Le Frido 2026 est disponible

Le Frido est un livre libre (licence FDL) de mathématique qui reprend l’ensemble de la mathématique depuis la construction des entiers jusqu’à tout ce qu’on peut placer à l’agrégation : probabilités, distributions, anneaux, groupes, géométrique, etc.

Sommaire

• Tout en un
• Nouveautés 2026
  • Cauchy-Lipschitz analytique
  • Groupe symétrique
  • Problèmes d’ordre
  • Partition de l’unité
  • Neutralité en moyenne
  • Indépendance de variables aléatoires
  • Algèbre
  • LaTeX et encodage
  • luatex
  • Passage à 5 volumes
• Laurent est un pédant
• L’Humanité

Tout en un

Une particularité du Frido est d’être «tout en un». Un seul livre (PDF de 3000 pages) qui contient toutes les matières : algèbres, analyse, probabilités, etc.

L’intérêt est de pouvoir citer les théorèmes d’algèbre linéaire utilisé en analyse, de mesure utilisée en probabilité, etc.

Un enchaînement particulièrement long et interdisciplinaire est la chose suivante.

1. Définir une rotation comme composée de deux symétries axiales.
2. Définir les fonctions trigonométriques par leurs séries.
3. Définir les applications linéaires et leurs matrices associées.

À partir de là, montrer que la matrice d’une rotation a la forme qu’elle a avec ses fonctions trigonométriques.

Nouveautés 2026

Cauchy-Lipschitz analytique

Le gros morceau de cette année est le théorème Cauchy-Lipschitz analytique en passant par Cauchy-Lipschitz holomorphe. Je suis convaincu qu’on peut faire sans passer par les fonctions holomorphes. En cherchant le label THOooZEBOooQJOSQj dans le PDF, vous trouverez une démonstration quasiment complète sans passer par les fonctions holomorphes. À mon avis le bout qu’il manque est juste un peu de combinatoire qui m’échappe. Si vous connaissez des choses à ce propos, n’hésitez pas à répondre à l’une ou l’autre de ces questions qui sont (je crois) équivalentes :

https://math.stackexchange.com/questions/5111835/analytic-map-on-the-banach-x-times-y
https://math.stackexchange.com/questions/5113042/analytic-picard-lindel%C3%B6f-theorem

Note : j’ai déjà demandé à de l’IA sans succès (mais c’était il y a quelque mois). Je n’ai rien contre une démonstration générée par IA, mais comme je l’explique ici, j’ai quelque chose contre « j’ai demandé à l’IA et voici le résultat ». Si vous me proposez une démonstration par IA, soyez sûrs de la comprendre d’un bout à l’autre dans tous les détails. Sinon, ça ne me sert à rien. Quand les IA font des fautes, c’est toujours subtil — et on ne les découvre que via une lecture très attentive de chaque ligne.

Groupe symétrique

Démonstration de la décomposition en cycles des éléments du groupe symétrique.

Problèmes d’ordre

L’ordre des chapitres dans le Frido est l’ordre logique mathématique, et non l’ordre pédagogique. Les théorèmes se démontrent uniquement avec des théorèmes démontrés plus haut. Du point de vue de , les \ref pointent toujours vers des \label plus haut. C’est une grosse contrainte.

Quelques exemples de dépendances qui m’ont fait déplacer des parties cette année ?

En théorie des groupes, la formule des classes demande les rationnels, les rationnels sont le corps des fractions, donc demande les anneaux.

Le symbole de sommation demande de savoir la décomposition en cycles des permutations (groupe symétrique) pour montrer que la somme ne change pas si on change l’ordre de sommation; la décomposition en cycles demande le théorème de Lagrange qui demande les rationnels et donc les anneaux. Les anneaux demandent le symbole de sommation pour écrire le terme général d’un idéal engendré par une partie.

Il faut donc découper la partie sur les anneaux en plusieurs parties. Quant au symbole de sommation, sa définition est découpée en plusieurs parties en fonction du niveau de généralité.

Tout cela pour dire que le Frido n’est pas arrangé par ordre pédagogique et encore moins par ordre de difficulté. Le principal déterminant à l’ordre et au découpage des chapitres est l’impossibilité de faire des références vers le bas.

Avant 2026, j’étais parvenu à mettre la construction des entiers, rationnels et réels dans le même chapitre avec seulement ce qu’il fallait d’anneaux pour dire que les rationnels sont le corps des fractions des entiers. Maintenant que je me suis rendu compte des boucles de dépendances dont je parle plus haut (parce que j’ai démontré la décomposition en cycles), j’ai décomposé en plus de chapitres.

• entiers relatifs (les naturels sont admis)
• groupes
• anneaux
• rationnels et réels

Partition de l’unité

Il y avait trop d’énoncés différents sans démonstration. Il reste maintenant deux théorèmes : un qui donne une partition de l’unité subordonnée à des ouverts et un autre spécifique dans le cas des compacts. Le deuxième est démontré; la démonstration du premier est dans mon interminable liste de choses à faire.

Neutralité en moyenne

Lorsque je dois écrire «La personne qui lit doit rester attentive», j’écris

\randomGender{Le lecteur}{La lectrice} doit rester \randomGender{attentif}{attentive}. 

avec la macro :

\newcounter{rndgendercont}
\newcommand{\randomGender}[2]{%
    \setcounter{rndgendercont}{%
        \numexpr\value{chapter}+\value{numtho}\relax%
    }%
    \ifthenelse{\isodd{\value{rndgendercont}}}{#1}{#2}%
}

En gros, ça donne masculin ou féminin au hasard. Plus précisément, ça donnera masculin si la somme entre le numéro du chapitre et le numéro du dernier théorème énoncé est pair et féminin si impair.

La nouveauté 2026 est de faire « chapitre+théorème ». Avant, je faisais « numéro de page+théorème », et j’ai eu des problèmes avec une phrase qui passait d’une page à une autre—et donc une incohérence entre deux appels à randomGender.

Indépendance de variables aléatoires

Définition de l’indépendance d’une famille quelconque d’évènements. Définition d’un -système et lien avec l’indépendance de tribus.

Algèbre

… rien cette année. Étonnamment, cette année, aucun énoncé supplémentaire de la forme «Dans un anneau XXXX, tout élément/idéal YYYY est ZZZZ» n’a été démontré.

Pourtant je suis certain qu’il y en a encore plein qui manquent.

LaTeX et encodage

On a discuté de l’encodage des accents dans les URL.

L’objectif aurait été de faire fonctionner une macro \myurl permettant d’écrire

\myurl{https://fr.wikipedia.org/wiki/Idéal_premier}


Et franchement, ça n’a pas été un succès.

J’ai déjà fait des choses comme

\documentclass[a4paper,11pt]{book}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{xstring}

% Encode certains caractères UTF-8 pour l’URL
\newcommand{\MakeUTFPerCent}[1]{%
  \def\result{#1}%
  \StrSubstitute{\result}{é}{\%C3\%A9}[\result]%
  \StrSubstitute{\result}{à}{\%C3\%A0}[\result]%
  \StrSubstitute{\result}{è}{\%C3\%A8}[\result]%
  \StrSubstitute{\result}{_}{\%5F}[\result]%
}

% Macro finale
\newcommand{\myurl}[1]{%
  \MakeUTFPerCent{#1}%
  \href{\result}{#1}%
}

\begin{document}

Lien encodé : \myurl{https://fr.wikipedia.org/wiki/Idéal_premier}

\end{document}

Mais rien ne marche. Et j’en profite pour noter que chatGPT est nettement moins bon en LaTeX qu’en math ou en python.

luatex

Donc passage à LuaTeX, et ça a été assez facile.

• temps de compilation plus long
• texte raccourci : au moment du passage à LuaTeX je suis passé d’environ 3050 à 2775 pages.

Très peu de changements :

-\documentclass[a4paper,twoside,11pt]{book}
+\documentclass[french]{book}
+\RequirePackage{luatex85}      % Pour xy (voir https://tex.stackexchange.com/questions/328602/lualatex-and-xypic)

et

-\usepackage{listingsutf8}  
+\usepackage{listings}

Passage à 5 volumes

Comme à chaque mois de septembre, une version figée est commercialisée pour celles qui voudraient avoir du papier (et aussi parce que la dernière fois que j’ai lu le règlement de l’agrégation, la commercialisation était obligatoire).

Le nombre maximum de pages étant de 750 par volume, le nombre total de page étant de 2872, j’ai dû passer à 5 volumes. Et c’est là que je suis content d’avoir dès le départ, dans mes scripts, mis le nombre de volumes en variable.

Laurent est un pédant

Je suis un insupportable pédant. Et je propose même de fonder un club. Dans des discussions non mathématiques sur LinuxFr.org je suis parvenu à me fritter à propos (au moins) de l’utilisation correcte de

• novlang
• exponentielle. Plusieurs fois.
• Pluton — mais là le troll n’a pas pris. On ne peut pas toujours gagner.

Le Frido aussi est un peu pédant par exemple si est un polynôme, il est démontré que . On pourrait croire que c’est seulement une notation, mais non. C’est un théorème.

Le Frido démontre aussi que si on induit la topologie de vers le cercle et qu’on construit la tribu de Lebesgue à partir de là (boréliens, complétion), on obtient la même tribu que si on induit directement la tribu de Lebesgue de vers le cercle. C’est important pour prouver des isomorphismes d’espaces de Lebesgue avec .

À part ça, le Frido est un pédant de notations. J’ai horreur des abus de notations, et je prétends que la formule d’Euler ne contient pas le nombre .

L’Humanité

L’Humanité a publié un article sur le Frido. Encore un en 2027 et le Frido rentre dans des critères d’admissibilité de Wikipédia :).

Aller plus loin

• Ma page perso sur le Frido (23 clics)
• Achat du premier volume (9 clics)
• Les sources LaTeX (5 clics)