danarmk a écrit 44 commentaires

Celui de XKCD

Pour info, une (vidéo-)conférence, en anglais, à propos de la pandémie en cours et de sa modélisation, par un chercheur sur le sujet : https://www.youtube.com/watch?v=MZ957qhzcjI

Je ne me risquerai pas à résumer cette conférence ; je risquerai de sur-interpréter et de dénaturer les propos de l'orateur, et je n'ai pas envie de dire de trucs faux. Je vous laisse donc regarder.

Ce que tu dis est à mon avis incroyablement important. Je ne peux pas le pertinenter assez.

Sans prétendre être expert, j'ai l'impression que certains procédés rhétoriques peu solides sont employés, par exemple, aussi bien par les climatosceptiques que par ceux qui voudraient interdire les pesticides. Quelques exemples :

• Présenter que son opinion est la bonne parce que 350 scientifiques ont signés une tribune qui l'affirme. Sauf que parmi ces 350 personnes, 250 ne sont pas scientifiques, 95 ne travaillent pas dans le domaine concerné, et les 5 derniers ont un point de vue minoritaire.
• Une fois présenté des arguments auxquels on ne peut pas répondre, changer de sujet, ou prétendre qu'on ne fait que poser des questions. "(Après une discussion sur la température moyenne) Comment tu expliques que les modèles climatiques aient tort, alors ?" "(Après une discussion sur les risques de cancer) Nan, mais ce qui est important aussi, c'est la dégradation des sols."
• Demander des preuves absolues à ceux qui nous contredisent, mais la moindre hypothèse allant dans l'autre sens est immédiatement acceptée. "Comment expliquer un hiver aussi froid s'il y a du réchauffement climatique ? C'est bien que le monde se refroidit." "On n'est pas sûr à 100% que les pesticides ne sont pas dangereux, il faut appliquer le principe de précaution."
• Affirmer quelque chose sans avoir vérifié si des études existent déjà qui contrediraient l'affirmation. "Le réchauffement climatique c'est à cause du soleil." "L'augmentation du nombre de cancer est due aux pesticides."
• Accuser les études contredisant ses opinions de conflit d'intérêt, sans avoir le même niveau d'exigence pour les études confirmant ses opinions. "Les climato-alarmistes ne sont là que pour ramasser les subventions du gouvernement. Voici une étude bien plus solide (financée par les pétroliers mais ça on le dit pas)." "Ces études pro-pesticides sont financées par l'industrie agro-alimentaire. Voici une étude bien plus solide (financée par les distributeurs vendant du bio, mais ça on le dit pas)."
• Dans le point précédent, un conflit d’intérêts peut être remplacée par une hypothèse de conflit d'intérêts ("je parie que c'est bigtruc qui a financé cette étude"). Et on affirme que les autres études qui confirment ses opinions sont plus solides, mais sans le justifier.

Et dans tous les cas, une mauvaise connaissance de la méthode scientifique et du monde académique.

Comme je l'ai dit, je ne suis pas expert, peut-être que je me trompe, et mes opinions sont susceptibles de changer (ça s'est déjà produit, à différentes échelles). Peut-être ai-je tort de penser que les pesticides, utilisés conformément aux recommandations des agences sanitaires, ne posent pas de risques important. Peut-être suis-je tombé dans le panneau de mauvais arguments, qui ne sont en aucun cas exclusifs à un côté. Mais ce n'est pas quelqu'un utilisant la rhétorique d'au dessus qui me convaincra.

Mais est-ce que le code C en question est écrit directement par des humains ? Il me semblait qu'il était généré à partir de langages de plus haut niveaux, comme SCADE, et puis relu après.

Je me trompe ?

Quelques corrections :
-Les quelques centièmes de pourcents de CO2 dans l'atmosphère ont un impact considérable, et sont la cause du réchauffement planétaire de 1°C par rapport à la période industrielle, ce qui à son tour cause de nombreux impacts sur la fréquences/intensité des phénomènes météorologique et sur les écosystèmes
-En particulier, la sécheresse actuelle aurait été moins probable sans réchauffement climatique. Cette sécheresse est la cause de conditions favorables à la propagation incontrôlée des incendies.

Au passage, l'article que tu cite est écrit par un climato-sceptique notoire, et comporte plusieurs erreurs grossières. Rien que faire la liste des arguments moisis de cet article prendrait bien une heure.

Il y a des sous-titres pour la voix du narrateur mais parfois c'est un peu chaud à lire quand tu es dans l'action et ils n'y a pas moyen de les mettre en pause.

Il est vrai que je ne l'avais pas relancé depuis que je l'ai fini… Mes souvenirs ne sont peut-être plus tout à fait exacts. Pour la langue, je m'étais fié à la page Steam. En relançant le jeu (heureusement, il n'est pas très long à télécharger) je ne trouve pas l'option pour changer la langue. Est-ce spécifique à une plateforme ?

J'en profite pour mentionner quelques autres jeux (je ne sais pas comment j'ai pu les oublier) :
- Untitled Goose Game : on joue une oie qui emmerde tout le monde. C'est un jeu d'infiltration avec beaucoup de possibilité d'expérimentation. Au delà du phénomène internet que le jeu est devenu, il a probablement un bon potentiel avec des enfants.
- The Witness : jeu de puzzle fantastique. Un coup de génie de game design. Le jeu nous apprend les règles sans tutoriel, et développe un propos à partir de ça. Entre autres interprétations, le jeu nous pousse à nous demander ce qu'est une connaissance. Bon, il est quand même un peu austère, et parfois un peu pompeux.
- Linelight : autre jeu de puzzle sympathique.

De souvenir il y a tout de même des trucs à collecter mais c'est un objet par niveau difficile à atteindre pour faire le 100%. Après c'est clairement pas un jeu à patounes.

Ah, les jeux à patounes… Depuis que j'ai laissé tomber ce type de jeux, ainsi que les jeux à grinding, je me porte beaucoup mieux :)

Voici quelques jeux sans combat que j'ai personnellement appréciés. Certains ont occasionnellement des ennemis (mais on ne peut que les éviter, pas les combattre).

En jeux d'aventure :
- Outer Wilds : jeu d'exploration avec quelques aspects puzzle, sans combat (il y a juste une planète où il y a quelques ennemis à éviter, mais toujours sans combat ; c'est plus un puzzle qu'autre chose). Traduit en français, mais sans doublage, donc pas mal de textes. Dure aux alentours de 10-15h pour la plupart des joueurs, donc probablement un peu plus pour des enfants. Si la fin est un peu douce-amère, le reste du jeu a un ton assez léger, avec pas mal de pointes d'humour. La maniabilité de la fusée est un peu étrange, mais tu peux éventuellement prendre la manette pour les quelques manœuvres les plus complexes.
- Journey : une petite aventure paisible de 3-4h. À nouveau quelques ennemis à éviter dans 2 niveaux, mais toujours sans combat (et sans réelle pénalité sans on se fait quand même attraper).
- Pyre : une sorte de mix entre un visual novel et un jeu de basket en équipe de 3. A pour lui son histoire, qui traite principalement de liberté. Un peu doux-amère également, mais a un ton globalement léger, beaucoup d'humour aussi.

En jeux de plateforme :
- Gris : très paisible, très joli, 3-4h (dans mes souvenirs).
- Celeste : peut-être un peu plus stressant sur les niveaux 2, 5 et 6, mais autrement un jeu de plateforme assez pur, et somme toute paisible (en dehors des niveaux cités). Il est difficile, mais le mode assist devrait le ramener à un niveau de difficulté raisonnable.
- Thomas was alone : malheureusement en anglais uniquement, sinon, il aurait été presque parfait pour ta description (pas de trucs à collecter, cela dit).

Quelques jeux de puzzle, quoiqu'ils soient peut-être un peu durs pour des enfants (je te laisse juger) :
- Antichamber : jeu de puzzle à la troisième personne. Assez abstrait, joue beaucoup avec des espaces impossibles.
- Gorogoa : jeu de puzzle jouant sur des manipulations d'image afin de permettre au personnage de se déplacer.
- Baba is you : jeu ou les règles de chaque niveau sont des blocs avec lesquels on peut interagir, et donc les modifier. Malheureusement uniquement en anglais, mais peut-être est-il possible de s'en sortir si tu traduis (je te lisse regarder et juger).
- Opus Magnum : puisque tu parles de programmation pour plus tard, voici un jeu de puzzle déguisé en jeu de programmation visuelle (à moins que ça soit l'inverse). Voir aussi les autres jeux de Zachtronics, mais Opus Magnum est le seul qui est traduit en français.
- Human resource machine : un autre jeu de programmation.

Vu qu'on est sur LinuxFR, je crois être contractuellement obligé de m'excuser que rien dans cette liste n'est libre. Désolé aux familles, toussa :) .

La limite suivant le filtre des voisinages est effectivement la limite pointée. Et la limite suivant le filtre des voisinages de x épointée est la limite épointée (pour peu que ça soit effectivement un voisinage, c'est-à-dire lorsque x est un point d'accumulation).

C'est l'avantage des filtres : on a toute les notions de limites d'un coup. Limite pointée, limite épointée, limite à gauche, à droite, en haut, en l'infini, limite d'une suite, et d'autres encore.

Un autre avantage des filtres est que certaines démonstrations sont beaucoup plus simples avec. Je pense au théorème de Tychonoff et à l'existence des mesures de Haar.

En gros : si j'enseigne un jour la topologie, je parle de filtres.

Dans le cas d'une thèse, c'est la limite épointé sans débat possible. Tu t'adresse à la communauté internationale, et dans la communauté de la recherche, la question n'existe même pas vaguement.

Je ne suis pas d'accord avec toi, parce que, comme je l'ai dit, il n'y a ambiguïté que dans les cas où parler de limite n'est en fait pas intéressant. Donc dire "c'est la limite épointée et pas l'autre" n'a pas de sens, puisque c'est alors la même chose ! Pourquoi parler en termes aussi absolus alors que, dans les cas intéressants, c'est la même chose ?

Si jamais il y a ambiguïté, je le préciserais, en adoptant une terminologie non-équivoque. Comme ça, même les français comprendront, ce qui est encore mieux.

(Au passage, ma thèse est rédigée en français, mais on peut dire qu'on parle des articles que j'ai écrits.)

signifie que tu dois utiliser la limite épointée. C'est ce à quoi s'attend le lecteur. Et même pire : le lecteur n'a même jamais entendu parler qu'il y avait un débat à ce niveau.

Non, le plus clair est de préciser, puisque si les non-français s'attendent à une limite épointée, les français s'attendent eux à une limite pointée. Si tu importes unilatéralement des usages, les autres français ne comprendront pas.

Ah, tant que j'y suis, il y a la même chose pour "compact". Partout sauf en France, "compact" signifie "peut extraire un sous-recouvrement fini de tout recouvrement par des ouverts". Un compact peut être non séparé.

Effectivement, et il y a d'autres exemples. Par exemple croissant/nondecreasing. Ou les corps qui, dans certains cours, sont commutatifs. Ce n'est pas un problème de maths, c'est un problème de traduction. On traduit "compact" par "Hausdorff compact" dans un sens et par "quasi-compact" dans l'autre. On doit de toute façon apprendre la traduction de tout le jargon qu'on emploie, ce n'est pas différent. Et on peut aussi mentionner les noms de théorèmes qui ne sont pas les mêmes d'un pays à l'autre.

Chaque langage a ses habitudes et usages pour les noms. C'est comme ça, c'est pas grave. Lorsqu'on s'approche de la recherche, on l'apprend et on s'adapte. De même façon qu'on apprend le reste du jargon en anglais. C'est pareil pour tous les pays (même si la France semble plus impactée). Ces histoires de limites ne sont qu'un exemple de plus à cette liste.

Enfin, je le répète : la seule vraie notion de limite est celle de limite suivant un filtre. En recherche, le débat pointée/épointée ne se pose pas, pas parce que "c'est l'un et pas l'autre", mais parce qu'aucunes des deux notions n'est la bonne.

Sauf en enseignement, où on ne va pas enseigner les filtres, en L1 en tout cas. Là, la question est aussi inconséquente, puisque les étudiants devront apprendre les filtres ensuite.

Je vais donner mon point de vue de thésard en analyse. Je préfère la définition "pointée", un peu par habitude (c'est la définition de la prépa), mais aussi parce qu'en fait, ce n'est pas important (pour un chercheur).

Si on prend une fonction et ,
- la définition "épointée" de "f a une limite en x$ est en fait un cas particulier de la définition "pointée" : il suffit de restreindre le domaine de f à et on retrouve la définition "épointée". Dans l'autre sens, il faut faire des circonlocutions.
- dans un article, il est de toute façon préférable d'être le plus clair possible. En particulier, si f est continue en x, j'écrirais "f est continue en x" et pas "f admet une limite en x", même si c'est la même chose avec ma définition. Inversement, si f n'est pas continue mais admet une limite "épointée", je le préciserais d'une manière ou d'une autre, probablement en disant .
- de manière générale, je n'ai pas rencontré dans ma recherche de situation où cette distinction avait une importance. Mais peut-être est-ce parce que je suis dans un domaine où ces questions n'apparaissent pas, et que la situation est différente dans d'autres domaines ? Si on me donne un article où ceci est important, je peux changer d'avis. Mais en attendant, je considèrerais que la définition "française" est tout aussi bonne que la définition "épointée".

Dit autrement, en recherche, de ce que j'ai pu voir, cette question n'a pas d'importance. Et comme la définition "pointée" en plus générale en jouant avec le domaine de départ, je la préfère. Un aspect qui pourrait me faire pencher pour une définition ou une autre est d'ordre pédagogique pendant mes enseignements : quelle est la définition avec laquelle les élèves s'en sortent le mieux ? Je serais intéressé par des études pédagogiques sur ce sujet, qui compare les performances des élèves dans les deux cas. Y en-a-t-il ? Lors de mes recherches (sur Google, pas mes recherches en maths) je n'en ai pas trouvé. Mais je ne suis pas un bon chercheur, alors… (recherche sur Google, pas mes recherches en maths, enfin je crois).

On pourrait aussi invoquer des raisons foireuses à base d'esthétique : la définition "pointée" me semble plus naturelle à définir, surtout dans les espaces topologiques où les voisinages épointés ne sont pas des objets naturels. Mais je suis assez lucide pour me rendre compte que c'est certainement une rationalisation de mon habitude, et pas un argument sérieux.

PS 1 : de toute façon, la seule vraie façon de parler de limite, c'est les filtres (ou les suites généralisées pour les personnes qui n'aiment pas l'abstraction). Quelqu'un de motivé pour enseigner ça en L1 ?

PS 2 : désolé de t'avoir laissé en plan pour les problèmes de topologie des fonctions tests. Après avoir échoué à compiler, ça m'a découragé, puis je me suis retrouvé dans le rush de fin de thèse. Qui sait, peut-être que je reviendrais dessus après ma soutenance ?

Cette norme me parait, à vue de nez, dépassée. L'éminent Collège de Pataphysique a fait un travail bien plus complet, que je vous propose de consulter ici : Manifeste pour la réhabilitation du pavillon des poids et mesures.

(Plus sérieusement, je ne connaissais pas cette "norme", j'ai bien rigolé.)

Est-ce qu'on sait démanteler les réacteurs nucléaires ? Les États-unis l'ont déjà fait : centrale de Maine-Yankee, de technologie similaire à celle des centrales française.

Quand EDF répercutera-t'il le coût de démantèlement ? Il le fait déjà, en provisionnant de l'argent pour les futurs démantèlements. Le fait-il assez ? Ça j'en sais rien.

Ça m'a pris 3 minutes de recherche sur Wikipédia. Je laisse les lecteurs plus intéressés que moi vérifier plus en détail les sources, je leur fait confiance pour signaler les éventuels problèmes avec celles-ci.

Est-ce si difficile à lire ? Je ne milite pas spécialement pour l'emploi de l'écriture inclusive, mais je n'ai personnellement pas de difficulté à la lire. Mon approche est que ce n'est que de la forme, et qu'en s'intéressant avant tout aux informations et aux idées, je peux passer outre des aspect peu pertinents. Ceci s'applique aussi aux fautes d'orthographes ou de grammaire, et à certains emplois ou néologismes non standards : sauf profusion ou cas particulier, un faible nombre d'erreurs ne m'empêche pas de comprendre.

De coup, je me pose la question : suis-je si spécial à considérer l'écriture inclusive comme un détail de forme inconséquent pour la compréhension, ou est-ce qu'elle gêne vraiment la transmission des idées au delà d'une réaction de résistance au changement ? (Vraie question)

C'est dû à un bug de la bibliothèque utilisée par Matrix pour parser les adresses e-mail : elle supprime tout ce qui est derrière un deuxième @. Il y a plus d'explications (et peut-être plus justes) sur le twitter de Eliot Alderson.

Le résultat est que Tchap pense que l'e-mail est en presidence@elysee.fr, et autorise donc la création de compte. Mais l'e-mail de création de compte est envoyé où on veut (là où le parser d'adresse e-mail comprend l'e-mail).

EDIT : grillé.

Je te suggérerais de demander à ton médecin quel est l'état des connaissances sur ces traitements, et de donner des références des études (si possible méta-analyses). Sauf à penser que la majorité des scientifiques sont des vendus, les études sont faites pour se baser sur plusieurs cas, et ne pas sélectionner quelques cas exceptionnels, piège dans lequel il est si facile de tomber. En gros, on évite le "je connais quelqu'un sur qui ça a très bien marché, fonce !" ainsi que le "je connais quelqu'un qui a reperdu sa vision 2 mois après, ça ne sert à rien".

Par exemple, si je cherche "lasik meta analysis hyperopia" dans google scholar, je peux trouver:
-Excimer laser treatment of spherical hyperopia: PRK or LASIK?
"At 1 year, 83.3% of PRK eyes and 61.5% of hyperopic LASIK eyes were within +/- 0.50 D of intended correction"

-Photorefractive keratectomy (PRK) versus laser assisted in situ keratomileusis (LASIK) for hyperopia correction
"No robust, reliable conclusions could be reached, but the non-randomised trials reviewed appear to be in agreement that hyperopic-PRK and hyperopic-LASIK are of comparable efficacy. High quality, well-planned open RCTs are needed in order to obtain a robust clinical evidence base."

Et enfin, puisque je ne suis pas médecin, et suis donc incapable de juger la rigueur ou la représentativité de ces études, fait plus confiance à ton médecin, qui pourra mieux juger la balance bénéfice/risque :) (est-ce qu'une si faible hypermétropie, qui sera probablement bientôt suivie d'une presbytie, justifie le risque une opération ?)

Il ne s'agit pas de prendre en otage : une fois une faille découverte, on averti les développeurs concernés, mais pas tout de suite le grand public, afin de laisser le temps aux développeurs de corriger le problème. Ensuite, ou si les développeurs trainent des pieds, on averti tout le monde. Si on avertissait tout le monde dès le début, on prendrait le risque que des personnes mal intentionnées utilisent cette faille, et comme il n'existerait pas encore de correctif, ils auraient la porte grande ouverte.

Ça s'appelle la divulgation responsable, et c'est une pratique standard lors de la découverte de failles ; voir par exemple Responsible disclosure ou Rebooting Responsible Disclosure: a focus on protecting end users

Je laisse des personnes qui savent réellement de quoi elles parlent donner plus de détails :p

Je ne connais rien aux quaternions, donc je vais être obligé de laisser de côté toute cette partie de ta question :( .

Pour la suite, je ne suis pas expert non plus en interpolation, donc si une personne mieux informée que moi passe derrière, c'est elle qui faut croire.

"Est-ce qu'une image pourrait être considéré comme une fonction holomorphe d'un plan ?" Si on parle d'un signal 2D continu (analogique, si tu préfères), alors non. À moins que ton signal soit, par le plus grand des miracles, déjà holomorphe : si une suite de fonction holomorphe converge vers une fonction f, alors f est aussi holomorphe (je passe les détails techniques sur ce que veut dire "converge"). Et les fonctions holomorphes, il n'y en a pas beaucoup. Par exemple, il n'y a qu'une seule "image holomorphe" avec des bords noirs, à savoir l'image complètement noire (c'est le principe du maximum pour les fonctions holomorphes).

En revanche, si on parle d'un signal 2D échantillonné (une image formée de pixels, quoi), on peut toujours trouver une fonction holomorphe qui à les valeurs qu'on veut sur un nombre fini de points (ici sur les pixels). On peut même trouver un tel polynôme (voir par exemple les polynômes interpolateurs de Lagrange). En revanche, trouver une telle fonction qui ne fait pas n'importe quoi en dehors des pixels est une autre paire de manche. En cherchant un peu, j'ai quand même trouvé une méthode de compression qui se base sur ce genre d'idée, et sur la théorème important qui dit qu'il suffit de connaitre les valeurs d'une fonction holomorphe sur une courbe fermée (par exemple, un cercle) pour connaitre la fonction partout, et donne une formule explicite pour ça (c'est la formule intégrale de Cauchy). Mais l'article n'est pas en libre accès et ils ont obtenu un brevet aux USA dessus. Si vous voulez mon avis, on n'est pas très loin d'un brevet sur les mathématiques (grrr).

Voilà l'article, si quelqu'un qui a un accès à un réseau universitaire veut le lire : 2-D Signal Representation, Interpolation, and a New Approach to Compression

Lorsque tu parles de "polynômes de complexes", tu parles bien de polynômes de à coefficients complexes et à variable complexe ? Je vais supposer que oui. Je ne sais pas sur quels types de propriétés tu t'interroges, mais en voici quelques unes (tu dois probablement en connaitre quelques-unes) :

-Tout polynômes non constant admet une racine (théorème fondamental de l'algèbre, aussi appelé théorème de D'Alembert-Gauss)
-Il n'est pas vrai que si x1 et x2 sont deux racines réelles de P, la dérivée P' de P admet une racine entre x1 et x2, alors que c'est vrai pour les polynômes réels (théorème de Rolle). Il existe cependant une propriété un peu différente qui est vraie pour les polynômes complexes (théorème de Gauss-Lucas)
-Pour en venir aux approximations, puisque c'est ce qui semble t'intéresser, il n'est pas vrai qu'on puisse approcher toute fonction continue par un polynômes (alors que ça l'est dans le cas réel, théorème d'approximation de Weierstrass). Les fonctions que l'on peut approcher par des polynômes complexes sont les fonctions holomorphes (théorème de Runge). les fonctions holomorphes sont les fonctions qui peut dériver par rapport à la variable complexe, propriété qui est extrêmement rigide ; par exemple, une fonction holomorphe, donc a priori dérivable seulement une fois, l'est en fait forcément une infinité de fois. Aussi, deux fonctions holomorphes qui sont égales sur un segment, sont en fait égales partout.

Voilà, je ne suis pas spécialiste de ce genre de question, mais j'espère t'avoir donné deux-trois idées.

Bonne initiative de faire un livre libre en math, bravo à toi.

En parcourant le livre, je vois que tu poses quelques questions, voici quelques réponses ou remarques à quelques unes d'entre elles. J'ai une certaine tendance à faire des démonstrations par intimidation à moi-même, c'est donc à prendre avec quelques pincettes, mais si ça peut aider… je me crée un compte linuxfr rien que pour ça, tiens.

Question 7 : u est bien sûr  ; je ne fais que spéculer car je n'ai pas lu le document auquel tu fais référence, mais il est possible qu'il indique car c'est dans la définition de solution d'équation différentielle d'ordre 2.

Question 8 : Oui, on peut échanger l'intégrale. En parcourant la démonstration en rapport avec cette question, il me semble que tu en fais d'ailleurs presque la démonstration sans t'en rendre compte : la formule de Hölder implique (j'utilise pour désigner la mesure de Lebesgue ; je n'ai pas lu suffisamment le livre pour voir la notation que tu emploies), ce qui implique que est une forme linéaire sur , bien définie d'une part, mais également continue. Donc si converge dans vers , converge vers .

Question 9 : La mesure de Lebesgue n'ayant pas d'atome, ces espaces sont bien égaux, ou plus précisément, on peut les identifier. Tu as donné l'identification entre et  ; pour identifier aux deux autres espaces, il faut identifier (tu t'en doutes certainement) à via l'exponentielle. Je ne sais pas si ça répond à tes exigences de précisions, mais en tout cas, je n'ai aucun doute sur la véracité de la chose. Ou alors je pense que je peux trouver plein d'articles qui tombent à l'eau.

Question 12 : je n'ai pas lu les démonstrations en questions, mais pour un traitement précis de la topologie de et , je recommande si tu ne l'as pas déjà lu, "Functional Analysis" de Rudin. Il n'est plus en stock nul part ni édité par qui que ce soit, mais il doit bien être dans une bibliothèque de math ou trouvable en scan sur internet.

Question 18 : on peut utiliser les théorèmes de Fubini sur les mesures produits ; une somme infinie (sauf cas semi-convergent) n'est rien d'autre que l'intégrale selon la mesure de comptage, qui est bien -finie. J'ai un peu la flegme d'écrire les détails ici, mais si tu en as besoin de plus, je ferais un effort.

Question 21 : je ne me prononcerais pas complètement dessus (pas ma spécialité), mais les démonstrations via les ordinaux font souvent implicitement utilisation du théorème de Zermelo, équivalent à l'axiome du choix. De plus, je doute qu'il soit possible d'exhiber une telle partie sans l'axiome du choix, ou une version affaiblie. Peut-être (je dis bien peut-être) que la réponse à tout ça est quelque part sur le blog de Terrence Tao. Tout ceci est à prendre avec encore plus de pincettes que le reste.

Question 27 : le fait que pour tout il existe un entier tel que si et sont supérieurs à , alors est la définition d'une suite de Cauchy dans une espace métrique (ou, si on part des d'espaces uniformes, une conséquence de la définition de la structure uniforme définie par une distance). Tu le sais probablement, mais il faut bien faire attention au fait que deux distances peuvent définir la même topologie, mais ne pas avoir les même suites de Cauchy ; une peut-être complète mais pas l'autre, par exemple.

Voilà, c'est à peu près tout. Désolé si jamais j'ai effectivement fait une démonstration par intimidation, ou si j'ai répondu à côté de la plaque, mais j'espère que ça peut aider. Si je ne répond que en analyse, c'est parce que je suis spécialisé en analyse, et que mes souvenirs de prépa et des quelques cours en algèbre que j'ai eu après ne suffisent pas à piger grand chose du reste.

Et encore bravo pour ton travail ! Si je suis motivé, peut-être que je relirais quelques démonstrations.