Y a le Frido 2024 qu'est là

Posté par LaurentClaessens (site web personnel) le 16 septembre 2024 à 10:31. Édité par Benoît Sibaud et Guillaume Gasnier. Modéré par Benoît Sibaud. Licence CC By‑SA.

Étiquettes :

sept.

2024

Le Frido est un livre de mathématique libre. Il est l'enveloppe convexe entre la matière de l'agrégation et les bases (axiomatique des ensembles non comprise). Autrement dit : il construit les ensembles de nombres, et va jusqu'au bout du programme de l'agrégation en bouchant tous les trous. En français, il comprend 2888 pages au 25 août 2024 et est publié sous licence FDL.

Sommaire

Images de couvertures

Les images de couverture proviennent de Pepper et Carrot.

Image de couverture du tome 1

(pour voir les couvertures des tomes 2, 3 et 4)

Elles sont aussi visibles via les sources évidemment.

Changements depuis l'année passée

Intégration sur variétés

J'ai décidé que la partie parlant d'intégration sur les variétés allait être laissée à l'abandon.

Elle ne sert qu'à démontrer le point fixe de Brouwer via Stokes. Trop compliqué, trop long, pas adapté au niveau visé.
La preuve de Brouwer continu est maintenant faite de façon plus conventionnelle.
La géométrie différentielle est développée dans la partie en anglais.

Dérivation

La définition de la dérivée d'une fonction $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ n'est plus une définition «fondamentale». Les choses sont maintenant faites dans cet ordre :

Définition de la différentielle d'applications entre espaces de Banach.
Définition de la dérivée directionnelle comme application de la différentielle à un vecteur (la direction).
Définition des dérivées partielles comme cas particulier.
La dérivée «usuelle» est définition comme $f'=\partial_1f$ .

Ce qui est marrant avec la dernière définition est que $\partial_1$ peut être interprété soit comme la dérivée partielle dans la première direction (il y en a une seule dans $\mathbb{R}$ ) soit comme la dérivée directionnelle selon le vecteur .

Théorème de Stokes

Le théorème de Stokes est démontré. C'est un assez gros morceau.

Ce qu'il y a de mieux qu'ailleurs

Le Frido se distingue d'autres livres de math en cela qu'il est meilleur sur certains points.

Certains détails sont traités correctement.

Je me demande si je suis le seul au monde à avoir remarqué que, quand on parle de l'extension de corps K[a] , ce qu'on obtient dépend du corps ambiant dans lequel sont et .

Par exemple si je prend $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ … Il n'y a pas de problèmes à construire un sur-corps de $\mathbb{Q}$ contenant l'élément $\sqrt{2}$ dans lequel $\sqrt{2}^2=3$ .

Ce genre de détails sont traités dans le Frido, l'exemple de $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ est donné en détail, et il est bien fait mention que la notation $\mathbb{Q}[a]$ réfère toujours à des sous-corps de $\mathbb{C}$ .

Notation pour les dérivées partielles

Considérez les trois fonctions suivantes : $f,g,h:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ données par

$f(x,y)=x\sin(y)$

$g(u,v)=u\sin(v)$

$h(y,x)=y\sin(x)$

Est-ce que vous oseriez écrire f=g=h ? Si oui, c'est que vous pouvez remplacer «» par «» ou «h» partout. Alors que signifie $\frac{\displaystyle\partial g}{\displaystyle\partial x}$ ?

Bien que ces infectes notations « $\frac{\partial f}{\partial x}$ » soient utilisées à quelques endroits dans le Frido, je m'efforce à écrire $(\partial_if)$ qui signifie la dérivée de dans la -ième direction.

Un minimum de notations

Bien que je sois un psychorigide sur les abus de notations, le Frido a une autre règle : utiliser un minimum de symboles difficiles à écrire. Tout doit pouvoir être écrit à la main sur des feuilles volantes dans le tram.

pas de gras pour les vecteurs (impossible à rendre à la main)
le même symbole «» est utilisé pour $\mathbb{K}^*$ pour dire $\mathbb{K}\setminus\{0\}$ et dans pour désigner le dual algébrique.

Variétés et cartes

D'habitude, on définit une variété comme étant un ensemble avec des cartes provenant d'ouverts de $\mathbb{R}^n$ .

Or on définit quand même souvent des variétés avec des cartes ne provenant pas de $\mathbb{R}^n$ . Par exemple lorsqu'on travaille sur des sous-groupes de Lie, on prend souvent la carte exponentielle provenant de l'algèbre de Lie.

Dans Giulietta (NdM : extension en anglais qui va de l’agrégation jusqu’à tout ce que l'auteur sait en mathématique), on définit correctement une variété comme ayant des cartes provenant d'ouverts d'espaces vectoriels normés quelconques. Il est alors démontré que toute telle variété est isomorphe à une variété avec des cartes de $\mathbb{R}^n$ .

Je ne me souviens pas avoir vu cette subtilité traitée quelque part. Notons qu'avec cette définition, on ne peut plus parler de l'ensemble de toutes les cartes.

Citations

Le Frido cite (à peu près) correctement ses sources. Chaque théorème vient avec les sources qui ont contribué soit à l'énoncé soit à la preuve. Les inventions personnelles sont mentionnées très explicitement. Pas peur de citer wikipédia, des commentaires sur math.stackexchange.com ou d'autres sources moins conventionnelles que des livres.

Je suis souvent ~~choqué~~ ~~étonné~~ par la quantité de cours mis en ligne par des profs se contentant de citer trois livres en disant «pour en savoir plus, le lecteur pourra consulter les ouvrages suivants». Ensuite, on va se plaindre que si les étudiants ne citent pas leurs sources dans leurs mémoires, c'est du plagiat.

Le plagiat massif est simplement la norme dans les textes de math que les profs mettent dans les mains des étudiants.

ChatGPT

Cette année, ChatGPT entre dans la bibliographie. C'est lui qui a fourni une partie de la preuve que si f_1 et f_2 sont mesurables (depuis le même espace) alors le vecteur (f_1, f_2) est mesurable.

Il y a d'ailleurs une belle anecdote à ce sujet.

ChatGPT se contente de prouver correctement que le théorème est vrai sur les mesurables de la forme $A_1\times A_2$ , et dit vaguement que si c'est bon sur une partie qui engendre la tribu produit, alors c'est bon pour toute la tribu. Typiquement le genre de trou dans la preuve que laisserait un humain.

Si vous voulez contribuer

Niveau facile

Lisez et écrivez-moi si vous trouvez une faute ou un passage pas clair. Critère : si vous êtes relativement bon en math et que vous mettez plus de 20 minutes sur une ligne, c'est qu'il y a un problème avec le texte.

Niveau intermédiaire

S'il manque une démonstration, rédigez-en une, faites une photo de votre feuille et envoyez-la moi.

Niveau difficile

Si vous êtes bon en géométrie différentielle, vous pouvez tenter de répondre à cette question:

https://math.stackexchange.com/questions/4917916/commute-two-sums-when-defining-integral-of-differential-manifold

Enjeu : toutes les définitions que je connais de l'intégrale d'une forme sur une variété sont fausses. Sauf celle que j'ai inventée moi-même.

Si vous vous y connaissez en processus de Poisson, vous pouvez répondre à cette question :

https://math.stackexchange.com/questions/4957480/density-of-the-vector-of-jump-times-in-a-poisson-process

Note : je ne suis même pas sûr que l'énoncé soit correct. La démonstration que je connais vient d'ici mais je ne suis pas convaincu.

Si vous être bon en probabilités, vous pouvez tenter de répondre à cette question :

https://math.stackexchange.com/questions/4961074/is-the-join-density-the-density-of-the-vector

Niveau supérieur

Vers la fin, il y a une section consacrée aux différentes propriétés et conjectures autour de la constante de Weiner. Si vous en connaissez d'autres, faites-le moi savoir.

LaTeX

Modifier l'environnement proof pour qu'il prenne un paramètre booléen optionnel inBook. Par défaut il vaut True et la démonstration est affichée. Si inBook est False, la démonstration n'est pas affichée. Au lieu de la preuve, il y a le texte «Voir la version en ligne : ».

La raison est expliquée plus bas.

Agreg (1)

Il me faut une liste des théorèmes dont les démonstrations peuvent être sautées pour un candidat à l'agreg. J'imagine que tout ce qui utilise explicitement le lemme de Zorn peut sauter, tout ce qui parle de topologie sur les espaces de distribution peut sauter, la partie sur les mesures peut partir, etc.

Pour la raison de ce besoin, voir plus bas.

Agreg (2)

Il me faut une liste de théorèmes qui peuvent servir de développements.

Contrainte

Je n'ai pas accès aux livres privateurs. Inutile de m'en conseiller un.

Ventes

Les chiffres

Précision sur le prix : le prix indiqué est le prix de vente côté imprimeur. Je ne gagne pas d'argent dessus. D'ailleurs je me demande bien qui achète le Frido …

Certes, le règlement de l'agrégation interdit les livres qui ne sont pas vendus (incidemment, les livres qui ne sont plus en vente sont interdits), mais j'ai du mal à croire qu'il y ait autant de monde qui utilise le Frido à l'agreg. Mais si ce n'est pas pour l'agreg, qui paye 100 euros pour avoir quatre briques de 6cm d'épaisseur A4 alors qu'on peut avoir un pdf sur un écran ?

Voici un tableau qui montre, pour chaque année, le nombre de livres vendus, et le prix total. Les cases avec un x correspondent au nombres dont je n'ai pas pris note.

année	prix de tout le Frido	Nombre de livres vendus
2016	x	51
2017	x	37
2018	x	30
2019	89,36	17
2020	x	32
2021	97,59	13
2022	x	x
2023	106,79	16
2024	110,88

Au total, ce sont 196 bouquins vendus plus ceux de 2022 dont je n'ai pas pris note. On doit être un peu au-dessus de 200.

Précisions :

La ligne 2021 correspond au Frido 2021 vendu entre septembre 2021 et septembre 2022. Plus généralement, la ligne N correspond aux ventes entre septembre N et septembre N+1.
En 2019, il fallait payer 89,36 euros pour acheter les 4 Fridos. 17 livres ont étés vendus. Le fait que 17 ne soit pas divisible en 4 est dû au fait que le tome 2 a été acheté 5 fois, tandis que les autres ont été vendus 4 fois.

Une pensée à propos des prix

La page 77 du rapport 2023 indique qu'un livre n'est autorisé que s'il jouit d'une diffusion commerciale. La motivation est que :

Cette restriction est motivée par le principe d'égalité des candidats : les ressources documentaires autorisées doivent être facilement accessibles à tout candidat au concours.

Je ne sais pas si l'auteur de ces lignes avait l’accessibilité financière en tête en rédigeant cela. Si oui, alors le Frido est probablement le seul livre autorisé à l'agreg :)

Quoi qu'il en soit, le Frido commençant à dépasser les 100 euros, il y a un problème.

Pour faire baisser le prix, il faut baisser le nombre de pages.
Une piste serait de supprimer les démonstrations des théorèmes non nécessaires à l'agreg.

Pour cela il me faudrait les deux contributions LaTeX et agreg (1) dont je parle plus haut :

LaTeX : Une modification de l'environnement proof.
Agreg : il me faut une liste des théorèmes dont les démonstrations peuvent être sautées pour un candidat à l'agreg.

Aller plus loin

Les sources LaTeX (37 clics)
Téléchargement des pdf séparés et achat (138 clics)
Achat du volume 1 (22 clics)
Le Frido, version courante (159 clics)
Giulietta, version courante (45 clics)

# infecte notation ?

Posté par sobriquet le 16 septembre 2024 à 14:21. Évalué à 2 (+1/-0).

Je suis bien loin d'avoir le niveau agreg, et je ne comprends pas cette phrase :

Bien que ces infectes notations «\frac{\partial f}{\partial x}» soient utilisées à quelques endroits dans le Frido, je m'efforce à écrire (\partial_if) qui signifie la dérivée de f dans la i-ième direction.

C'est quoi le problème avec cette notation ? J'avoue avoir du mal à en comprendre les subtilités, et je serais ravi d'avoir une raison de ne pas comprendre :)

Répondre
- [^] # Re: infecte notation ?
  
  Posté par Thomas Douillard le 16 septembre 2024 à 15:08. Évalué à 5 (+3/-1).
  
  Des histoires de portée des définitions des variables. Plus haut quand il questionne l'équivalence des fonctions quand les expressions qui les définissent sont similaires à un renommage des variables prêt ! En logique on s'assure que les variables soient renommées si elles ne sont pas des "variables libres" dans les expressions pour garantir la correction des substitutions. Cela étant dit ça ne pose pas de problème particulier de définir une équivalence de fonction à un renommage des variables correct prêt en soi, voir par exemple ce document pour savoir comment on gère les conflits de nom de variable en logique : https://www.lri.fr/~paulin/Logique/html/cours003.html
  
  Mais là il ajoute une problématique différente : les noms, dans un espace donné, servent parfois à nommer des direction dans l'espace ou des axes, l'axe des x pour les abscisses et les ordonnées. Ensuite c'est naturel de nommer x et y les paramètres d'une fonction qui respecte les axes.
  
  Puis quand on dérive partiellement selon un axe ou un vecteur une fonction, on peut utiliser le nom de l'axe ou du vecteur dans l'opérateur de dérivation pour préciser la direction dans laquelle on va dériver. C'est "naturel" d'utiliser les axes bien souvent.
  
  Mais … conflit de nommage potentiel. Si on utilise f(y, x) faut faire quoi ? Donc il préfère numéroter les axes et dériver la fonction selon le premier axe ou le deuxième, ça évite une éventuelle ambiguïté ou un conflit de nommage. Si j'ai bon.
  
  Répondre
- [^] # Re: infecte notation ?
  
  Posté par pulkomandy (site web personnel, Mastodon) le 16 septembre 2024 à 17:08. Évalué à 4 (+2/-0).
  
  Le problème est que la fonction s'appelle juste "f".
  
  On peut écrire f(x), ou f(y), ou f(47).
  
  C'est donc dommage d'avoir un "x" qui apparaît dans la notation de la dérivée, qui oblige a regarder dans la définition de la fonction d'où sort ce "x".
  
  L'autre notation suggérée indique "la dérivée de f par rapport à son premier paramètre", peu importe le nom donné au paramètre. C'est peut-être inhabituel mais ça me semble effectivement plus logique et moins ambigu de faire comme ça.
  
  Répondre
  - [^] # Re: infecte notation ?
    
    Posté par Benoît Sibaud (site web personnel) le 16 septembre 2024 à 19:17. Évalué à 10 (+10/-0).
    Alors c'est pareil en informatique il y a deux catégories de langages :
    - les supérieurement avancés et novateurs comme le shell, avec les arguments à des positions données
```
f()
{
  local x=$1
  local y=$2
}
```
    - et d'autres plus primitifs comme Python, Java ou Rust qui veulent absolument des noms sur les arguments de fonctions… (et parfois même pas dans l'ordre)
    Comment ça trop gros ?
    Répondre
    - [^] # Re: infecte notation ?
      
      Posté par shbrol le 17 septembre 2024 à 14:36. Évalué à 2 (+1/-0).
      
      Je rajoute Perl dans la première catégorie, et je relance de 10 …
      
      Répondre
      - [^] # Re: infecte notation ?
        
        Posté par Pierre le 17 septembre 2024 à 15:53. Évalué à 5 (+4/-0).
        
        Python aussi permet ce types d'appel des variables , mais pour d'obscurs raisons ce n'est pas la
        première méthode enseignée pour le passage d'arguments d'une fonction.
        
        def f(*var): x = var[0] y = var[1] ...
        
        Répondre
- [^] # Re: infecte notation ?
  
  Posté par LaurentClaessens (site web personnel) le 16 septembre 2024 à 21:28. Évalué à 5 (+3/-0).
  
  J'ai peut-être exagéré en disant "infect", mais j'en ai beaucoup souffert dans ma jeunesse.
  
  Pour être plus précis, si on prend $f(x,y)=x^2\sin(y)$ , ce qu'on noterait
  
  est quoi ? C'est la fonction $(x,y)\mapsto 2x\sin(y)$ ? Ou bien est-ce cette fonction évaluée au point ?
  
  On devrait écrire
  
  C'est pourquoi je préfère écrire en deux lignes. D'abord $f(x,y)=x^2\sin(y)$ et ensuite
  
  La notation $\frac{\partial}{\partial x}$ incite à ne pas faire la distinction entre ce qui va être la fonction dérivée et ce qui est la fonction dérivée évaluée en un certain point.
  
  Répondre
  - [^] # Re: infecte notation ?
    
    Posté par BAud (site web personnel) le 16 septembre 2024 à 21:37. Évalué à 3 (+1/-0).
    
    pourquoi des d ronds ? plutôt que le classique d/dx ?
    
    Répondre
    - [^] # Re: infecte notation ?
      
      Posté par LaurentClaessens (site web personnel) le 16 septembre 2024 à 22:24. Évalué à 4 (+2/-0).
      
      pourquoi des d ronds ? plutôt que le classique d/dx ?
      
      Très bonne question. Je n'utilise d/dx que quand il y a une seule variable (p.ex d/dt d'un chemin).
      
      Souvent les gens font une différence subtile.
      Prenons la fonction $f(x,t)=x^2\sin(t)$ mais que dans le contexte, est une fonction de .
      
      Alors
      
      parce que c'est une dérivée partielle. On fait comme si était une variable qui n'a rien à voir.
      
      Par contre
      
      parce que pour , on recherche toutes les dépendances en , même à travers les fonctions.
      
      Typiquement le genre de notations que je déteste également.
      
      Il faut écrire $f(x,t)=x^2\sin(t)$ puis éventuellement définir $\phi(t)= x(t)^2\sin(t)$ , et calculer $\phi'(t)$ .
      
      Répondre
      - [^] # Re: infecte notation ?
        
        Posté par Joël Thieffry (site web personnel) le 17 septembre 2024 à 18:27. Évalué à 1 (+0/-0). Dernière modification le 17 septembre 2024 à 18:27.
        
        Une vidéo Youtube de la chaîne EpsilonDelta explique en anglais l'ambigüité et essaie de la résoudre : « They Use ∂ Differently in Math and Physics. Which is Better? ».
        
        Répondre
  - [^] # Re: infecte notation ?
    
    Posté par Michaël (site web personnel) le 17 septembre 2024 à 10:07. Évalué à 3 (+1/-0).
    
    On devrait écrire […]
    
    Je suis moyennement d'accord avec toi. Oui ces notations sont suffisamment ambiguës pour être donner du fil à retordre aux étudiants qui doivent non seulement apprendre des concepts difficiles mais en plus la manière particulière de les écrire. La manière classique de s'en sortir c'est de ne pas utiliser x et y comme coordonnées de points, on peut par exemple utiliser des indices pour distinguer. Si on est fan de formalisme — donc peut-être pas un étudiant — on peut tout faire marcher en disant que x et y sont les fonctions coordonnées du point, on écrit alors
    
    (égalité entre fonctions) et on n'a aucun problème de cohérence (et oui on peut dériver par rapport à x). C'est cependant plus facile de ne pas trop rentrer dans les détails, et si ces notations existent et sont utilisées par les mathématiciens professionnels, c'est parceque les avantages dépassent les inconvénients (concision, lisibilité de textes relativement anciens, etc.)
    
    Répondre
  - [^] # Re: infecte notation ?
    
    Posté par Zorro (site web personnel) le 17 septembre 2024 à 10:45. Évalué à 4 (+3/-0).
    
    Je crois aussi me rappeler que ce changement de notation entre la discipline de maths et celle de physique (tu as appris à écrire comme ça "en maths" pendant des mois, et puis tout à coup on te dit qu'"en physique", ça se présente et se lit comme ça, mais que t'inquiète c'est la même chose) est un peu déroutante pour certains élèves de Terminale.
    Un peu comme s'il y avait des caprices entre disciplines…
    
    Répondre
# Questions de novice

Posté par Dring le 17 septembre 2024 à 07:26. Évalué à 7 (+5/-0). Dernière modification le 17 septembre 2024 à 07:27.

Alors je n’y connais rien en maths et j’ai été voir le livre en me demandant si c’était accessible aux néophytes ; la réponse est non - je vais aller acheter « Oui-oui découvre les maths » en librairie qui sera plus à ma portée.

Mais je suis intrigué par la structure de l’ouvrage, avec le sommaire qui se retrouve en page 44 après une quarantaine de pages décrivant les « thèmes » et avec déjà beaucoup de contenu. De même, un chapitre (?) -2.1 ouvre la numérotation.

Vu que tout semble taillé à la serpe, je doute que ce soit une erreur d’où la question : pourquoi ? Pourquoi le sommaire n’est pas en premier ? Pourquoi cette numérotation étrange ? Est-ce que c’est un truc spécifique aux mathématiques ?

Répondre
- [^] # Re: Questions de novice
  
  Posté par LaurentClaessens (site web personnel) le 17 septembre 2024 à 19:32. Évalué à 5 (+3/-0).
  
  Bonne question.
  Les parties sont mises dans l'ordre pour avoir les meilleurs résultats quand on fait ctrl-f.
  
  L'index thématique sert à placer pratiquement tous les mots-clefs ou combinaisons de mots dont j'ai besoin.
  Ensuite vient la table des matières parce que c'est là que viennent les résultats les plus pertinents au ctrl-f quand je ne les trouve pas dans l'index thématique.
  
  Répondre
  - [^] # Re: Questions de novice
    
    Posté par Dring le 18 septembre 2024 à 20:24. Évalué à 2 (+0/-0).
    
    Les parties sont mises dans l'ordre pour avoir les meilleurs résultats quand on fait ctrl-f.
    
    OK, pas con. J'y penserai la prochaine fois que je dois rédiger un doc très long ; je ne fais jamais rien d'aussi gros, mais 100-150 pages ça justifie déjà ce genre d'approche.
    
    Et par contre, pourquoi cette numérotation -2.1 ?
    
    Répondre
    - [^] # Re: Questions de novice
      
      Posté par LaurentClaessens (site web personnel) le 18 septembre 2024 à 22:25. Évalué à 2 (+0/-0).
      
      Et par contre, pourquoi cette numérotation -2.1 ?
      
      Le vrai début de la mathématique est le chapitre 1.
      Donc l'introduction est le zéro (logique)
      Donc ce qui est avant est -1 (logique)…
      
      …
      
      heu …
      
      ben du coup je ne sais pas pourquoi j'ai mis -2.
      Je change en -1 pour la prochaine fois.
      
      Ou alors je ne mets pas de numéro de chapitre. Mais alors je dois modifier le \thesection pour qu'il n'affiche pas le chapitre.
      Ch'ai pas ce qui est le mieux …
      
      Répondre
- [^] # Re: Questions de novice
  
  Posté par Michaël (site web personnel) le 18 septembre 2024 à 16:53. Évalué à 3 (+1/-0).
  Alors je n’y connais rien en maths et j’ai été voir le livre en me demandant si c’était accessible aux néophytes
  
  Le public est les gens qui préparent l'agrég de maths, donc qui ont fait 4 ans de maths de façon intensive. Plutôt pas des néophytes donc.
  
  Si tu as une certaine curiosité mathématique tu peux lire avec un certain plaisir les mathématiques d'école de Daniel Perrin, ou Euclid and beyond de Robin Hartshorne (en anglais). Des lectures plus difficiles mais peut-être sympas aussi sont:
  - Concrete Mathematics, Knuth (celui de TeX)
  - cours d'analyse de Roger Godement,
  - Analysis by its history par Hairer et Wanner
  - Exercices de Polyà et Szegö
  Répondre
# bravo

Posté par Vinz_Douce_LeMathoscope le 17 septembre 2024 à 09:40. Évalué à 3 (+3/-0).

bonjour (quel est votre prénom ?)
je viens de découvrir le Frido, je trouve génial, grand merci à vous
je suis allé voir pour le fait que le groupe multiplicatif de Z/pZ est cyclique,proposition Proposition 3.137 :
vous dites : « Si p est un nombre premier, tout sous-groupe de (Z/nZ)* est cyclique »
mais je ne comprend pas le lien entre p et n ??
après vous dites : « Soit un sous-groupe H d’ordre |H|=n de (Z/nZ) »
en fait j'imagine que vous vouliez dire :
Si p est un nombre premier, tout sous-groupe [d'ordre p] de (Z/nZ) est cyclique
et :
Soit un sous-groupe H d’ordre |H|=p de (Z/nZ)*
pouvez vous m'éclaircir ? merci :-)
Vincent

Répondre
- [^] # Re: bravo
  
  Posté par LaurentClaessens (site web personnel) le 17 septembre 2024 à 22:14. Évalué à 3 (+1/-0).
  
  Le est dans le groupe : .
  C'est corrigé pour l'année prochaine.
  
  Ceci n'a rien à voir avec cela, mais pour citer des théorèmes, c'est plus simple de donner le label en vert à côté. Ici : PROPooKSCRooPyInSv. Au moins lui, il est garanti de ne pas changer, même si la proposition change de numéro et de pages.
  
  Répondre
# Extensions de corps

Posté par Michaël (site web personnel) le 17 septembre 2024 à 10:16. Évalué à 2 (+0/-0).

Je me demande si je suis le seul au monde à avoir remarqué que, quand on parle de l'extension de corps , ce qu'on obtient dépend du corps ambiant dans lequel sont et a.

Ça dépend de ce que tu veux dire par “ce qu'on obtient”?

Par exemple si je prend $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]…$ Il n'y a pas de problèmes à construire un sur-corps de $\mathbb{Q} contenant l'élément \sqrt{2}$ dans lequel $\sqrt{2}^2=3$ .

Qu'est-ce que tu racontes? Si dans ton $\mathbb{Q}[\sqrt 2]$ tu n'as pas $\sqrt{2}^2=2$ on peut se demander pourquoi tu veux noter cet élément $\sqrt 2$ .

Répondre
- [^] # Re: Extensions de corps
  
  Posté par Moonz le 17 septembre 2024 à 20:38. Évalué à 3 (+1/-0). Dernière modification le 17 septembre 2024 à 20:38.
  
  Ça m’a interpellé de la même manière, mais j’ai mis ça sur le compte du fait que je ne maîtrise pas encore bien le sujet.
  
  Pour moi, Q[X]/(X²-2) ne dépend pas d’un corps ambiant, et est isomorphique à Q[sqrt(2)] quel que soit le corps ambiant, donc je ne vois pas bien comment c’est possible.
  
  Répondre
- [^] # Re: Extensions de corps
  
  Posté par LaurentClaessens (site web personnel) le 17 septembre 2024 à 22:27. Évalué à 3 (+1/-0).
  
  Je suis d'accord que, dans le contexte, on s'attend à ce que $\sqrt{2}^2=2$ . Mais il n'empêche que j'ai bien le droit de mettre la structure que je veux sur l'ensemble
  
  Après tout, $\mathbb{Q}$ est un ensemble de classes d'équivalences de paires d'entiers tandis que $\sqrt{2}$ est une classe d'équivalence de suites de Cauchy dans $\mathbb{Q}$ .
  
  Je suis déjà gentil d'écrire $a+b\sqrt{2}$ . Je devrais écrire .
  
  Alors, certes, mettre la structure de corps qui fait $\sqrt{2}^2=3$ est un sale coup, parce que DANS CE CAS-CI, on est tacitement d'accord de prendre la structure héritée de $\mathbb{C}$ .
  
  Mais qu'est-ce qui me garantit qu'il n'y a en général pas d'ambiguïtés ?
  
  Soit un corps $\mathbb{K}$ et un sur-corps $\mathbb{L}_1$ contenant un élément .
  Qui me garantit qu'il n'y a pas un autre sur-corps $\mathbb{L}_2$ contenant également l'élément ?
  
  En tout cas, la notation $\mathbb{K}[a]$ n'a de sens que si on est tacitement d'accord sur un sur-corps de $\mathbb{K}$ contenant . C'est tout mon point.
  
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  - [^] # Re: Extensions de corps
    
    Posté par LaurentClaessens (site web personnel) le 18 septembre 2024 à 07:23. Évalué à 2 (+0/-0).
    La nuit portant conseil, j'ai un exemple peut-être plus convainquant.
    
    Si $h\in\mathbb{R}$ , que signifie « $\mathbb{R}[h]$ » ? Il y a au moins deux sur-anneaux (corps ?) de $\mathbb{R}$ qui méritent ce nom.
    - Le corps $\mathbb{R}$ lui-même
    - L'anneau des séries formelles en . J'ai pas vérifié, mais je suis prêt à parier qu'il y a moyen de l'étendre un peu pour en faire un corps.
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    - [^] # Re: Extensions de corps
      
      Posté par Michaël (site web personnel) le 18 septembre 2024 à 11:33. Évalué à 2 (+0/-0).
      
      Je ne sais pas trop ce que tu appelles séries formelles en en donnant une valeur à (qu'est-ce qu'il y a de formel à ta série?).
      
      Les séries formelles à coefficients dans $\mathbb{C}$ ont un chouette corps des fractions, qui est isomorphe au corps des séries de Laurent (séries de type “série formelle divisée par une puissance de la variable”).
      
      (La partie fraction -> Laurent se fait en décomposant le dénominateur en éléments premiers entre eux puis en utilisant une identité de Bezout.)
      
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  - [^] # Re: Extensions de corps
    
    Posté par Michaël (site web personnel) le 18 septembre 2024 à 11:24. Évalué à 2 (+0/-0).
    
    Bien-sûr on est libre de définir les symboles comme on veut, mais si on s'amuse à dire “posons $\sqrt 2$ une racine carrée de ” ça fait un peu “d'abord je dis ce que je veux, na na na na nère.”
    
    Habituellement on note $\mathbb{Q}[\sqrt 2]$ le sous-anneau de $\mathbb{C}$ engendré par $\mathbb{Q}$ et le nombre complexe $\sqrt{2}$ , ce sous-anneau est en fait un corps, l'inverse de $\sqrt{2}$ étant $\sqrt{2}/2$ .
    
    En tout cas, la notation \mathbb{K}[a] n'a de sens que si on est tacitement d'accord sur un sur-corps de \mathbb{K} contenant a. C'est tout mon point.
    
    Euh ben quand tu dis “je peux vous trouver une structure où $(\sqrt{2})^2 = 3$ tu dis un peu plus, non?
    
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# Jolie contrepèterie

Posté par David Tschumperlé (site web personnel) le 17 septembre 2024 à 17:05. Évalué à 5 (+3/-0).

Et bravo pour le titre de la dépêche qui est bien contrepèteriesque !

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- [^] # Re: Jolie contrepèterie
  
  Posté par Dring le 18 septembre 2024 à 20:29. Évalué à 5 (+3/-0).
  
  Au secours, je l'ai pas ! Quelle contrepèterie ?
  
  Répondre
  - [^] # Re: Jolie contrepèterie
    
    Posté par David Tschumperlé (site web personnel) le 18 septembre 2024 à 23:17. Évalué à 2 (+0/-0).
    
    Perso, j'ai interprété comme ceci "Y a le Frido qu'est là" -> "Y a le Frida Kehlo", qui est presque "Frida Kahlo" (https://fr.wikipedia.org/wiki/Frida_Kahlo).
    Mais peut-être que j'ai eu un peu trop d'imagination sur le coup :)
    
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