Y a le Frido 2024 qu'est là

Posté par  (site web personnel) . Édité par Benoît Sibaud et Guillaume Gasnier. Modéré par Benoît Sibaud. Licence CC By‑SA.
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sept.
2024
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Le Frido est un livre de mathématique libre. Il est l'enveloppe convexe entre la matière de l'agrégation et les bases (axiomatique des ensembles non comprise). Autrement dit : il construit les ensembles de nombres, et va jusqu'au bout du programme de l'agrégation en bouchant tous les trous. En français, il comprend 2888 pages au 25 août 2024 et est publié sous licence FDL.

Sommaire

Images de couvertures

Les images de couverture proviennent de Pepper et Carrot.

Image de couverture du tome 1

(pour voir les couvertures des tomes 2, 3 et 4)

Elles sont aussi visibles via les sources évidemment.

Changements depuis l'année passée

Intégration sur variétés

J'ai décidé que la partie parlant d'intégration sur les variétés allait être laissée à l'abandon.

  • Elle ne sert qu'à démontrer le point fixe de Brouwer via Stokes. Trop compliqué, trop long, pas adapté au niveau visé.
  • La preuve de Brouwer continu est maintenant faite de façon plus conventionnelle.
  • La géométrie différentielle est développée dans la partie en anglais.

Dérivation

La définition de la dérivée d'une fonction \mathbb{R}\to \mathbb{R} n'est plus une définition «fondamentale». Les choses sont maintenant faites dans cet ordre :

  • Définition de la différentielle d'applications entre espaces de Banach.
  • Définition de la dérivée directionnelle comme application de la différentielle à un vecteur (la direction).
  • Définition des dérivées partielles comme cas particulier.
  • La dérivée «usuelle» est définition comme f'=\partial_1f.

Ce qui est marrant avec la dernière définition est que \partial_1 peut être interprété soit comme la dérivée partielle dans la première direction (il y en a une seule dans \mathbb{R}) soit comme la dérivée directionnelle selon le vecteur 1.

Théorème de Stokes

Le théorème de Stokes est démontré. C'est un assez gros morceau.

Ce qu'il y a de mieux qu'ailleurs

Le Frido se distingue d'autres livres de math en cela qu'il est meilleur sur certains points.

Certains détails sont traités correctement.

Je me demande si je suis le seul au monde à avoir remarqué que, quand on parle de l'extension de corps K[a], ce qu'on obtient dépend du corps ambiant dans lequel sont K et a.

Par exemple si je prend \mathbb{Q}[\sqrt{2}]… Il n'y a pas de problèmes à construire un sur-corps de \mathbb{Q} contenant l'élément \sqrt{2} dans lequel \sqrt{2}^2=3.

Ce genre de détails sont traités dans le Frido, l'exemple de \mathbb{Q}[\sqrt{2}] est donné en détail, et il est bien fait mention que la notation \mathbb{Q}[a] réfère toujours à des sous-corps de \mathbb{C}.

Notation pour les dérivées partielles

Considérez les trois fonctions suivantes : f,g,h:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R} données par

f(x,y)=x\sin(y)

g(u,v)=u\sin(v)

h(y,x)=y\sin(x)

Est-ce que vous oseriez écrire f=g=h ? Si oui, c'est que vous pouvez remplacer «f» par «g» ou «h» partout. Alors que signifie \frac{\displaystyle\partial g}{\displaystyle\partial x} ?

Bien que ces infectes notations «\frac{\partial f}{\partial x}» soient utilisées à quelques endroits dans le Frido, je m'efforce à écrire (\partial_if) qui signifie la dérivée de f dans la i-ième direction.

Un minimum de notations

Bien que je sois un psychorigide sur les abus de notations, le Frido a une autre règle : utiliser un minimum de symboles difficiles à écrire. Tout doit pouvoir être écrit à la main sur des feuilles volantes dans le tram.

  • pas de gras pour les vecteurs (impossible à rendre à la main)
  • le même symbole «*» est utilisé pour \mathbb{K}^* pour dire \mathbb{K}\setminus\{0\} et dans E^* pour désigner le dual algébrique.

Variétés et cartes

D'habitude, on définit une variété comme étant un ensemble avec des cartes provenant d'ouverts de \mathbb{R}^n.

Or on définit quand même souvent des variétés avec des cartes ne provenant pas de \mathbb{R}^n. Par exemple lorsqu'on travaille sur des sous-groupes de Lie, on prend souvent la carte exponentielle provenant de l'algèbre de Lie.

Dans Giulietta (NdM : extension en anglais qui va de l’agrégation jusqu’à tout ce que l'auteur sait en mathématique), on définit correctement une variété comme ayant des cartes provenant d'ouverts d'espaces vectoriels normés quelconques. Il est alors démontré que toute telle variété est isomorphe à une variété avec des cartes de \mathbb{R}^n.

Je ne me souviens pas avoir vu cette subtilité traitée quelque part. Notons qu'avec cette définition, on ne peut plus parler de l'ensemble de toutes les cartes.

Citations

Le Frido cite (à peu près) correctement ses sources. Chaque théorème vient avec les sources qui ont contribué soit à l'énoncé soit à la preuve. Les inventions personnelles sont mentionnées très explicitement. Pas peur de citer wikipédia, des commentaires sur math.stackexchange.com ou d'autres sources moins conventionnelles que des livres.

Je suis souvent choqué étonné par la quantité de cours mis en ligne par des profs se contentant de citer trois livres en disant «pour en savoir plus, le lecteur pourra consulter les ouvrages suivants». Ensuite, on va se plaindre que si les étudiants ne citent pas leurs sources dans leurs mémoires, c'est du plagiat.

Le plagiat massif est simplement la norme dans les textes de math que les profs mettent dans les mains des étudiants.

ChatGPT

Cette année, ChatGPT entre dans la bibliographie. C'est lui qui a fourni une partie de la preuve que si f_1 et f_2 sont mesurables (depuis le même espace) alors le vecteur (f_1, f_2) est mesurable.

Il y a d'ailleurs une belle anecdote à ce sujet.

ChatGPT se contente de prouver correctement que le théorème est vrai sur les mesurables de la forme A_1\times A_2, et dit vaguement que si c'est bon sur une partie qui engendre la tribu produit, alors c'est bon pour toute la tribu. Typiquement le genre de trou dans la preuve que laisserait un humain.

Si vous voulez contribuer

Niveau facile

Lisez et écrivez-moi si vous trouvez une faute ou un passage pas clair. Critère : si vous êtes relativement bon en math et que vous mettez plus de 20 minutes sur une ligne, c'est qu'il y a un problème avec le texte.

Niveau intermédiaire

S'il manque une démonstration, rédigez-en une, faites une photo de votre feuille et envoyez-la moi.

Niveau difficile

  • Si vous êtes bon en géométrie différentielle, vous pouvez tenter de répondre à cette question:

https://math.stackexchange.com/questions/4917916/commute-two-sums-when-defining-integral-of-differential-manifold

Enjeu : toutes les définitions que je connais de l'intégrale d'une forme sur une variété sont fausses. Sauf celle que j'ai inventée moi-même.

  • Si vous vous y connaissez en processus de Poisson, vous pouvez répondre à cette question :

https://math.stackexchange.com/questions/4957480/density-of-the-vector-of-jump-times-in-a-poisson-process

Note : je ne suis même pas sûr que l'énoncé soit correct. La démonstration que je connais vient d'ici mais je ne suis pas convaincu.

  • Si vous être bon en probabilités, vous pouvez tenter de répondre à cette question :

https://math.stackexchange.com/questions/4961074/is-the-join-density-the-density-of-the-vector

Niveau supérieur

Vers la fin, il y a une section consacrée aux différentes propriétés et conjectures autour de la constante de Weiner. Si vous en connaissez d'autres, faites-le moi savoir.

LaTeX

Modifier l'environnement proof pour qu'il prenne un paramètre booléen optionnel inBook. Par défaut il vaut True et la démonstration est affichée. Si inBook est False, la démonstration n'est pas affichée. Au lieu de la preuve, il y a le texte «Voir la version en ligne : ».

La raison est expliquée plus bas.

Agreg (1)

Il me faut une liste des théorèmes dont les démonstrations peuvent être sautées pour un candidat à l'agreg. J'imagine que tout ce qui utilise explicitement le lemme de Zorn peut sauter, tout ce qui parle de topologie sur les espaces de distribution peut sauter, la partie sur les mesures peut partir, etc.

Pour la raison de ce besoin, voir plus bas.

Agreg (2)

Il me faut une liste de théorèmes qui peuvent servir de développements.

Contrainte

Je n'ai pas accès aux livres privateurs. Inutile de m'en conseiller un.

Ventes

Les chiffres

Précision sur le prix : le prix indiqué est le prix de vente côté imprimeur. Je ne gagne pas d'argent dessus. D'ailleurs je me demande bien qui achète le Frido …

Certes, le règlement de l'agrégation interdit les livres qui ne sont pas vendus (incidemment, les livres qui ne sont plus en vente sont interdits), mais j'ai du mal à croire qu'il y ait autant de monde qui utilise le Frido à l'agreg. Mais si ce n'est pas pour l'agreg, qui paye 100 euros pour avoir quatre briques de 6cm d'épaisseur A4 alors qu'on peut avoir un pdf sur un écran ?

Voici un tableau qui montre, pour chaque année, le nombre de livres vendus, et le prix total. Les cases avec un x correspondent au nombres dont je n'ai pas pris note.

année prix de tout le Frido Nombre de livres vendus
2016 x 51
2017 x 37
2018 x 30
2019 89,36 17
2020 x 32
2021 97,59 13
2022 x x
2023 106,79 16
2024 110,88

Au total, ce sont 196 bouquins vendus plus ceux de 2022 dont je n'ai pas pris note. On doit être un peu au-dessus de 200.

Précisions :

  • La ligne 2021 correspond au Frido 2021 vendu entre septembre 2021 et septembre 2022. Plus généralement, la ligne N correspond aux ventes entre septembre N et septembre N+1.
  • En 2019, il fallait payer 89,36 euros pour acheter les 4 Fridos. 17 livres ont étés vendus. Le fait que 17 ne soit pas divisible en 4 est dû au fait que le tome 2 a été acheté 5 fois, tandis que les autres ont été vendus 4 fois.

Une pensée à propos des prix

La page 77 du rapport 2023 indique qu'un livre n'est autorisé que s'il jouit d'une diffusion commerciale. La motivation est que :

Cette restriction est motivée par le principe d'égalité des candidats : les ressources documentaires autorisées doivent être facilement accessibles à tout candidat au concours.

Je ne sais pas si l'auteur de ces lignes avait l’accessibilité financière en tête en rédigeant cela. Si oui, alors le Frido est probablement le seul livre autorisé à l'agreg :)

Quoi qu'il en soit, le Frido commençant à dépasser les 100 euros, il y a un problème.

Pour faire baisser le prix, il faut baisser le nombre de pages.
Une piste serait de supprimer les démonstrations des théorèmes non nécessaires à l'agreg.

Pour cela il me faudrait les deux contributions LaTeX et agreg (1) dont je parle plus haut :

  • LaTeX : Une modification de l'environnement proof.

  • Agreg : il me faut une liste des théorèmes dont les démonstrations peuvent être sautées pour un candidat à l'agreg.

Aller plus loin

  • # infecte notation ?

    Posté par  . Évalué à 2 (+1/-0).

    Je suis bien loin d'avoir le niveau agreg, et je ne comprends pas cette phrase :

    Bien que ces infectes notations «\frac{\partial f}{\partial x}» soient utilisées à quelques endroits dans le Frido, je m'efforce à écrire (\partial_if) qui signifie la dérivée de f dans la i-ième direction.

    C'est quoi le problème avec cette notation ? J'avoue avoir du mal à en comprendre les subtilités, et je serais ravi d'avoir une raison de ne pas comprendre :)

    • [^] # Re: infecte notation ?

      Posté par  . Évalué à 8 (+6/-1).

      Des histoires de portée des définitions des variables. Plus haut quand il questionne l'équivalence des fonctions quand les expressions qui les définissent sont similaires à un renommage des variables prêt ! En logique on s'assure que les variables soient renommées si elles ne sont pas des "variables libres" dans les expressions pour garantir la correction des substitutions. Cela étant dit ça ne pose pas de problème particulier de définir une équivalence de fonction à un renommage des variables correct prêt en soi, voir par exemple ce document pour savoir comment on gère les conflits de nom de variable en logique : https://www.lri.fr/~paulin/Logique/html/cours003.html

      Mais là il ajoute une problématique différente : les noms, dans un espace donné, servent parfois à nommer des direction dans l'espace ou des axes, l'axe des x pour les abscisses et les ordonnées. Ensuite c'est naturel de nommer x et y les paramètres d'une fonction qui respecte les axes.

      Puis quand on dérive partiellement selon un axe ou un vecteur une fonction, on peut utiliser le nom de l'axe ou du vecteur dans l'opérateur de dérivation pour préciser la direction dans laquelle on va dériver. C'est "naturel" d'utiliser les axes bien souvent.

      Mais … conflit de nommage potentiel. Si on utilise f(y, x) faut faire quoi ? Donc il préfère numéroter les axes et dériver la fonction selon le premier axe ou le deuxième, ça évite une éventuelle ambiguïté ou un conflit de nommage. Si j'ai bon.

    • [^] # Re: infecte notation ?

      Posté par  (site web personnel, Mastodon) . Évalué à 5 (+3/-0).

      Le problème est que la fonction s'appelle juste "f".

      On peut écrire f(x), ou f(y), ou f(47).

      C'est donc dommage d'avoir un "x" qui apparaît dans la notation de la dérivée, qui oblige a regarder dans la définition de la fonction d'où sort ce "x".

      L'autre notation suggérée indique "la dérivée de f par rapport à son premier paramètre", peu importe le nom donné au paramètre. C'est peut-être inhabituel mais ça me semble effectivement plus logique et moins ambigu de faire comme ça.

      • [^] # Re: infecte notation ?

        Posté par  (site web personnel) . Évalué à 10 (+12/-0).

        Alors c'est pareil en informatique il y a deux catégories de langages :

        • les supérieurement avancés et novateurs comme le shell, avec les arguments à des positions données
        f()
{
  local x=$1
  local y=$2
}
        • et d'autres plus primitifs comme Python, Java ou Rust qui veulent absolument des noms sur les arguments de fonctions… (et parfois même pas dans l'ordre)

        Comment ça trop gros ?

        • [^] # Re: infecte notation ?

          Posté par  . Évalué à 3 (+2/-0).

          Je rajoute Perl dans la première catégorie, et je relance de 10 …

          • [^] # Re: infecte notation ?

            Posté par  . Évalué à 8 (+7/-0).

            Python aussi permet ce types d'appel des variables , mais pour d'obscurs raisons ce n'est pas la
            première méthode enseignée pour le passage d'arguments d'une fonction.

            def f(*var):
  x = var[0]
  y = var[1]
  ...

    • [^] # Re: infecte notation ?

      Posté par  (site web personnel) . Évalué à 6 (+4/-0).

      J'ai peut-être exagéré en disant "infect", mais j'en ai beaucoup souffert dans ma jeunesse.

      Pour être plus précis, si on prend f(x,y)=x^2\sin(y), ce qu'on noterait

      est quoi ? C'est la fonction (x,y)\mapsto 2x\sin(y) ? Ou bien est-ce cette fonction évaluée au point (x,y) ?

      On devrait écrire

      C'est pourquoi je préfère écrire en deux lignes. D'abord f(x,y)=x^2\sin(y) et ensuite

      La notation \frac{\partial}{\partial x} incite à ne pas faire la distinction entre ce qui va être la fonction dérivée et ce qui est la fonction dérivée évaluée en un certain point.

      • [^] # Re: infecte notation ?

        Posté par  (site web personnel) . Évalué à 3 (+1/-0).

        pourquoi des d ronds ? plutôt que le classique d/dx ?

        • [^] # Re: infecte notation ?

          Posté par  (site web personnel) . Évalué à 4 (+2/-0).

          pourquoi des d ronds ? plutôt que le classique d/dx ?

          Très bonne question. Je n'utilise d/dx que quand il y a une seule variable (p.ex d/dt d'un chemin).

          Souvent les gens font une différence subtile.
          Prenons la fonction f(x,t)=x^2\sin(t) mais que dans le contexte, x est une fonction de t.

          Alors

          parce que c'est une dérivée partielle. On fait comme si x était une variable qui n'a rien à voir.

          Par contre

          parce que pour d/dt, on recherche toutes les dépendances en t, même à travers les fonctions.

          Typiquement le genre de notations que je déteste également.

          Il faut écrire f(x,t)=x^2\sin(t) puis éventuellement définir \phi(t)= x(t)^2\sin(t), et calculer \phi'(t).

          • [^] # Re: infecte notation ?

            Posté par  (site web personnel) . Évalué à 1 (+0/-0). Dernière modification le 17 septembre 2024 à 18:27.

            Une vidéo Youtube de la chaîne EpsilonDelta explique en anglais l'ambigüité et essaie de la résoudre : « They Use ∂ Differently in Math and Physics. Which is Better? ».

      • [^] # Re: infecte notation ?

        Posté par  (site web personnel) . Évalué à 3 (+1/-0).

        On devrait écrire […]

        Je suis moyennement d'accord avec toi. Oui ces notations sont suffisamment ambiguës pour être donner du fil à retordre aux étudiants qui doivent non seulement apprendre des concepts difficiles mais en plus la manière particulière de les écrire. La manière classique de s'en sortir c'est de ne pas utiliser x et y comme coordonnées de points, on peut par exemple utiliser des indices pour distinguer. Si on est fan de formalisme — donc peut-être pas un étudiant — on peut tout faire marcher en disant que x et y sont les fonctions coordonnées du point, on écrit alors

        (égalité entre fonctions) et on n'a aucun problème de cohérence (et oui on peut dériver par rapport à x). C'est cependant plus facile de ne pas trop rentrer dans les détails, et si ces notations existent et sont utilisées par les mathématiciens professionnels, c'est parceque les avantages dépassent les inconvénients (concision, lisibilité de textes relativement anciens, etc.)

      • [^] # Re: infecte notation ?

        Posté par  (site web personnel) . Évalué à 4 (+3/-0).

        Je crois aussi me rappeler que ce changement de notation entre la discipline de maths et celle de physique (tu as appris à écrire comme ça "en maths" pendant des mois, et puis tout à coup on te dit qu'"en physique", ça se présente et se lit comme ça, mais que t'inquiète c'est la même chose) est un peu déroutante pour certains élèves de Terminale.
        Un peu comme s'il y avait des caprices entre disciplines…

        • [^] # Re: infecte notation ?

          Posté par  (site web personnel) . Évalué à 2 (+0/-0).

          Après, cela reste la grande bataille sur les limites avec les infiniment petits ou pas. Cauchy est passé par là et à mis les math d'accord avec un epsilon…

          Les physiciens sont restés avec leurs mains ;-)

          Et puis, il y a eu Robinson en 1964 qui a réussit à mettre les infiniment petits dans les math après plus de 100 ans de recherche. Au début des années 70, Nelson fait une version plus digeste.

          Bref, avoir un \partial au numérateur et un autre au dénominateur n'est pas complètement idiot au sens de l'analyse non standard (ou de la physique, avec les unités). Bref, si on veut veut pas de x, y…

  • # Questions de novice

    Posté par  . Évalué à 7 (+5/-0). Dernière modification le 17 septembre 2024 à 07:27.

    Alors je n’y connais rien en maths et j’ai été voir le livre en me demandant si c’était accessible aux néophytes ; la réponse est non - je vais aller acheter « Oui-oui découvre les maths » en librairie qui sera plus à ma portée.

    Mais je suis intrigué par la structure de l’ouvrage, avec le sommaire qui se retrouve en page 44 après une quarantaine de pages décrivant les « thèmes » et avec déjà beaucoup de contenu. De même, un chapitre (?) -2.1 ouvre la numérotation.

    Vu que tout semble taillé à la serpe, je doute que ce soit une erreur d’où la question : pourquoi ? Pourquoi le sommaire n’est pas en premier ? Pourquoi cette numérotation étrange ? Est-ce que c’est un truc spécifique aux mathématiques ?

    • [^] # Re: Questions de novice

      Posté par  (site web personnel) . Évalué à 5 (+3/-0).

      Bonne question.
      Les parties sont mises dans l'ordre pour avoir les meilleurs résultats quand on fait ctrl-f.

      L'index thématique sert à placer pratiquement tous les mots-clefs ou combinaisons de mots dont j'ai besoin.
      Ensuite vient la table des matières parce que c'est là que viennent les résultats les plus pertinents au ctrl-f quand je ne les trouve pas dans l'index thématique.

      • [^] # Re: Questions de novice

        Posté par  . Évalué à 2 (+0/-0).

        Les parties sont mises dans l'ordre pour avoir les meilleurs résultats quand on fait ctrl-f.

        OK, pas con. J'y penserai la prochaine fois que je dois rédiger un doc très long ; je ne fais jamais rien d'aussi gros, mais 100-150 pages ça justifie déjà ce genre d'approche.

        Et par contre, pourquoi cette numérotation -2.1 ?

        • [^] # Re: Questions de novice

          Posté par  (site web personnel) . Évalué à 3 (+1/-0).

          Et par contre, pourquoi cette numérotation -2.1 ?

          Le vrai début de la mathématique est le chapitre 1.
          Donc l'introduction est le zéro (logique)
          Donc ce qui est avant est -1 (logique)…

          …

          heu …

          ben du coup je ne sais pas pourquoi j'ai mis -2.
          Je change en -1 pour la prochaine fois.

          Ou alors je ne mets pas de numéro de chapitre. Mais alors je dois modifier le \thesection pour qu'il n'affiche pas le chapitre.
          Ch'ai pas ce qui est le mieux …

    • [^] # Re: Questions de novice

      Posté par  (site web personnel) . Évalué à 4 (+2/-0).

      Alors je n’y connais rien en maths et j’ai été voir le livre en me demandant si c’était accessible aux néophytes

      Le public est les gens qui préparent l'agrég de maths, donc qui ont fait 4 ans de maths de façon intensive. Plutôt pas des néophytes donc.

      Si tu as une certaine curiosité mathématique tu peux lire avec un certain plaisir les mathématiques d'école de Daniel Perrin, ou Euclid and beyond de Robin Hartshorne (en anglais). Des lectures plus difficiles mais peut-être sympas aussi sont:

      • Concrete Mathematics, Knuth (celui de TeX)
      • cours d'analyse de Roger Godement,
      • Analysis by its history par Hairer et Wanner
      • Exercices de Polyà et Szegö

  • # bravo

    Posté par  . Évalué à 3 (+3/-0).

    bonjour (quel est votre prénom ?)
    je viens de découvrir le Frido, je trouve génial, grand merci à vous
    je suis allé voir pour le fait que le groupe multiplicatif de Z/pZ est cyclique,proposition Proposition 3.137 :
    vous dites : « Si p est un nombre premier, tout sous-groupe de (Z/nZ)* est cyclique »
    mais je ne comprend pas le lien entre p et n ??
    après vous dites : « Soit un sous-groupe H d’ordre |H|=n de (Z/nZ) »
    en fait j'imagine que vous vouliez dire :
    Si p est un nombre premier, tout sous-groupe [d'ordre p] de (Z/nZ)     est cyclique
    et :
    Soit un sous-groupe H d’ordre |H|=p de (Z/nZ)*
    pouvez vous m'éclaircir ? merci :-)
    Vincent

    • [^] # Re: bravo

      Posté par  (site web personnel) . Évalué à 3 (+1/-0).

      Le p est dans le groupe : Z/pZ.
      C'est corrigé pour l'année prochaine.

      Ceci n'a rien à voir avec cela, mais pour citer des théorèmes, c'est plus simple de donner le label en vert à côté. Ici : PROPooKSCRooPyInSv. Au moins lui, il est garanti de ne pas changer, même si la proposition change de numéro et de pages.

  • # Extensions de corps

    Posté par  (site web personnel) . Évalué à 2 (+0/-0).

    Je me demande si je suis le seul au monde à avoir remarqué que, quand on parle de l'extension de corps K[a], ce qu'on obtient dépend du corps ambiant dans lequel sont K et a.

    Ça dépend de ce que tu veux dire par “ce qu'on obtient”?

    Par exemple si je prend \mathbb{Q}[\sqrt{2}]… Il n'y a pas de problèmes à construire un sur-corps de \mathbb{Q} contenant l'élément \sqrt{2} dans lequel \sqrt{2}^2=3.

    Qu'est-ce que tu racontes? Si dans ton \mathbb{Q}[\sqrt 2] tu n'as pas \sqrt{2}^2=2 on peut se demander pourquoi tu veux noter cet élément \sqrt 2.

    • [^] # Re: Extensions de corps

      Posté par  . Évalué à 3 (+1/-0). Dernière modification le 17 septembre 2024 à 20:38.

      Ça m’a interpellé de la même manière, mais j’ai mis ça sur le compte du fait que je ne maîtrise pas encore bien le sujet.

      Pour moi, Q[X]/(X2-2) ne dépend pas d’un corps ambiant, et est isomorphique à Q[sqrt(2)] quel que soit le corps ambiant, donc je ne vois pas bien comment c’est possible.

    • [^] # Re: Extensions de corps

      Posté par  (site web personnel) . Évalué à 3 (+1/-0).

      Je suis d'accord que, dans le contexte, on s'attend à ce que \sqrt{2}^2=2. Mais il n'empêche que j'ai bien le droit de mettre la structure que je veux sur l'ensemble

      Après tout, \mathbb{Q} est un ensemble de classes d'équivalences de paires d'entiers tandis que \sqrt{2} est une classe d'équivalence de suites de Cauchy dans \mathbb{Q}.

      Je suis déjà gentil d'écrire a+b\sqrt{2}. Je devrais écrire (a,b).

      Alors, certes, mettre la structure de corps qui fait \sqrt{2}^2=3 est un sale coup, parce que DANS CE CAS-CI, on est tacitement d'accord de prendre la structure héritée de \mathbb{C}.

      Mais qu'est-ce qui me garantit qu'il n'y a en général pas d'ambiguïtés ?

      Soit un corps \mathbb{K} et un sur-corps \mathbb{L}_1 contenant un élément a.
      Qui me garantit qu'il n'y a pas un autre sur-corps \mathbb{L}_2 contenant également l'élément a ?

      En tout cas, la notation \mathbb{K}[a] n'a de sens que si on est tacitement d'accord sur un sur-corps de \mathbb{K} contenant a. C'est tout mon point.

      • [^] # Re: Extensions de corps

        Posté par  (site web personnel) . Évalué à 2 (+0/-0).

        La nuit portant conseil, j'ai un exemple peut-être plus convainquant.

        Si h\in\mathbb{R}, que signifie «\mathbb{R}[h]» ? Il y a au moins deux sur-anneaux (corps ?) de \mathbb{R} qui méritent ce nom.

        • Le corps \mathbb{R} lui-même
        • L'anneau des séries formelles en h. J'ai pas vérifié, mais je suis prêt à parier qu'il y a moyen de l'étendre un peu pour en faire un corps.

        • [^] # Re: Extensions de corps

          Posté par  (site web personnel) . Évalué à 2 (+0/-0).

          Je ne sais pas trop ce que tu appelles séries formelles en h en donnant une valeur à h (qu'est-ce qu'il y a de formel à ta série?).

          Les séries formelles à coefficients dans \mathbb{C} ont un chouette corps des fractions, qui est isomorphe au corps des séries de Laurent (séries de type “série formelle divisée par une puissance de la variable”).

          (La partie fraction -> Laurent se fait en décomposant le dénominateur en éléments premiers entre eux puis en utilisant une identité de Bezout.)

      • [^] # Re: Extensions de corps

        Posté par  (site web personnel) . Évalué à 2 (+0/-0).

        Bien-sûr on est libre de définir les symboles comme on veut, mais si on s'amuse à dire “posons \sqrt 2 une racine carrée de 3” ça fait un peu “d'abord je dis ce que je veux, na na na na nère.”

        Habituellement on note \mathbb{Q}[\sqrt 2] le sous-anneau de \mathbb{C} engendré par \mathbb{Q} et le nombre complexe \sqrt{2}, ce sous-anneau est en fait un corps, l'inverse de \sqrt{2} étant \sqrt{2}/2.

        En tout cas, la notation \mathbb{K}[a] n'a de sens que si on est tacitement d'accord sur un sur-corps de \mathbb{K} contenant a. C'est tout mon point.

        Euh ben quand tu dis “je peux vous trouver une structure où (\sqrt{2})^2 = 3 tu dis un peu plus, non?

  • # Jolie contrepèterie

    Posté par  (site web personnel) . Évalué à 5 (+3/-0).

    Et bravo pour le titre de la dépêche qui est bien contrepèteriesque !

  • # Constante de Weiner

    Posté par  (site web personnel, Mastodon) . Évalué à 2 (+1/-0). Dernière modification le 19 septembre 2024 à 03:40.

    Vers la fin, il y a une section consacrée aux différentes propriétés et conjectures autour de la constante de Weiner. Si vous en connaissez d'autres, faites-le moi savoir.

    Quelques idées :

    • La constante de Weiner est le plus petit n tel que tout monoïde libre sur un nombre fini ou même dénombrable de générateurs soit un sous-monoïde du monoïde libre à n générateurs. Les conséquences pour l'informatique sont laissées en exercice. (Piqué à https://bsky.app/profile/gro-tsen.bsky.social/post/3kxzv27uwno2s)

    • C'est le degré maximal d'un polynôme irréductible sur R, et le degré de la clôture algébrique de R.

    • C'est le nombre de valeurs possibles pour la probabilité d'un événement dépendant asymptotiquement d'une suite de variables aléatoires indépendantes.

    • C'est aussi le cardinal du classificateur de sous-objet de la catégorie des ensembles (et de beaucoup d'autres catégories concrètes usuelles, comme les espaces topologiques, d'ailleurs je ne sais pas s'il y a une CNS intéressante pour ça).

    • Comme chacun sait, l'équation diophantienne an + bn = cn n'a de solutions non-triviales que pour n inférieur à la constante de Weiner.

    (NB: Pinaillerie : tu dis que la constante de Weiner est l'indice du groupe alterné dans le groupe symétrique à tout ordre, il faut exclure les ordres strictement inférieurs à cette même constante.)

    • [^] # Re: Constante de Weiner

      Posté par  (site web personnel) . Évalué à 2 (+0/-0).

      NB: Pinaillerie : tu dis que la constante de Weiner est l'indice du groupe alterné dans le groupe symétrique à tout ordre, il faut exclure les ordres strictement inférieurs à cette même constante.

      Je vais ajouter "ordre NON TRIVIAL". Ça fait toujours bien.

      • [^] # Re: Constante de Weiner

        Posté par  . Évalué à 4 (+2/-0).

        Je ne sais pas si tu lis encore les commentaires, mais voici quelques propositions :

        Théorèmes :

        • Le nombre de sommets d'un hypercube de dimension n est égal à W_c^n.
        • Tout polygone non plat a un nombre de côtés strictement supérieur à W_c.
        • Tout polyèdre non plat a un nombre de faces supérieur ou égal à W_c^{W_c}
        • C'est un résultat bien connu que e^{i\pi} + 1 = 0. Ce qui est moins connu, c'est que e^{i\pi W_c } + 0 = 0.

        Conjecture :

        • Pour tout entier n strictement supérieur à W_c et divisible par W_c, il existe au moins une manière de choisir W_c nombres premiers, non nécessairement différents entre eux, dont la somme est égale à n.

        Ça, ce sont les sources. Le mouton que tu veux est dedans.

        • [^] # Re: Constante de Weiner

          Posté par  . Évalué à 2 (+0/-0). Dernière modification le 30 septembre 2024 à 17:31.

          Je m'auto-corrige parce que c'est quand même scandaleux :

          Ce qui est moins connu, c'est que e^{i\pi W_c} +0 =1

          Ça, ce sont les sources. Le mouton que tu veux est dedans.

    • [^] # Re: Constante de Weiner

      Posté par  (site web personnel) . Évalué à 3 (+1/-0).

      C'est quoi une CNS ?

    • [^] # Re: Constante de Weiner

      Posté par  (site web personnel) . Évalué à 2 (+0/-1).

      Comme chacun sait (…)

      Histoire de pinailler sur la forme (je n'ai pas le niveau en maths pour pinailler sur le fond), cette formulation serait à éviter dans un tel ouvrage (à vrai dire, je ne vois pas quand quel cadre écrit ou oral c'est une bonne idée, à part comme effet de manche… soit c'est évident et pas la peine d'expliciter « c'est évident » puisque c'est évident ; soit ça ne l'est pas et ça ne sert à rien non plus de dire/écrire « je fais partie de gens pour qui c'est évident, et vous ? »). Ça me fait penser aux règles de Vale pour la documentation (genre https://github.com/cockroachdb/docs/blob/master/vale/CockroachDB/Hyperbolic.yml ) pour éviter des mots inutiles.

      • [^] # Re: Constante de Weiner

        Posté par  (site web personnel) . Évalué à 6 (+5/-1).

        cette formulation serait à éviter dans un tel ouvrage […]

        Tu as entièrement raison, et je m'efforce d'éviter ce genre de formulations en général.
        Mais ce cas-ci est différent. En effet, la partie sur la «constante de Weiner» est (à moitié) humoristique : la constante de Weiner vaut 2.

        Autrement dit, cette partie regroupe différents théorèmes contenant le nombre 2. Certains étaient déjà connus des hommes de Cro-Magnon.

        Allez ! Défi narratif!
        Donner un résultat mathématique concernant le nombre 2 qui était certainement connu des hommes de Cro-Magnon, mais exprimer ce résultat sous forme moderne le plus abstraitement possible.

        Je dirais : «le nombre de Lunes dans une saison est égal à la constante de Weiner» … mais je crois que c'est faux :(

    • [^] # Re: Constante de Weiner

      Posté par  (site web personnel, Mastodon) . Évalué à 2 (+1/-0).

      C'est aussi le cardinal du classificateur de sous-objet de la catégorie des ensembles (et de beaucoup d'autres catégories concrètes usuelles, comme les espaces topologiques, d'ailleurs je ne sais pas s'il y a une CNS intéressante pour ça).

      Rectification : j'ai dit des bêtises sur les espaces topologiques. On vérifie que les monomorphismes sont les applications continues injectives. Mais du coup, il y a plein de monomorphismes qui ne sont pas des inclusions de sous-espace. Par exemple, l'identité sur {0, 1} si on met la topologie discrète au départ et triviale à l'arrivée.

      Alors que les fonctions (automatiquement continues) vers {0, 1} avec la topologie triviale correspondent aux sous-ensembles, donc ce que j'avais en tête ne marche pas du tout. En fait, les inclusions de sous-espace topologique sont exactement les monos réguliers, et dans une catégorie qui a un classificateur de sous-objet, tous les monos sont réguliers, donc la catégorie des espaces topologiques n'a pas de classificateur de sous-objet du tout.

    • [^] # Re: Constante de Weiner

      Posté par  . Évalué à 1 (+0/-0).

      • Le rapport entre le logarithme de l'aire d'un carré et le logarithme de son côté

      • le seul nombre oblong premier

      • La moyenne géométrique de la suite A007395 tends vers la constante de Weiner (la démonstration est assez ardue).

  • # Sur la géométrie différentielle

    Posté par  (site web personnel) . Évalué à 3 (+1/-0).

    D'habitude, on définit une variété comme étant un ensemble avec des cartes provenant d'ouverts de \mathbb{R}^n.

    Or on définit quand même souvent des variétés avec des cartes ne provenant pas de \mathbb{R}^n. Par exemple lorsqu'on travaille sur des sous-groupes de Lie, on prend souvent la carte exponentielle provenant de l'algèbre de Lie.

    On résout cette difficulté en prenant des coordonnées dans l'algèbre de Lie. Tous les choix de coordonnées mènent au même atlas maximal (dans la terminologie de Lafontaine) donc à la même structure différentielle — donc on peut se contenter de définir les cartes en utilisant l'espace vectoriel qu'on veut.

    Autrement tu peux aussi dire que tu vois ton espace vectoriel préféré E comme une variété différentielle (avec la définition en \mathbb{R}^n) et que tu transportes la structure sur ton objet d'étude X grâce aux “cartes” \phi_i: U_i \to E (U_i ouvert de X). Ça marche aussi si tu veux changer d'espace vectoriel pour chaque carte.

    Bien que je sois un psychorigide sur les abus de notations, […]

    Il me semble que tu as un prédécesseur, Arnaudiès dont les cours de maths sont très pointilleux sur les notations — probablement pour être d'une grande clarté pour les débutants.

    Questions sur l'intégration des formes différentielles

    Pour tes questions d'intégration, on travaille normalement avec de partitions de l'unité qui sont localement finies, comme dans la fiche Wikipédia https://fr.wikipedia.org/wiki/Partition_de_l%27unité

    C'est ce qui te permet de permuter tes intégrales et tes sommes. C'est peut-être plus facile de passer par une construction intermédiaire en disant que:

    1. Tu intègres tes formes par rapport à une partition de l'unité
    2. Étant données deux partitions de l'unité (U_i, \rho_i) et (V_j, \sigma_j) tu déduis une nouvelle partition de l'unité (U_i\cap V_j, \rho_i\sigma_j) et tu démontres que ta définition donne le même résultat pour ces trois partitions de l'unité
    3. Tu conclus que ta définition ne dépend finalement pas de la partition de l'unité choisie.

    • [^] # Re: Sur la géométrie différentielle

      Posté par  (site web personnel) . Évalué à 3 (+1/-0).

      On résout cette difficulté en prenant des coordonnées dans l'algèbre de Lie. Tous les choix de coordonnées mènent au même atlas maximal (dans la terminologie de Lafontaine) donc à la même structure différentielle — donc on peut se contenter de définir les cartes en utilisant l'espace vectoriel qu'on veut.

      C'est ce qui est fait. La définition d'une variété accepte des cartes de n'importe quel espace vectoriel normé.
      Il est démontré que tout variété accepte un atlas composé de cartes provenant de \mathbb{R}^n.
      Par contre, avec cette approche, on ne peut plus parler de l'ensemble de toutes les cartes.

    • [^] # Re: Sur la géométrie différentielle

      Posté par  (site web personnel) . Évalué à 2 (+0/-0).

      C'est ce qui te permet de permuter tes intégrales et tes sommes. […]

      Passer par la partition de l'unité "intersection" est, si j'ai bien compris ce que tu veux dire, ce qui est fait dans la proposition PROPooDYDPooOWNtfD (dans giulietta, chapitre Integration on manifolds). Mais la permutation effective des sommes dans la preuve est une invention personnelle. Je ne l'aie vue nulle part.

      Mais à la fin, je préfère la définition PROPooLCYGooLUxEYS
      (pure invention personnelle) qui me semble plus intrinsèque que les partitions de l'unité.

  • # Deux critiques ! la définition et ChatGPT.

    Posté par  (site web personnel) . Évalué à 1 (+2/-1).

    Je ne sais pas… Rien que la définition du Frido dans le chapeau de l’article, je ne l’ai pas comprise. C’est confus et je trouve même un peu méprisant.
    Alors que si je clique sur la source du Frido, c’est simple, précis et concis :
    « Le Frido » contient des mathématiques du niveau de l'agrégation. Il couvre (à peu près) tout le programme de 2015.

    Au sujet de ChatGPT, il n’est pas capable de faire des maths. Donc je suis choqué que tu penses qu’il sache faire une démonstration.
    La vérité, c’est qu’il a volé une démonstration et t’en as caché la source.

    Bref, je n’ai pas le niveau de la cible, mais ta dépêche ne donne pas envie. (Alors que réétudier les maths, j’avoue, cela me botterait bien).

    • [^] # Re: Deux critiques ! la définition et ChatGPT.

      Posté par  (site web personnel) . Évalué à 2 (+1/-1).

      Rien que la définition du Frido dans le chapeau de l’article, je ne l’ai pas comprise. C’est confus

      rho c'est de l'humour à la Bourbaki :/ Un peu pôtache et élitiste potentiellement, mais pas méprisant pour autant ;-)

    • [^] # Re: Deux critiques ! la définition et ChatGPT.

      Posté par  (site web personnel) . Évalué à 6 (+4/-0).

      Au sujet de ChatGPT, il n’est pas capable de faire des maths. Donc je suis choqué que tu penses qu’il sache faire une démonstration.
      La vérité, c’est qu’il a volé une démonstration et t’en as caché la source.

      Il y aurait beaucoup de choses à dire là-dessus.

      D'abord, évacuons deux points non liés à la (non?)-capacité de ChatGPT à faire des math.

      Pourquoi je mets des sources ?

      Je mets des sources pour bien montrer que ce n'est pas moi qui invente, et pour "remercier" la personne qui a prit la peine de rédiger et publier un résultat.

      pourquoi j'ai cité chatGPT ?

      J'avais besoin de prouver un résultat. J'ai pas trouvé la démonstration en ligne, j'ai posé la question, sans obtenir de réponses. Du coup j'ai demandé à chatGPT, et j'ai obtenu la démonstration qu'il me fallait.

      Qu'aurais-je dû citer ? Rien ? Je ne peux pas faire comme si j'avais inventé la preuve moi-même.
      J'ai juste suivi la procédure habituelle : j'ai cité la source dans laquelle j'ai trouvé la preuve.

      et maintenant…

      Maintenant on en vient aux deux questions plus difficiles.

      1. est-ce que chatGPT sait faire des math ?
      2. est-ce qu'il a volé la preuve ?
      3. est-ce qu'il m'a caché la source ?

      Réponses courtes : non, bof (ça dépend ce qu'on entend par «coler»), non.

      est-ce que chatGPT sait faire des math ?

      Intuitivement, je dirais non. Mais je n'ai pas un argument massue pour le défendre.
      En tout cas, il est capable d'adapter des preuves qu'il a déjà vues à des cas un peu différents. Typiquement : s'adapter aux notations que je donne dans l'énoncé, et détailler les points que je demande de détailler.

      est-ce qu'il a volé la preuve ?

      Clairement, il ne l'a pas inventée. Certes je n'ai pas trouvé la preuve que je cherchais sur internet, mais l'énoncé est certainement quelque chose de connu depuis longtemps. ChatGPT a surement des livres dans la base d’entraînement contenant la preuve de ce que je demandais.

      Mais n'est-ce pas le cas de tout le monde ?

      C'est d'ailleurs un point dont je me plains ailleurs dans la dépêche : beaucoup de mathématiciens ne citent pas leurs sources.

      est-ce qu'il a caché sa source ?

      Demande-moi de prouver qu'il existe une infinité de nombres premiers. Je suis capable de te le prouver parce que je "connais" une preuve. Je serais par contre incapable de te citer ma source. J'ai sûrement lu la preuve à plein d'endroits différents.
      L'idée de la preuve est dans ma tête, je peux te la rédiger. Mais pas te donner la source sur laquelle je me base.

      D'une certaine manière, chatGPT est dans la même situation : l'idée de la preuve est encodée dans son réseau neuronal, et il est capable de la rédiger en l'adaptant aux notations que je lui donne dans la question. Mais il n'y a pas une source en particulier.

      Bref, ce sont les autres

      Bref, l'accusation de "voler une preuve et cacher la source" est certainement bien fondée contre beaucoup d'humains. Mais pas contre chatGPT.

      • [^] # Re: Deux critiques ! la définition et ChatGPT.

        Posté par  (site web personnel, Mastodon) . Évalué à 4 (+2/-0).

        Un point important, c'est que une preuve mathématique, il me semble que ce n'est pas soumis au droit d'auteur. Il est donc difficile de la voler au sens où on peut l'entendre lorsque ChatGPT ou Github Copilot régurgitent du code proche d'une source utilisée pour leur entraînement.

        Il reste par contre l'autre problème de ces intelligences artificielles, qui est la consommation d'énergie et d'eau des machines qui font tourner tout ça. Ce coût est caché parce qu'il se produit dans un data center un peu loin de chez toi. Si on l'exécutait en local, on aurait un choix du type: tu peux produire cette preuve mathématique par toi-même, ou alors lancer ChatGPT, ce qui va demander de laisser ton ordinateur tourner pendant 1 jour, va augmenter ta facture d'électricité de 20€ et augmenter la température dans ton bureau de 2º. Peut-être qu'alors on envisagerait la chose autrement et qu'on ne l'utiliserait pas pour tout et n'importe quoi (je ne dis pas que c'est le cas ici, je ne sais pas si cette preuve aurait pu être obtenue avec moins de travail par d'autres moyens).

        • [^] # Re: Deux critiques ! la définition et ChatGPT.

          Posté par  (site web personnel) . Évalué à 2 (+0/-0).

          je ne sais pas si cette preuve aurait pu être obtenue avec moins de travail par d'autres moyens

          Bien sûr qu'elle aurait pu.

          Par contre, je te rassure : je ne compte pas en faire un habitude. Je te rejoins pleinement sur les critiques environnementales que tu fais contre l'AI.

          La majorité des fois, quand je ne trouve pas une preuve, je l'ajoute à une liste de choses à faire plus tard. Et quand je reviens dessus trois ans plus tard, je remarque qu'entre temps, une preuve est apparue sur internet.

        • [^] # Re: Deux critiques ! la définition et ChatGPT.

          Posté par  . Évalué à 2 (+0/-1).

          Ça se voit "un peu" quand l'énergie est un sujet majeur, quand Google voulait produire sa propre énergie il y a quelques années avec du renouvelable défois (ça s'est pas fait il me semble), et plus récemment quand on parle de rouvrir des centrales nucléaires accidentées, rien que ça, juste pour l'IA : https://linuxfr.org/users/vmagnin/liens/la-centrale-nucleaire-de-three-mile-island-renait-pour-microsoft

          On avait la même avec le bitcoin et la réouverture de centrale au charbon. L'appat du gain détruit toutes les vélléités de faire semblant d'être écoresponsable, en remplaçant tout par des promesses aussi dithyrambiques que floues sur les applications et l'avènement d'une nouvelle utopie, pour le *washing.

        • [^] # Re: Deux critiques ! la définition et ChatGPT.

          Posté par  . Évalué à 2 (+0/-0). Dernière modification le 30 septembre 2024 à 16:59.

          une requête chatGpt consomme combien de fois plus qu'une requête google par exemple ?
          en faisant une recherche rapide j'étais tombé sur 4 à 5 fois plus (mais j'ai peut être mal interprété ce que j'ai lu) alors que je m'attendais à pire.

          • [^] # Re: Deux critiques ! la définition et ChatGPT.

            Posté par  (site web personnel) . Évalué à 2 (+0/-0).

            ce n'est pas la requête qui coûte le plus, c'est la constitution du corpus et l'apprentissage…

            • [^] # Re: Deux critiques ! la définition et ChatGPT.

              Posté par  . Évalué à 2 (+0/-1).

              Ça coute quand même probablement plus, on compare une requête dans une base de donnée indexée avec faire tourner des modèles avec plusieurs milliers de milliards de paramètres parait-il, qu'on fait tourner 1000 fois pour une requête avec une réponse en 1000 mots … J'imagine que le matos et le logiciel sont optimisés à mort, mais quand même ça fait beaucoup de calculs.

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