapport à aout 2024 (et c’est d’ailleurs le résultat principal de l’étude : ce taux est en hausse dans tous les outils).

      C’est au point où Sam Altman, le patron d’OpenAI, s’inquiète de la confiance du public envers son propre outil (article du 22 juin 2025) :

      People have a very high degree of trust in ChatGPT, which is interesting, because AI hallucinates. It should be the tech that you don't trust that much.

      La connaissance libre : https://zestedesavoir.com

      • [^] # Re: Le cas particulier ChatGPT

        Posté par  (site web personnel) . Évalué à 8 (+6/-0).

        Attention qu'ici on parle très spécifiquement d'erreurs dans des démonstrations mathématique. Une moyenne de 40% ne veut rien dire sur les domaines particulier. Et la démonstration mathématique est un domaine très particulier.

        Cela dit : oui. Quand je demande des démonstrations à chatGPT, la démonstration donnée contient souvent des erreurs. Et, plus intéressant, quand je lui signale et lui demande de corriger, il n'y parvient jamais.

        Dès que chatGPT dit quelque chose de faux en math, c'est irrécupérable.

        Par contre, dans mon expérience, le taux de bonne réponse est clairement en hausse avec les années.

        MAIS : les erreurs se font de plus en plus subtiles. Il y a deux ans, il balançait sans sourciller que la mesure de Lebesgue de \mathbb{C} était 1. Donc c'est compact et yolo on fait ce qu'on veut !

        Maintenant, les erreurs deviennent indétectables à qui ne lit pas la démonstration ligne par ligne en faisant gaffe à chaque détail.
        Il ne faut donc surtout pas se fier à chatGPT si on veut avoir une vue globale d'une démonstration. L'approche qu'il donne est souvent complètement fausse à cause d'un détail qui ne peut pas être remarqué sans une lecture attentive.

      • [^] # Re: Le cas particulier ChatGPT

        Posté par  (site web personnel) . Évalué à 5 (+3/-1).

        Attention sur le taux de 40%, c'est le résultat d'un benchmark qui est fait pour comparer les IA entre elles sur soit les fakes news (de ton lien), soit sur des hallucinations.

        Cela ne veut pas dire du tout que l'IA répond faux 40% du temps.

        cf par exemple https://www.ictjournal.ch/news/2024-11-12/openai-mesure-les-hallucinations-de-ses-llm-et-ceux-de-ses-concurrents ou https://www.blogdumoderateur.com/ia-modeles-hallucinent-le-plus/

        "La première sécurité est la liberté"

    • [^] # Re: Le cas particulier ChatGPT

      Posté par  . Évalué à 7 (+5/-0).

      Si ChatGPT a réussi à retrouver quelque chose que « la communauté mathématique » a échoué à faire… il y a un vrai risque pour que l’information de ChatGPT soit une hallucination.

      Sauf que dans le cas d'une démonstration mathématique, si on est suffisamment compétent, on est capable de vérifier que la démonstration est vraie. Et si j'ai bien compris ce que Laurent fait, c'est exactement cela : il demande de l'aide à ChatGPT puis il vérifie que la démonstration qu'il a obtenu est exacte.

      • [^] # Re: Le cas particulier ChatGPT

        Posté par  . Évalué à 6 (+5/-0).

        Perplexity lui cite ses sources. Alors cela ne l'empêche pas d’halluciner mais au moins on peut vérifier ce qu'il dit. Il m'a déjà inventé des titres de livres. Ca c'est facile à vérifier.

        Pour des démonstrations de Math exigeant la compréhension fine de nombreux concepts, je me demande bien comment l'on peut être sûr de pouvoir valider par soi-même une démonstration sans passer par l'approche de la revue par des pairs reconnus comme experts dans leur domaine.

        En passant, je suis surpris que certaines démonstrations mathématiques ne soient pas accessibles facilement. Sinon, comment se référer à une démonstration de référence faisant consensus ?

        • [^] # Re: Le cas particulier ChatGPT

          Posté par  (site web personnel) . Évalué à 8 (+6/-0).

          Pour des démonstrations de Math exigeant la compréhension fine de nombreux concepts, je me demande bien comment l'on peut être sûr de pouvoir valider par soi-même une démonstration sans passer par l'approche de la revue par des pairs reconnus comme experts dans leur domaine.

          D'abord ce commentaire n'est pas spécifique à une démonstration lue sur chatgpt.com. Quand j'écris dans le Frido, je prends les démonstrations de là où je les trouve et je fais gaffe.

          Au niveau du Frido c'est parfaitement possible de ne pas trop se planter. C'est pas de niveau recherche.

          Mais effectivement, il y a des erreurs qui se glissent. Pour l'instant, je n'ai pas encore d'entrées dans l'erratum qui seraient dues à moi n'ayant pas remarqué une erreur de chatGPT.

          Enfin, le Frido est tout de même relu. Il y a du monde qui m'écrit pour me donner des corrections.

        • [^] # Re: Le cas particulier ChatGPT

          Posté par  (site web personnel, Mastodon) . Évalué à 3 (+1/-0).

          Pour des démonstrations de Math exigeant la compréhension fine de nombreux concepts, je me demande bien comment l'on peut être sûr de pouvoir valider par soi-même une démonstration sans passer par l'approche de la revue par des pairs reconnus comme experts dans leur domaine.

          Rappelons tout de même que le Frido se place au niveau de l'agrégation, qui est un concours d'enseignement, et dont les épreuves orales demandent de présenter un plan de cours sur un sujet au programme. Un niveau, donc, où on est censé savoir en principe reconnaître une démonstration correcte ou non (ce qui n'empêche évidemment pas de se tromper parfois, ça arrive même aux meilleurs) et avoir une maîtrise suffisante des concepts en jeu (qui font partie du cursus mathématique universitaire standard, pas de domaines de recherche très spécialisés) pour appliquer cette compétence de manière raisonnablement efficace sur ces preuves en particulier.

    • [^] # Re: Le cas particulier ChatGPT

      Posté par  (site web personnel) . Évalué à 10 (+8/-0).

      Je ne considère effectivement pas chatGPT comme un moteur de recherche.
      Je tente de lever le malentendu en deux parties : une non-technique qui explique mon flux de travail et une sur ce que je penses qu'il se passe sous le capot.

      Au-dessus du capot

      Le flux de travail est :

      1. Je dis à chatGPT : "Démontre que XXXXX".
      2. Je vois apparaître à l'écran quelque chose qui ressemble à une démonstration de XXXXX.
      3. Je lis attentivement en prenant des notes sur mon papier de brouillon, comme je le fais pour n'importe quelle "source". Ce faisant, je détaille les calculs et m'assure que les théorèmes utilisés sont déjà dans le Frido (sinon je fais plus de recherche pour trouver un énoncé correct de ce que chatGPT semble utiliser comme résultat intermédiaire).
      4. Quand tout est bon, je rédige en LaTeX depuis mes feuilles de brouillon.

      Comme tout le monde il m'arrive de faire des erreurs; je suis assez transparent sur le sujet. Pour l'instant je n'ai pas encore trouvé d'erreur dans le Frido qui serait dûe à une erreur de chatGPT qui m'aurait échappée. Quand ça arrivera, ce sera noté.

      Premier message : il n'y a aucun copier-collé de chatGPT vers le Frido, ni d'ailleurs d'aucune sources vers le Frido. Il y a toujours au moins deux rédactions intermédiaires : une à la main de l'écran vers mon papier de brouillon et une au clavier du papier de brouillon vers LaTeX.

      Deuxième message : je ne demande pas de définitions à chatGPT, parce si définition ne peut pas être intrinsèquement fausse, elle peut induire méchamment en erreur si elle n'est pas celle acceptée par tout le monde.

      Exemple : la définition de la limite d'une fonction en un point par chatGPT :
      \forall \varepsilon > 0, \ \exists \delta > 0 \ \text{tel que} \forall x \in D, \ 0 \lt |x-a| \lt \delta \implies \ |f(x) - L| \lt \varepsilon.

      Je ne compte pas troller là-dessus aujourd'hui, mais il faut faire gaffe. En France, ça peut d'ailleurs être utilisé comme détecteur de fraude contre les étudiants :)

      Sous le capot

      Comment peut faire chatGPT pour pondre une démonstration correcte que je n'ai pas pu trouver sur internet ?
      Vu que je n'en sais pas plus que ce que j'ai appris de 3Blue1Brown, je ne peux que spéculer. Je vois deux manières.

      Le coup des livres privateurs

      1. La démonstration que je cherche a été publiée dans plein de livres privateurs que je ne possède pas et qui ne sont pas réellement trouvables sur internet.
      2. OpenAI se procure un pdf de ces livres d'une façon ou d'une autre.
      3. Ces livres sont dans le corpus.
      4. chatGPT peut fournir une démonstration.

      C'est un peu ce que je disais à propos des machines à laver. Il y a donc parfaitement moyen que chatGPT ait dans sa base d’entraînement des choses qui ne sont pas disponibles sur internet. Et c'est d’ailleurs même certain que c'est le cas.

      Invention pure et simple

      Si la démonstration n'apparaît pas dans le corpus d’entraînement, chatGPT sera en roue libre. Il fournira un texte qui ressemble à une preuve et qui pourrait même être correct plus ou moins par chance contrôlée.

      Comme moi, chatGPT «sait» que si j'ai une matrice symétrique, il faut presque certainement prendre une base de diagonalisation; si on a une équation différentielle du premier ordre, il faut voir si Cauchy-Lipchitz est vérifié, etc.

      Sur ce point, chatGPT peut en savoir plus que moi. Par exemple je ne voyais pas comment démontrer qu'une transvection est de déterminant 1. C'est chatGPT qui m'a mis sur la piste du lemme des déterminants que je ne connaissais pas.

      • [^] # Re: Le cas particulier ChatGPT

        Posté par  . Évalué à 6 (+4/-0).

        Merci,

        tes explications sont claires et corroborent mon ressenti: tu ne vas pas faire un Ctrl-C Ctrl-V de ce que crache le LLM. Mais, par contre, tu vas regarder attentivement ce qui sort et vérifier que ce ne soit pas un gros paquet de bull…t mis l'un derrière l'autre.

        L'avantage des maths, c'est que les théorèmes, ça se démontre. J'imagine donc, que quand on a le bagage nécessaire, on arrive à vérifier ce qui vient de sortir du LLM (on me dira peut être que: "c'est pareil pour la sociologie ou l'économie ou l'informatique". Ok, on peut le dire si on veut).

        Ce que j'apprécie particulièrement:

        • la transparence: tu ne te caches pas d'utiliser ces outils (d'ailleurs j'ai bien aimé ton "Marquis de Sade" un peu remix et tes commentaires à cette occasion au sujet de l'acte de "créer")
        • "chatGPT peut en savoir plus que moi. (…) C'est chatGPT qui m'a mis sur la piste du lemme des déterminants que je ne connaissais pas.": lui même ne doit pas trop savoir de quoi il parle mais cela n’empêche pas moins d'avoir une discussion stimulante voire carrément inspirante. Ptet même plus qu'entre confrères (un peu troll là ;) ?
        • et évidemment: la persévérance et la quantité de boulot, 3 000 pages, t'es fou chapeau bas !

        Là aussi: merci

        "Si tous les cons volaient, il ferait nuit" F. Dard

        • [^] # Re: Le cas particulier ChatGPT

          Posté par  (site web personnel) . Évalué à 8 (+6/-0).

          Ptet même plus qu'entre confrères (un peu troll là ;) ?

          En fait non. C'est même assez fatiguant de parler de math à chatGPT, parce que je sais qu'il peut à tout moment me glisser une peau de banane sous le pieds.

          Et il y a sa manière de toujours dire «ah ! vous avez parfaitement raison de m'indiquer que j'ai été imprécis, blabalabla». Et vazy que je te lèche les pieds et te caresse dans le sens du poil.

          Dans Cursor aussi d'ailleurs, Claude passe sa vie à me dire que je suis un informaticien génial, que mes suggestions vont permettre de rendre le code plus sûr, plus lisible. Que mes modifications respectent tellement bien toutes les PEP et blablabla…

          Insupportable.

          • [^] # Re: Le cas particulier ChatGPT

            Posté par  (site web personnel) . Évalué à 3 (+2/-2).

            As-tu essayé de rajouter des "metaprompt" du genre : "fais des réponses courtes et factuelle. Si tu n'ai pas sûr dis le, au lieu de te forcer à donner une réponse. Vérifie ton résultat" ?

            "La première sécurité est la liberté"

        • [^] # Re: Le cas particulier ChatGPT

          Posté par  (site web personnel) . Évalué à 7 (+5/-0).

          L'avantage des maths, c'est que les théorèmes, ça se démontre. J'imagine donc, que quand on a le bagage nécessaire, on arrive à vérifier ce qui vient de sortir du LLM (on me dira peut être que: "c'est pareil pour la sociologie ou l'économie ou l'informatique". Ok, on peut le dire si on veut).

          À mon avis c'est un cas particulier de la règle à toujours suivre avec un LLM : c'est bien quand vérifier une information est plus facile que de trouver l'information.

          C'est pour ça qu'en math, ça passe bien pour les démonstrations mais que je ne ferais pas confiance pour les définitions.

      • [^] # Re: Le cas particulier ChatGPT

        Posté par  (site web personnel, Mastodon) . Évalué à 2 (+0/-0).

        Sur ce point, chatGPT peut en savoir plus que moi. Par exemple je ne voyais pas comment démontrer qu'une transvection est de déterminant 1. C'est chatGPT qui m'a mis sur la piste du lemme des déterminants que je ne connaissais pas.

        Ça me paraît bien compliqué. En développant juste le déterminant comme somme sur les permutations, ça marche, non ? (On peut poursuivre cette discussion ailleurs si tu veux.)

        • [^] # Re: Le cas particulier ChatGPT

          Posté par  (site web personnel) . Évalué à 3 (+1/-0).

          En développant juste le déterminant comme somme sur les permutations, ça marche, non ?

          Je ne suis pas super convaincu.
          Dans le définition de transvection, il est dit qu'il existe une base adaptée dans laquelle la matrice a une forme bien particulière dont le déterminant est clairement 1.

          Mais comme je n'aime pas parler de matrice et préfère parler d'application linéaires, tout devient plus confus.

          Pour autant que je le sache, la notion de déterminant d'une application linéaire est bien définie uniquement dans le cas particulier où l'espace est de la forme \mathbb{K}^n; et dans ce cas le déterminant est celui de la matrice dans la base canonique.

          Je ne vois pas très bien pourquoi la «base adaptée» dont on parle dans la définition de transvection devrait être liée à la base canonique.

          • [^] # Re: Le cas particulier ChatGPT

            Posté par  (site web personnel, Mastodon) . Évalué à 4 (+2/-0).

            Pour autant que je le sache, la notion de déterminant d'une application linéaire est bien définie uniquement dans le cas particulier où l'espace est de la forme \mathbb{K}^n; et dans ce cas le déterminant est celui de la matrice dans la base canonique.

            Pour moi (et Wikipédia), le déterminant d'une application linéaire est par définition le déterminant de sa matrice dans une base quelconque (mais la même au départ et à l'arrivée). On vérifie que ça ne dépend pas de la base.

            • [^] # Re: Le cas particulier ChatGPT

              Posté par  (site web personnel) . Évalué à 3 (+1/-0).

              Pour moi (et Wikipédia), le déterminant d'une application linéaire est par définition le déterminant de sa matrice dans une base quelconque (mais la même au départ et à l'arrivée). On vérifie que ça ne dépend pas de la base.

              Ah oui évidemment ! Si l'espace de départ et d'arrivée sont identiques (ce qui est mon cas), y'a ça qui marche.
              J'ajoute ça, merci.

  • # Bravo, merci

    Posté par  . Évalué à 10 (+12/-0).

    Je n'ai pas le niveau pour utiliser ce bouquin, mais te voir persévérer année après année, lire ta dépêche annuelle avec l'aveu de tes doutes sur telle ou telle démonstration, ça me fait un bien fou : un jour je serai peut-être en mesure de lire ce livre, de progresser grace à toi.
    Que de lyrisme ! mais cet élan cherche à traduire la conviction que tu fais du bien au monde entier avec ce travail.

    • [^] # Re: Bravo, merci

      Posté par  . Évalué à 5 (+4/-0).

      C'est bien dit ! c'est ce que je pense aussi.
      Merci à toi aussi !

  • # Math pour ingénieur ?

    Posté par  (site web personnel) . Évalué à 5 (+3/-1).

    Est-ce qu'il existe un bouquin comme le frido mais sous forme de propriété mathématique ou d'algo pour développeur ?

    J'ai déjà vu des bouquins pour calculer des valeurs approchés d'une fonctions mais rien qui propose des versions discrètes de la plus part des algo.

    "La première sécurité est la liberté"

    • [^] # Re: Math pour ingénieur ?

      Posté par  . Évalué à 3 (+2/-0).

      Ce n'est probablement pas 100% ce que tu demandes, mais j'avais bien aimé Mathématiques pour la physique et les physiciens de Water Appel.

      Tu n'auras pas d'"algo pour développeur", mais une description des outils mathématiques qui peuvent apparaître plus particulièrement quand on fait de la physique et/ou de l'ingénierie (transformation de Laplace, fonctions de Green, tenseurs, éléments de probabilité…).

      Attention, ça reste un livre de mathématiques !
      Et il n'est pas libre comme l'est le Frido. (J'en profite pour dire : bravo !)

    • [^] # Re: Math pour ingénieur ?

      Posté par  . Évalué à 4 (+2/-0).

      Autant je comprends la question, autant je pense qu'elle n'est pas assez précise ou claire.

      Moi j'ai la 8ème édition (1986) de ça : https://www.eyrolles.com/Sciences/Livre/formulaire-technique-9782100511891/

      11è me édition

      "Si tous les cons volaient, il ferait nuit" F. Dard

    • [^] # Re: Math pour ingénieur ?

      Posté par  . Évalué à 2 (+0/-0).

      algo pour développeur

      il y a sans aucun doute des tonnes de bouquins à ce sujet, mais là encore à quel sujet, à quel niveau, plutôt théorique ou pratique, en quel langage etc).

      A coté de ça, la sphère du LL regorge d'applications en tout genre à ce sujet (implémentation informatique des maths pour l'ingénieur), parfois accompagnées des documentations/explications/tutos/considérations techniques/scientifiques/philosophiques bien faites.

      C 'est un excellent moyen pour apprendre.

      Merci le LL.

      "Si tous les cons volaient, il ferait nuit" F. Dard

  • # Sur la Dedekind-finitude

    Posté par  (site web personnel, Mastodon) . Évalué à 6 (+4/-0).

    Je demande si il est vrai que tout ensemble Dedekin-fini totalement ordonné a un maximum.

    À mon avis la preuve donnée par Asaf Karagila (et qui a 5 votes positifs) a au moins un trou ; j'explique dans les commentaires ce qui ne me va pas. Si vous avez une idée de comment compléter, n'hésitez pas.

    Je n'ai pas relu la preuve d'Asaf Karagila, mais je viens de poster une nouvelle réponse avec une preuve différente et très détaillée.

    • [^] # Re: Sur la Dedekind-finitude

      Posté par  (site web personnel) . Évalué à 4 (+2/-0). Dernière modification le 24 septembre 2025 à 22:35.

      Je n'ai pas relu la preuve d'Asaf Karagila, mais je viens de poster une nouvelle réponse avec une preuve différente et très détaillée.

      En première lecture (17 pages A5 à la main, mais j'écris grand) ça me semble très correct.
      merci !

  • # Plagiat?

    Posté par  (site web personnel) . Évalué à 6 (+4/-0).

    Attention aux accusations de plagiat. Cf. https://fr.wikipedia.org/wiki/Plagiat#En_droit pour voir que déjà c'est compliqué.

    Surtout, dans un texte d'enseignement qui n'est pas une publication scientifique, la fonction des références et les attentes en matière de citation sont différentes.

    Un texte pédagogique ou un manuel vise à synthétiser et à transmettre un savoir déjà bien établi et considéré comme une connaissance commune au sein d'un domaine. L'objectif principal n'est pas de présenter des recherches originales, mais de rendre accessible un corpus de connaissances.

    Voici donc quelques points pour nuancer les affirmations de la dépêche :

    • Dans un manuel, la bibliographie sert principalement à orienter le lecteur vers des ouvrages fondamentaux pour approfondir le sujet (i.e. fonction pédagogique), plutôt qu'à sourcer chaque affirmation. Contrairement à un article de recherche où chaque idée empruntée doit être scrupuleusement attribuée à son auteur, un ouvrage de synthèse peut se permettre de ne pas citer ce qui est considéré comme un savoir commun et stabilisé.

    • Un livre sans aucune bibliographie peut être critiqué (à tord ou à raison, là encore ça dépend du contexte) pour son manque de rigueur ou d'ouverture vers d'autres lectures, mais cela ne constitue pas automatiquement un plagiat, surtout s'il traite de notions générales. Le plagiat implique de faire passer les idées ou les textes d'autrui pour siens, ce qui est différent de la simple transmission d'un savoir partagé.

    "There's no such thing as can't. You always have a choice." - Ken Gor

  • # Coq ?

    Posté par  . Évalué à 3 (+2/-0).

    Et si une partie du Frido était formalisée dans Rocq (anciennement Coq) ? Cela pourrait documenter un style de formalisation adapté au niveau agrég. Je trouve aussi très réconfortant qu'on puisse demander à un ordi de vérifier une preuve.

    • [^] # Re: Coq ?

      Posté par  (site web personnel) . Évalué à 2 (+0/-0).

      Personnellement je ne vais pas le faire (en tout cas pas dans un avenir prévisible) parce que ma liste des choses à faire est déjà bien longue.

      Par contre, une telle contribution serait facilement acceptée :)

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