kantien a écrit 1131 commentaires

Ce qui m'intéresse c'est la vérité mathématique et pas la vérité IEEE.

La norme IEEE-754 respecte très bien la vérité mathématique, mais j'y reviendrais après.

Pour contextualiser un peu, j'en suis venu récemment à python (puis ce "problème") parce que Python va être enseigné de plus en plus en lycée. Bon, bah c'est simple : "Madame/Monsieur, votre truc marche pas, il ne sait pas calculer (calculs habituels décimaux) aussi bien que ma calculatrice"

Bien au contraire ! C'est un très bon prétexte pour leur faire travailler leurs mathématiques. :-)

Je m'explique en illustrant par une approche possible (je ne suis pas là pour produire du matériel d'enseignement) en partant de ce que les élèves maîtrisent bien : la base 10 (et c'est cela qui choque dans l'exemple du journal).

>>> import decimal
>>> D = decimal.Decimal
>>> ctx = decimal.getcontext()
>>> ctx.prec = 3

Là je ne fais que charger de quoi travailler avec des nombres flottants en base 10 : des décimaux, en somme; et je fixe une précision assez basse pour avoir de petits nombres.

>>> un, deux, trois = D(1), D(2), D(3)
>>> un / trois
Decimal('0.333')
>>> deux * (un / trois)
Decimal('0.666')
>>> deux / trois
Decimal('0.667')

Hop, on définit les nombres 1, 2, 3 et on fait quelques calculs avec. On voit un peu à quoi correspondait le ctx.prec = 3 de tout à l'heure (pour l'instant, c'est le chiffre de nombre après la virgule). Le résultat de la première opération doit être familière à tout lycéen : il sait que si l'on divise 1 par 3, il aura une infinité de 3 après la virgule et là il n'en garde que trois.

Pour la seconde opération, il sait très bien que 2 * 333 = 666 d'où 2 * 0.333 = 0.666. La fraction a était approximée avant la multiplication, mais ensuite le calcul de celle-ci est on ne peut plus conforme à la « vérité mathématique » (qui te tient tant à cœur). En revanche si l'on pratique directement la division de 2 par 3, puis que l'on approxime au plus proche en ne conservant que trois chiffres après la virgule, on obtient un autre résultat, à savoir 0.667.

On peut continuer et montrer quelques « étrangetés » (qui n'en seront sans doute pas pour des lycéens) du calcul selon les règles strictes de l'arithmétique mais avec des arrondis.

>>> un / trois + un / trois + un / trois
Decimal('0.999')
>>> trois * (un / trois)
Decimal('0.999')
>>> un /trois + deux / trois
Decimal('1.00')

Et là c'est tout à fait compréhensible. Selon les règles strictes de l'arithmétique, on a bien 333 + 333 + 333 = 3 * 333 = 999. Et pour le dernier, on a bien 333 + 667 = 1000 ou dans notre cas 0.333 + 0.667 = 1.000, mais comme la précision est de 3 il n'affiche que 1.00. En fait la précision c'est la taille de la mantisse, c'est à dire que le nombre est vu comme , là où un /trois est vu comme .

Illustration du changement de précision :

>>> D(2128) / trois
Decimal('709')
>>> ctx.prec = 5
>>> D(2128) / trois
Decimal('709.33')

Il me semble bien que tout ce qui précède est largement accessible à des lycéens. Il suffit ensuite de développer la chose en leur expliquant que le même genre de phénomène se produit si l'on prend une base 2 au lieu d'une base 10, et que c'est dans cette base que travaille python par défaut.

>>> trois * (un / trois) - un / trois - deux / trois
Decimal('-0.00001')
>>> 2.0 - 1.8 - 0.2
-5.551115123125783e-17

Les deux « erreurs » de calcul relèvent des mêmes principes mathématiques mais dans deux bases distinctes.

Pour revenir, et conclure, sur cette histoire de standard IEEE. Le calcul flottant en base 2 a été normalisé en 1985 sous le nom de standard IEEE-7554. En 2008, y a été ajouté une normalisation de la base 10 (utilisée ici par Python), et j'avais donné plus haut le lien vers la page de l'ingénieur IBM qui s'en est occupé. Python datant de 1990, les matériels ayant implanté le standard de 1985 dans leur FPU, on peut comprendre pourquoi, par défaut, ce langage utilise la base 2 et non la base 10.

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

Je comprends que l'ambiance se dégrade très vite ici.

Il n'y avait aucune agressivité dans mon commentaire, je ne faisais que résumer ce qui a été dit mainte et mainte fois au cours du fil.

contexte mathématique numérique théorique et donc justement pas en implémentations informatiques "biaisées"
Donc, dans les bouquins de mathématiques, (une fraction x - une fraction x) = 0 , (un complexe x - un complexe x) = 0, et même (un ensemble x - un ensemble x) c'est l'ensemble vide (i.e. le "0" des ensembles).

Oui, et cela est vrai même en arithmétique flottante quelque soit la base x - x vaut toujours 0, même en informatique « biaisée ».

oui également, Decimal est effectivement un moyen de cacher/surcharger/contourner ce qui "tracasse"

Non, c'est juste le moyen d'avoir accès à de l'arithmétique flottante en base 10, qui est celle que l'on a apprise au primaire. Par défaut les littéraux flottants sont calculés en base 2 en Python (comme dans de nombreux langage). Tu peux toujours utiliser Haskell si tu veux du polymorphisme ad-hoc sur les littéraux flottants.

le langage de Google, Go qui semble se comporter comme souhaité. (confirmation/infirmation ?)

Infirmation ;-)

package main

import "fmt"

func main() {
    fmt.Println(0.6 - 0.4 - 0.2)
    fmt.Println(2.0 - 1.8 - 0.2)
}

renvoie

1.8645851828000517e-155
5.593755548400155e-155

Voir la référence sur les constantes en Go.

Fin, bref, ça tourne en rond, pour rien.

Je ne te le fais pas dire. ;-)

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

corollaire : dans quel contexte mathématique numérique théorique, x - x n'est pas zéro… ?

Dans aucun, même dans l'arithmétique flottante en base 2 (en excluant les infinis, bien sûr ;-).

>>> 0.2 - 0.2
0.0

Le principe de l'arithmétique flottante est de traiter des nombres de la forme :

Ce qu'il y a c'est que par défaut, python utilise la base 2 pour traiter les nombres à virgules, conformément à la norme IEEE-754, et que certains nombres décimaux ne sont pas représentables de manière finie dans une telle base (comme 0.2). Néanmoins cette norme a été révisée en 2008 pour y inclure également l'arithmétique flottante en base 10 (ce qu'implémente le module decimal de python) mais elle ne bénéficie pas d'accélération matériel (sauf chez des processeurs utilisés en autres dans la finance : SPARC64, POWER PC (Power 6), IBM System Z9).

En gros on nous explique que pour avoir les performances d'un avion de chasse, on ne pourrait plus voler comme un avion de lignes intérieures…

Non, on te dit d'utiliser le module decimal, il est fait pour cela. ;-)

Cela étant, en base 10 tu auras des problèmes similaires de nombres non représentables, et même en base 2 il faut juste savoir écrire ses opérations :

>>> 2.0 - (1.8 +0.2)
0.0

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

c'est possible, et ça prend pas x50 tellement Python il est mauvais niveau perfos

Tu verras une différence de perfo de l'ordre de x50 lorsque ta boucle python devra faire, à chaque tour, disons une dizaine d'appels à la lib C decimal, c'est à dire quand le coût de la boucle python sera devenue négligeable. Le bench qui consistait à n'exécuter qu'un appel à une lib C ne permet pas de mesurer ce qu'on souhaite mais plutôt le coût de la boucle python.

Rien n'est moins sûr. Le modèle d'exécution de python est bien différent de celui du C.

cat << EOF > /tmp/test_dec.py
> from decimal import Decimal as D
> a, mul = D('1.01'), D('1.000001')
> for i in range(0, 100):
> EOF

cat << EOF > /tmp/test_float.py
>a, mul = 1.01, 1.000001
>for i in range(0, 100):
>EOF

for i in `seq 10000`
> do echo "  a *= mul" >> /tmp/test_dec.py 
> echo "  a *= mul" >> /tmp/test_float.py 
> done

Là, je fais 100 boucles avec 10_000 multiplication par boucles.

time python3 -c "for i in range(0, 100): pass";
time python3 /tmp/test_dec.py ;
time python3 /tmp/test_float.py 

real    0m0,026s
user    0m0,016s
sys     0m0,012s

real    0m0,344s
user    0m0,268s
sys     0m0,032s

real    0m0,178s
user    0m0,172s
sys     0m0,004s

Le temps de la boucle est négligeable et le facteur est toujours de 2.

Python 3.5.3 (default, Jan 19 2017, 14:11:04) 
[GCC 6.3.0 20170118] on linux
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> (0.344 - 0.026) / (0.178 - 0.026)
2.0921052631578942

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

Arthur n'a pas tort, le ton est monté inutilement et je te trouve bien agressif également dans ta manière d'intervenir (depuis un moment déjà dans ce journal).

Je pense n'avoir rien à apprendre en mathématique de ta part (peut être en analyse numérique, mais c'est vraiment un domaine qui ne m'a jamais passionné, je trouve cela ennuyeux à mourir), et déjà sur le journal de Blackknight sur le décalage de 64 bits, tu avais tendance à monter sur tes grands chevaux. J'avais tenter, sans succès, de désamorcer la chose par l'humour avec Homer et sa théorie de l'univers en forme de beignet, pour la simple raison que quand je multiplie deux cercles j'obtiens un beignet (la géométrie algébrique, c'est bon mangez-en :-). Et c'est cette structure géométrique (le beignet) qui m'avais permis d'identifier les points pathologiques dans la plupart des langages qui ont fait ce choix (plutôt que le cylindre, produit d'un cercle par un segment, comme Ada) pour des raison de performances sur les X86 (ça évite des tests dynamiques à l'exécution). ;-)

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

Il doit y avoir une erreur dans ton installation de python. Là tu nous sors l'implémentation en pure python, là où normalement tu devrais avoir une implémentation en C du module. Que te réponds cette commande :

>>> decimal.__libmpdec_version__
'2.4.2'

Ça reste moins performant que des float (ce qui était prévisible) mais pas dans de telle proportion. Pour un comparatif avec des benchs plus précis, voir le site de libmpdec (c'est plutôt du simple au double pour les opérations de bases : addition, multiplication, division).

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

$ time ./bench_dec.py 

real    0m0,106s
user    0m0,100s
sys 0m0,004s

$ time ./bench_float.py 

real    0m0,076s
user    0m0,076s
sys 0m0,000s

faut lancer le script en direct via le shebang #!/usr/bin/python3, sinon :

$ time python bench_dec.py

real    0m5,051s
user    0m5,044s
sys 0m0,000s

;-)

Le calcul en décimal est performant (c'est assez normal), mais son usage me semble toujours bien limité pour en faire le comportement par défaut. Il ferait mieux d'ajouter une syntaxe particulière de littéraux pour eux, que d'en faire la solution par défaut et de rajouter des testes dynamiques pour savoir s'il faut changer de représentation (ce qui dégraderait encore plus les performances).

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

Par contre on peut pas nier que le débat s'est élevé grandement. On a sorti perl et python et on fait des essais.

Ça dépend du point de vue, pour moi le débat a régressé. Il n'était nul besoin de sortir perl ou python pour constater les résultats : les tests montrent juste ce que la théorie permettait déjà de savoir, et encore, avec des tests on ne prouve jamais autant de chose qu'avec une théorie bien faite (mais bon, malheureusement, il semblait falloir en passer par là pour te raisonner).

Ça me rappelle un ancien journal de rewind dans laquelle l'approche théorique avait été dénigrée, voire présentée comme inutile, par plus d'un intervenant. Je cite à nouveau le passage d'un ouvrage que j'avais cité à l'époque :

On appelle théorie un ensemble même de règles pratiques, lorsque ces règles sont conçues comme des principes ayant une certaine généralité, et que l'on y fait abstraction d'une foule de conditions qui pourtant exercent nécessairement de l'influence sur leur application. Réciproquement on ne donne pas le nom de pratique à toute espèce d'œuvre, mais seulement à la poursuite d'un but, quand on le considère comme l'observation de certains principes de conduite conçue d'une manière générale.

Il est évident qu'entre la théorie et la pratique il doit y avoir encore un intermédiaire qui forme le lien et le passage de l'une à l'autre, quelque complète d'ailleurs que puisse être la théorie. En effet, au concept de l'entendement, qui contient la règle, doit se joindre un acte du Jugement par lequel le praticien dis­cerne si la règle s'applique ou non au cas présent ; et, comme on ne saurait toujours fournir au jugement des règles qui lui servent à se diriger dans ses subsomptions (puisque cela irait à l'infini), on conçoit qu'il y ait des théoriciens qui ne puissent jamais de­venir praticiens de leur vie, parce qu'ils manquent de jugement : par exemple des médecins ou des jurisconsultes, qui ont fait d'excellentes études, mais qui, lorsqu'ils ont à donner un conseil, ne savent comment s'y prendre. En revanche, chez ceux qui possèdent ce don de la nature, il peut y avoir défaut de prémisses, c'est-à-dire que la théorie peut être incomplète, car peut-être a-t-elle besoin, pour être complétée, d'essais et d'ex­périences qui restent encore à faire; c'est de là que le médecin qui sort de son école, ou l’agriculteur, ou le financier, peut et doit abstraire de nouvelles règles pour compléter sa théorie. Ce n’est pas alors la faute de la théorie, si elle n’a encore que peu de valeur pour la pratique; cela vient de qu’on n’a pas assez de théorie, de celle que l’homme aurait dû apprendre de l’expé­rience, et qui est la véritable théorie, alors même que l’on n’est pas en état de la tirer de soi-même et de l’exposer systéma­tiquement, comme un professeur, dans des propositions gé­nérales, et que par conséquent on ne saurait avoir aucune prétention au titre de médecin, d’agriculteur ou de financier théoricien. Personne ne peut donc se donner pour un pra­ticien exercé dans une science et mépriser la théorie sans faire preuve d’ignorance dans sa partie; car c’est être vraiment ignorant que de croire que l’on peut dépasser la théorie en tâ­tonnant dans la voie des essais et des expériences, sans recueil­lir certains principes (qui constituent proprement ce que l’on nomme théorie) et sans faire de tout ce travail un ensemble (qui, méthodiquement traité, prend le nom de système).

Cependant on souffrira plus patiemment encore un ignorant qui, fier de sa prétendue pratique, déclare la théorie inutile et superflue, qu’un présomptueux qui la proclame bonne pour les écoles (comme une manière d’exercer l’esprit), mais qui soutient qu’il en va tout autrement dans la pratique; que, quand on quitte l’école pour le monde, on s’aperçoit qu’on n’a poursuivi jusque-là que des idées vides et des rêves philoso­phiques; en un mot que ce qui peut être bon dans la théorie n’a aucune valeur dans la pratique. (C’est ce que l’on exprime souvent aussi de cette manière: telle ou telle proposition est bonne in thesi, mais non in hypothesi.) Or on ne ferait que rire d’un mécanicien ou d’un artilleur empirique qui trancherait sur la mécanique générale ou sur la théorie mathématique de la projection des bombes, en disant que cette théorie, si ingé­nieusement conçue qu’elle soit, ne vaut rien dans la pratique, parce que, dans l’application, l’expérience donne de tout autres résultats que la théorie. (En effet, si à la première on ajoute la théorie du frottement, et à la seconde celle de la résistance de l’air, c’est-à-dire en général plus de théorie encore, elles s’ac­corderont parfaitement avec l’expérience.) Mais autre chose est une théorie qui concerne des objets d’intuition, autre chose une théorie dont les objets ne sont représentés qu’au moyen de concepts, comme les objets mathématiques et ceux de la philosophie. Peut-être ces derniers sont-ils susceptibles d'être conçus dans toute leur perfection (du côté de la raison), mais ne le sont-ils pas d'être donnés , et n'offrent-ils ainsi que des idées vides dont on ne saurait faire dans la pratique aucun usage ou qu'un usage dangereux. Par conséquent le proverbe en question pourrait bien avoir sa vérité dans les cas de ce genre. Mais dans une théorie qui est fondée sur le concept du de­voir il n'y a plus lieu de craindre l'idéalité vide de ce concept; car ce ne serait pas un devoir de se proposer un certain effet de notre volonté, si cet effet n'était pas possible dans l'expé­rience (quelque parfaite ou quelque rapprochée de la perfec­tion qu'on pût la concevoir). Or il n'est question dans le présent traité que de cette espèce de théorie.Il n'est pas rare d'en­tendre soutenir, au grand scandale de la philosophie, que ce qu'elle peut avoir d'exact ne vaut rien dans la pratique ; on dit cela sur un ton fort dédaigneux, en affichant la prétention de réformer la raison par l'expérience, même dans ce qui fait son principal titre de gloire, et en se flattant de voir plus loin et plus sûrement avec des yeux de taupe cloués sur la terre qu'avec ceux d'un être fait pour se tenir debout et regarder le ciel.

Kant, « Sur le proverbe : cela peut être bon en théorie, mais ne vaut rien pratique ».

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

Sauf que changer un type de base qui est utilisé dans les binding C

Je ne vois pas où ils ont changé un type de base, ils ont juste changé la signature d'une fonction. Avant on avait :

int div(int i, int j)

maintenant on a :

float div(int i, int j)

C'est juste le type de sortie d'une fonction qui a changé, non la représentation en mémoire d'un type de base. C'est un léger changement d'interface et de sémantique pour une fonction, avec une autre fonction existante (//) ayant le même comportement que l'ancienne, pas de quoi fouetter un chat ni jouer à l'équilibriste en haut d'un immeuble de 42 étages par vent de force 5. ;-)

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

il a fallu changer tout python

Non, juste redéfinir une fonction sur un type de base. Je n'appelle pas cela changer tout le langage. ;-)

Python 2.7.13 (default, Nov 24 2017, 17:33:09) 
[GCC 6.3.0 20170516] on linux2
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> from __future__ import division
>>> 2/3
0.6666666666666666
>>> 2//3
0

Pour la question de l'absence de typage statique, c'est loin d'être le seul défaut de python.

Pour rester sur la question de la rigueur mathématique, de toute façon, pour moi, dès qu'on sort de la programmation fonctionnelle avec typage statique, on n'est déjà plus très rigoureux (je tolère à la rigueur les effets de bords et le code impure, c'est-à-dire les valeurs mutables, mais au-delà de ça, on est trop loin de la conception mathématique du calcul).

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

Je reviens à ce que je dis : s'il-te-plait, donne moi un avantage du float par rapport au Decimal mis à part la perfo.

Dès que l'on quitte les opérations algébriques de base (addition, multiplication, soustraction) et qu'on en vient aux fonctions transcendantes¹ (sinus, cosinus, logarithme, exponentielle…, voir le commentaire de Michaël). Si tu reprends l'article de Guido sur les raisons du changements pour la division sur les int :

(This recently happened to me in a program that draws an analog clock – the positions of the hands were calculated incorrectly due to truncation, but the error was barely detectable except at certain times of day.)

Pour dessiner une horloge analogique, il faut faire de la trigonométrie et donc utilise les float. ;-)

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

C'est même pire que ce que tu crois, il faudrait changer également l'inteprétation des littéraux.

type(2.3)
<class 'float'>

Je t'explique pas les problèmes de retro-compatibilité s'il fallait les interpréter par des décimaux :

type(2.3)
<class 'decimal.Decimal'>

il faudrait rajouter des float(...) partout dans le code existant :

type(float(2.3))
<class 'float'>

Ils n'ont pas déjà assez de problèmes avec le passage python 2.7 vers python 3 ?

Si tu veux des décimaux et gérer manuellement tes arrondis (et des problèmes d'arrondis, tu en auras), il y a un module pour cela : decimal. Si tu veux du calcul exact sur des fractions (sans problèmes d'arrondis avec les opérations algébriques), tu as un module pour cela : fractions. Sinon par défaut, comme dans tous les langages, tu te retrouves avec des nombres à virgule flottante ce qui n'est pas sans raison.

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

Merci de lire le 3e point de la page de la doc de Python. C'est exactement de ça dont je parle, c'est exactement la solution au problème exposé dans ce journal.

Eh bien ce que tu souhaites exactement (par défaut) est profondément ridicule. Quitte à choisir une représentation pour avoir de l'exactitude dans les calculs et perdre du temps (inutile dans la quasi totalité des applications), autant choisir celles des fractions : avec les décimaux tu n'as même pas la structure de corps (c'est pas « stable » par division comme type de données).

>>> from decimal import Decimal
>>> i,j = Decimal(3), Decimal(5)
>>> i * (j / i)
Decimal('5.000000000000000000000000001')
>>> (i * j) / i
Decimal('5')

>>> from fractions import Fraction
>>> i,j = Fraction(3), Fraction(5)
>>> i * (j / i)
Fraction(5, 1)
>>> (i * j) / i
Fraction(5, 1)

Maintenant que Python switche tout seul de l'int à l'IEEE quand il le juge bon, va-t-il un jour switcher de int à Decimal à IEEE quand il le juge bon ?

Et je t'ai répondu que ce n'est pas ce qu'il fait ! Il a juste changer la sémantique de l'opérateur / et son type de sortie. Avant / calculait le quotient euclidien et était de type int * int -> int, maintenant il calcule le résultat de la division en flottant et est de type int * int -> float. C'est juste un changement de sémantique (l'opérateur // étant là pour la division euclidienne) et non une adaptation au besoin de précision. Si vraiment, ils avaient voulu cela (ou s'ils le voulaient) il faudrait choisir le type Fraction en sortie et non le type Decimal.

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

C'est sûr que c'est pas très lisible pour un CM2. :-P

L'écriture est lié au système de typage statique OCaml qui n'a pas de mécanisme à la type classes de Haskell. Du coup 2 est toujours interpréter comme étant de type int et ~$ est juste une notation infixe pour la fonction of_int.

L'idée était surtout de montrer qu'il n'y avait aucune difficulté à faire du calcul formel sur les rationnels, avec pour seul limite la capacité mémoire de la machine (python le fait aussi) : c'est juste coûteux en mémoire et plus long en calcul, mais inutile dans la plupart des applications (d'où le recours aux flottants par défaut dans tous les langages).

>>> from fractions import Fraction
>>> # attention à bien utiliser des strings
... Fraction('2') - Fraction('1.8') - Fraction('0.2')
Fraction(0, 1)
>>> # avec les floats sa posera aussi problème
... Fraction(2) - Fraction(1.8) - Fraction(0.2)
Fraction(-1, 18014398509481984)
>>> Fraction('3') * Fraction('5/3')
Fraction(5, 1)

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

Je me dis aussi que vu que Python le fait déjà dans un autre cas

C'est pas tout à fait cela, il a changé la sémantique d'un de ces opérateurs sur les int, à savoir l'opérateur /, qui avant calculait le quotient euclidien et qui maintenant calcule la division dans le type float (ce qui ne change pas les problèmes d'arrondis et l'impossibilité d'avoir une représentation finie en base 2 pour certaines fractions).

Si tu veux calculer formellement sur des fractions en python, il faut utiliser le module fractions.

>>> from fractions import Fraction
>>> # attention à bien utiliser des strings
... Fraction('2') - Fraction('1.8') - Fraction('0.2')
Fraction(0, 1)
>>> Fraction('3') * Fraction('5/3')
Fraction(5, 1)
>>> # avec les floats ça posera aussi problème
... Fraction(2) - Fraction(1.8) - Fraction(0.2)
Fraction(-1, 18014398509481984)

Pour avoir un jour un tel comportement par défaut, j'en doute : les besoins en calcul formel sur ce type de nombres sont trop rares (application de niche) pour en faire le comportement par défaut.

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

Avec Zarith et la précision arbitraire sur les entiers et les rationnels, on résout le problème du journal :

#require "zarith"
#install_printer Q.pp_print
#install_printer Z.pp_print

let i = Q.(~$5 / ~$3);;
val i : Q.t = 5/3

Q.(~$3 * i);;
- : Q.t = 5

Q.(of_int 2 - of_string "18/10" - of_string "2/10");;
- : Q.t = 0

mais aussi celui d'un de tes anciens journaux ;-)

Z.(shift_right one 64);;
- : Z.t = 0

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

Oui, je l'ai trouvé après le pretty-printer. Je l'ai mis dans cet autre commentaire et celui-ci. C'est plus joli avec. ;-)

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

les décimaux ne forment qu'un anneau et pas un corps

mais les rationnels, eux, forment un corps :

let i = Q.of_int 3 in
let j = Q.of_int 5 in
Q.(i * (j / i));;
- : Q.t = 5

:-)

et pour ceux qui aiment les grandes puissances :-P

pow 2017 2017;;
- : Z.t =
3906579755433725744549801881596227303161113974786331742808014316352404207866781011779432579441775839856
9303675091317686485769854660061633900821022073493790844484206374523765685047888592941732567957896337356
8227616903361285861720928485319957896879451656212960334524148908182859288925011902051241977461866923828
5805141216845194646359692773930173890452130301484108603704907663185918027996588306289045733101837983728
0327741427585781943934907066383115733602932268165774793029250948453140731624523723322353528718052018269
2120301190715379956212549955472924854051368917564413054345164976023589951663964251322964845660608570604
8796166013211776531223294858858770618287202956153159070909025445244612929266907435405734058205954066196
6257944413954048938877964772886958563547919584266955161383320262256139624507335975998767755685814334472
7668109856905808726786650150176346749276701349195925308447304906625583450532575618820393030470662264833
6558516764477800855702247701966133115392119659229044822591905333270631043927666037528178491629195538568
4646233989829228655115524936994639184750912047564895374720764672140695409095592363173332472459576462404
5478715399572715756795527704408680018385825873357580378471551915354156980027304848137549295408442862472
0693653228246725934999526408544103045213286398414699798897380577563918878645812125863807732821991332107
8692725905849174024449511921146294190262906996085368959603576478405323143384080388379319554908856556731
5908088452296187414871507326380105914169781913896257814769011618619675396354441317274069735446648347083
9685322479279715610244075962909647201924726552325770866912670386908832937068991644217985561454518613500
7701134281137791471069061199195503527692941530730806868244125447916029477919365350907160212555600592600
7272962151491655468415250273052830341020248623946192353295309806703225240777982731701762090578986703739
2654445594383017249413223433802591420751864046339582968716946613883883630089289092850166742420098475615
2317270292569678698976098602918745091738269938053862716103474442695166725670001543967580405510009441047
9024451590607819278757744377853151071774880174452988351732344899456989727677340502177914005216463498939
1224975421083168091648327063033553252608930068052730798133922253562033497135729065886319850700135166684
4733145986594861443630941669140652635251193447008192851553865779612842872522984948643907872238326400270
9446351625648515268700769721875710891517353990646067011044373315111199657801536917591352152223077856196
7585937746338830459587033526143098022187621420524532754885931847288027594032004390130183176362334815608
9447394688706409250220073258561438553336541717486859130299187109664700107919273459900361576563360385933
3122333043348929219564612801024584337753852145099150440931873218035637881859414477740279483748996993268
2275112162153565809151704179070457180504206906398450192005390333618194565994404545750817781718292706125
0315795328152260735534962635462010401164107240551217025457278458627050670150520970059759320354286441883
9562193815774326236977529972966261410337323664706113705568867451193992124787596100597886820452817195495
5020000700127981453761067545668056756361891835461795143007732741778254730545511658948801939623478920322
8770082758023203322668981651809246482681180422142387309386716816318069955940334056256140580819497179850
3289109355115029124983991018380698424651876194056194282127149997079562496102454369536500984933908739935
9218078735267669384753478767335747571773444969818858147423712760105039603697963834693464702773990816319
6468633747558552065688014667143037574127092846695111905537504841894849764673682096326975021012366606664
0911512953157476533586025093593927262144788949918692089397761431261871877904288178513169823048344238328
2260926947373572812701186712470174863056734569600082502717603716470089407418211450488493170968284198629
6783490416745451108403140493810716002978244023457593747581792541662690908599087691849588468048336655885
3396587675219737345520051486671981990599704130000418965813007224733672096313749475119407724014818508929
5435174820956072871376082451787665388114475605020203864631818413786212782294741026763089059841440923141
7930945943586389649372607933085049704786949757073506895518158455729471986353589128929298803482871893326
4617496210897466235050589604540196335236324754935438515933094258601062968745635884513724512140377812087
9963194898376112183936544916070097706168459234442106763663835372336483086417102786616287430017146620033
9061917369717038449238804553048471167262994455769562518460603987773119867917673314811942882902518952778
4452428862612449080278884098946247489646956505581906115889044658676526114959262438720723867498045450888
6534081710593801600793606848908583050665498686794547787119719610041793592240855296660979007332421390030
6864863782743260903304031347797201921526690054472717597175870696793550292948276452471679162724097409195
9226574012956618385918903583572362462995750127092270563921014720062585125823141782751812643109647530407
8716782263312492623267010550372864203265543683594017627021586771839427413268536947121551554157057847039
0705555753425386733887289438493039753930209202288508301197091965403738469234797311845916566136505553919
5347218311488110187672218257397856026847785288284864740137044134948049741708836860375429551872331945923
3479018544074018576809852216096689981623517895747450086026777001537987227211508713435225975549765258124
8620911163696461283347058836782766473033926630818043689367183277879852758810482761319983832255793901827
2344962449422866729130494318349786441889312965949010199609058366877816005182554357929793751308237195750
8857847106213666743133998010213985877939816967416366993032326406723766280172424741817792379452453933339
1257817923012542366733267840996910829815897656293583783006983681960984012935500660931269066599266830614
9298048454144277912938192170665670364309688124177002766249617224562497248029025108484112804667962930792
7246554758514993911161605836359758869768035926923821402027569506890143101867597868188376534215289800688
4850534058152513832422421443657177753062012002238067078120526881695766025581633086349571371749861205684
2009287332050038500758131655474444270464394270810368067423747143094562220685933183169518338219129062478
9016636657171699043027493231137226070566921703173674515116874346577116337134958859551451311536998094430
8436603930597247181404703316361315782728069013669316656084882670461314916661537994490564226822718247595
6096597627288520629228771111807430370106408669790774313609604966005455290197434687532220849212300973638
4079162882379305241098491933927011736912353861798242466005141298986845754182687703787699360707018541512
82858987245060220859376040188961430411125280662489310010991839503913438177

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

Mon prof de math justement, t'aurais mis 0, tu n'as pas indiqué la précision.

Il écrit des nombres décimaux, ce sont des valeurs tout a fait acceptables dont on n'a pas besoin d'indiquer la précision (sinon on indique un intervalle).

#install_printer Q.pp_print;;

Q.(of_ints 2 3 * of_ints 3 4);; (* 2/3 * 3/4 =  1/2 *)
- : Q.t = 1/2

Q.(of_string "2" - of_string "18/10" - of_string "2/10");; (* 2 - 1.8 - 0.2 = 0 *)
- : Q.t = 0

Q.(of_int 2 - of_float 1.8 - of_float 0.2);; (* avec les float ça marche pas *)
- : Q.t = -1/18014398509481984

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

Par exemple, en bc, 3*(5/3) ne donne pas 5.

Mauvais système de calcul formel ⇒ changer système de calcul formel :

Q.(print @@ of_int 1 * of_string "5/3");;
5/3- : unit = ()

Q.(print @@ of_int 3 * of_string "5/3");;
5- : unit = ()

let i = Q.(of_int 3 * of_string "5/3");;
val i : Q.t = {Q.num = <abstr>; den = <abstr>}

Z.(to_int (Q.num i), to_int (Q.den i));;
- : int * int = (5, 1)

Zarith :-)

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

D'autant que si on n'a pas déjà installé faketime, c'est plus long. Je ne sais pas comment fonctionne tous les systèmes, mais sur le mien ça ne fout pas le bordel. Si je n'enchaîne pas les deux commandes via le ;, mais l'une après l'autre, l'heure est déjà revenue à la normale.

$ date +%T -s "00:30:00"
00:30:00
$ man; date +%T
Quelle page de manuel voulez-vous ?
19:30:29

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

Exact, il a du le modifier entre temps. Dans la version que j'ai c'est bien à minuit et demi. Voir le commit qui le retire.

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

Pour ma part, j'ai appris le système des bases en primaire. De mémoire, on avait un certain nombre de croix, de batons ou de points que l'on devait regrouper en ensemble de n éléments, puis on devait regrouper les groupes en surgroupes de n groupes, et ainsi de suite.

Itou. :-) De mémoire c'était surtout en CM1 et CM2 que l'on pratiquait ce genre d'analyse.

On avait également vu les règles de division par 3 ou 9 pour des nombres en base 10 avec compréhension de leur principe. Pour savoir si 54 est divisible par 3 (sans chercher dans ses tables ou effectuer la divison), il suffit de faire 5 + 4 = 9 et de constater que 9 est divisible par 3 donc 54 aussi. Le principe est simple quand on a compris le fonctionnement des bases : 54 c'est 5 paquets de dix et un paquet de 4. Or quand on divise un paquet de dix en trois personnes, chacun en a trois et il nous en reste un sur les bras. Donc avec cinq paquets, il nous en reste cinq sur les bras, plus les quatre unités cela fait neuf unités, que l'on peut alors répartir en trois par personnes.

Je me servais de ce genre de principe dans la cours quand on faisait du « plouf, plouf, amstramgram » pour choisir les membres de son équipe de foot : je savais par qui commencer pour avoir celui que je voulais, sans rien laisser au hasard. Les joies de l'arithmétique modulaire. :-)

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

Pour continuer sur le même exemple, combien de bacheliers sont bien à l'aise avec les changements de base (de numération) ? C'est pourtant ça le recul indispensable à enseigner les techniques opératoires élémentaires au CP.

Il y a du y avoir des changements, avec les époques, sur ce qui était enseigné tant aux élèves qu'aux enseignants. Si je prends mon expérience personnelle : dans les années 80, à la sortie de mon primaire on nous avait appris le changement de base (essentiellement la conversion base 10 vers base 5, mais des fois aussi base 2 ou 3). Lorsque j'étais étudiant, je donnais des cours particuliers pour financer mes études : certains de mes élèves de terminale (en terminale S) galéraient pour la conversion base 10 vers base 5. Et pour la formation de mes institutrices : la plupart avaient fait l'école normale sans être bachelières. ;-)

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

D'après l'article d'Europe1, le communiqué de la Fédération des Aveugles de France contiendrait ce passage : « Pour nous personnes aveugles, cette soi-disant langue inclusive est proprement indéchiffrable par nos lecteurs d'écrans ». Je m'inscris totalement en faux contre cet argument en vertu du principe, déjà invoqué, suivant : « c'est pas compatible avec les lecteurs d'écran pour malvoyants » est un argument faux, émis par quelqu'un qui n'a jamais testé ces lecteurs. En effet, il va de soi que les aveugles n'ont jamais testé les lecteurs d'écran et sont les moins à même d'en parler. :-P

P.S : ceci étant dit, je n'ai pas réussi à trouver le communiqué en ligne sur leur site, bien que plusieurs journaux en parlent.

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.