kantien a écrit 1274 commentaires

Tiens, on a d'ailleurs très peu parlé de la résolution par le successeur de ChatGPT grand public d'un des problèmes d'Erdös les plus importants

On en a un peu parlé ici même.

il force la réalité dans une grille de lecture pré-établie par l'auteur, sans aucune considération pour les contorsions et écarts à la logique élémentaire et au rapport à la vérité qu'il faut accepter pour le faire.

Le logicien que je suis aimerai bien recevoir un cours de logique élémentaire, histoire de voir à quoi cela ressemble.

D'ailleurs, on n'a toujours pas vu de LLM apte à faire voyager quotidiennement des personnes dans des rames de métro automatiques depuis bientôt 30 ans. En particulier, selon les principes de la logique élémentaire, doit-on en conclure que les machines qui ont confirmé ou infirmé des conjectures non triviales pour réaliser la ligne 14 du métro parisien disposaient déjà d'une forme d'intelligence même marginale ? Et mon ordinateur qui fait tourner mon gestionnaire de paquets opam ou apt, il est intelligent aussi ?

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

Après reflexion, j'ai oublié un point. Si les professeurs de philosophie sont sans doute tenter d'aborder l'ouvrage c'est à cause de la notion de liberté, qu'il leur faut traiter dans leur programme.

Si le synthétique a priori mène à des questions sans réponses en mathématique, les propositions indécidables de Gödel et Turing, il en est de même pour le synthétique a priori en philosophie. Chez Kant cela se nomme les antinomies de la raison pure et, comme pour les mathématiques, cela se produit lorsque l'on introduit la récursivité. La plus célèbre de ces antinomies étant la troisième, connue sous sa forme populaire du problème de l'œuf et de la poule, et la réponse de Kant à la question de savoir qui vient en premier est de dire : ni l'un, ni l'autre mais l'homme est libre. :-D

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

Je sais bien les contraintes auxquelles ils doivent faire face, ce que je voulais dire dans mon précèdent message est que je ne me sens pas légitime pour leur donner le moindre conseil.

Une idée qui me vient à l'esprit, et qui pourrait profiter au philosophe, est une proposition faîte par Gérard Huet dans un conférence intitulée Fondements de l'informatique, à la croisée des mathématiques, de la logique et de la linguistique (le document est un docx mais il s'ouvre bien avec libre office). Il illustre par deux exemple comment on pourrait faire mettre en pratique ce qui se cache dans Curry-Howard (et donc la logique transcendentale de Kant) sans nécessairement aborder la théorie elle-même (au fond ce qu'expose ces théories est la structure logique de notre esprit, mais cette structure on l'utilise naturellement sans même savoir l'exposer théoriquement).

Les exemples se trouvent à la fin de sa conférence (dans ma version que j'ai convertie en pdf, c'est à la page 20) est commence au paragraphe :

On nous dit « il faut inculquer aux jeunes l’esprit scientifique ». Très bien, mais qu’est ce que ça veut dire au juste, au-delà d’une incantation un peu creuse ?

Le premier exemple consiste à calculer le coût financier du cycle de lavage d'une machine à laver, puis à réfléchir sur le raisonnement qui conduit à la réponse. Si Luc Skywalker me lit, c'est analogue à la discussion que tu as eu avec gUI sur la rentabilité de récupérer l'énergie potentiel sur un vélo électrique : vous avez utilisé la Critique de la raison pure sans le savoir (catégorie de la causalité dans la logique transcendentale). ;-)

Le second consiste à faire de l'analyse grammaticale sur les verbes transitifs et intransitifs, avec pour exemple « le chat mange la souris ».

Puis de montrer que, d'un certain point de vue, les deux situations sont identiques dans notre manière de raisonner.

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Pour répondre à cette question :

D’un autre côté : est-il possible de ne pas aborder ce classique des classiques pendant ce cours de philosophie qui sera probablement le seul de la vie de ces jeunes ?

Je dirais absolument oui, il l'a dit lui-même !

Sans entrer dans le détail de son œuvre, je vais juste illustrer pourquoi je dis de lui « nul ne peut entre ici s'il n'est géomètre ». Les géomètres, ou plus généralement les mathématiciens, utilisent pour résoudre leur problème une méthode qu'ils nomment le raisonnement par analyse-synthèse. Pappus d'Alexandrie le décrivait en ces termes :

Analysis, then, takes that which is sought as if it were admitted and passes from it through its successive consequences to something which is admitted as the result of synthesis: for in analysis we admit that which is sought as if it were already done and we inquire what it is from which this results, and again what is the antecedent cause of the latter, and so on, until by so retracing our steps we come upon something already known or belonging to the class of first principles, and such a method we call analysis as being solution backwards.

But in synthesis, reversing the process, we take as already done that which was last arrived at in the analysis and, by arranging in their natural order as consequences what before were antecedents, and successively connecting them one with another, we arrive finally at the construction of what was sought; and this we call synthesis.

Pappus on analysis and synthesis in geometry

Dans l'analyse on va de la conclusion aux prémisses, tandis que dans la synthèse on redescend des prémisses à la conclusion. D'ailleurs, le logiciel d'aide à la preuve Rocq fonctionne ainsi : on prouve la proposition par voie d'analyse, puis, quand on a fini, on écrit qed (quod erat demonstrandum ou cqfd) et le moteur de Rocq effectue la synthèse pour nous.

Je me suis permis cette petite digression parce que certains ouvrages de Kant vont par paire : dans l'un il suit la voie analytique, dans l'autre la voie synthétique. Dans le cas de la Critique de la raison pure, c'est la voie synthétique qui est suivie. Son ouvrage jumeau, qui suit la voie analytique, se nomme les prolégomènes à toute métaphysique future. Ce dernier s'ouvre sur cette avertissement (première phrase de la préface) :

Ces prolégomènes ne sont pas à l’usage des élèves ; ils s’adressent aux maîtres futurs, auxquels même ils doivent servir, non pas pour l’exposition méthodique d’une science toute faite, mais uniquement pour l’invention de cette science.

Kant, prolégomènes à toute métaphysique future

Ils servent à exposer la voie de découverte (la méthode analytique est la voie de la recherche qui trouve) qui mène à la Critique (dont l'exposé est synthétique).

Partant de là, je doute fort, tout de même, qu'il soit approprier d'aborder cet ouvrage avec des élèves de terminal sans finir dans du n'importe quoi, d'autant que, je le répète, un professeur de terminal ne le comprend peut être pas lui-même.

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

Merci :D

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

Comme le montre mon commentaire en réponse à Polux, je n'ai rien à préconisé pour l'enseignement de la philosophie. Je suis avant tout mathématicien et la philosophie fut pour moi nécessaire pour répondre à mes problèmes. Je laisse aux philosophes des académies le soin d'orchestrer leur enseignement comme ils l'entendent. ;-)

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

J'ai eu la même expérience mais un peu plus tôt (96-97) et j'ai eu 5 au bac. :-P

Je me méfie toujours des philosophes, il y a de l'excellent comme du pur AI slop dans cette discipline. Je suis né mathématicien, j'ai vécu en mathématicien et je mourrai en mathématicien. Je suis kantien car, de tous les philosophes que j'ai lu, c'est le seul dont j'ai pu dire « nul ne peut entrer ici, s'il n'est géomètre ». ;-)

Peut-être ce passage de la préface de la deuxième édition te semblera moins chiante à lire :

Si donc il n’est pas impossible de léguer à la postérité une métaphysique systématique construite sur le plan de la critique de la raison pure, ce n’est pas un don médiocre à lui faire ; soit que l’on songe simplement à la culture que la raison peut recevoir en général en entrant dans les voies certaines de la science, au lieu d’errer dans le vide et de se livrer à de vaines divagations, comme elle le fait en l’absence de la critique ; soit que l’on cherche un meilleur emploi du temps pour une jeunesse avide de savoir, que le dogmatisme ordinaire encourage de si bonne heure et si fortement à raisonner à perte de vue sur des choses où elle n’entend rien et où elle n’entendra jamais rien, non plus que personne au monde, ou à négliger l’étude des sciences solides pour courir à la recherche de pensées et d’opinions nouvelles.

Kant, Critique de la raison pure

Et pour avoir lu toute son œuvre, ce qu'il entendait par sciences solides, c'était la logique, les mathématiques, la physique… et la métaphysique qu'il s'est efforcé de fonder. ;-)

Après, mon parcours, c'est classe prépa MPSI-MP, licences de mathématique fondamentale, maîtrise de mathématique pure et DEA de logique. C'est en licence que j'ai découvert la Critique pour les mêmes raisons que David Bessis : comprendre la nature de cette science qui occupe mon esprit en permanence, et ce fût une révélation. C'est uniquement depuis ce temps que je m'intéresse à la philosophie. En DEA, il y avait des étudiants issus soit d'un cursus mathématique (comme moi), soit d'un cursus philosophique (ils galéraient un peu sur certains sujets mathématiques, mais nos discussions étaient des plus rafraîchissante).

Cela étant son œuvre ne se limite pas à ce que l'on appelle de nos jours les sciences « dures », il a eu une influence non négligeable sur l'existence d'institutions comme la Sociétés des Nations, l'Organisation des Nations Unies ou encore l'Union Européenne (voir son opuscule Vers la paix perpétuelle). Il a appliqué le même principe que Curry-Howard au domaine du droit et, dans les facultés de droit ou de sciences politiques, il est étudié pour cela. À la question : pourquoi faut-il trois pouvoirs (le législatif, l'exécutif et le judiciaire) ? il répond que c'est nécessaire conformément à la structure formelle d'un syllogisme :

• Tous les hommes sont mortels (majeure)
• Socrate est un homme (mineure)
• donc Socrate est mortel (conclusion)

à la majeure correspond la Loi (le pouvoir législatif), à la mineure correspond le cas ou question de fait dans un procès (le pouvoir exécutif représenté par le procureur) et enfin le juge (pouvoir judiciaire) subsume la mineure sous la majeure pour tirer la conclusion ou sentence.

Et ce qui est drôle, c'est que si l'on regarde un code informatique qui gère des permissions (via Curry-Howard), il suit le même schéma : c'est un tel syllogisme. ;-)

À la question : pourquoi tous les hommes naissent-ils libre et égaux en droit ? Il répond que c'est l'équivalent juridique du principe d'action-réaction chez Newton, et que ces deux principes ont pour fondement la forme logique des jugements disjonctifs (A ou B).

Et là on sort totalement du cadre légitime du recours à la méthode axiomatique (limitée aux mathématiques), mais la structure formelle reste identique : voilà, pour moi, l'essence de ce que Kant a apporté à la philosophie. ;-)

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

Pas prêt pour les problèmes weirdos.

Je ne le suis pas plus, mais il ne faut pas pour autant être impressioné par ce qu'il s'est passé.

Avec sa remarque, BAud m'a donné le moyen d'expliquer simplement ce qui a eu lieu, et si cela peut sembler impressionnant, il faut relativiser.

La preuve automatique de théorèmes par un ordinateur cela n'a rien de nouveau, et c'est le quotidien de tous les utilisateurs d'une distribution Linux.

Tu veux installer firefox, tu conjectures que tu le peux, il y a deux cas :

• l'installation marche, ta conjecture s'est avérée exacte ;
• l'installation échoue, il y a des conflits, tu es réfutée.

Dans le cas de problème de la distance unitaire, on s'est retrouvée dans le second cas, voilà ce qui s'est passé. Le LLM a construit un contre-exemple, tout comme ton gestionnaire (apt ou un autre) a trouvé des conflits : les conflits qu'il explicite sont ses contre-exemples.

Dans le cas des gestionnaires de paquets, on se retrouve dans du NP-complet, c'est compliqué mais parfaitement décidable.

Dans le cas mathématique général, le procédé de recherche de preuves ou de réfutations est indécidable : c'est ce qu'ont montré Gödel et Turing. Comme le dit Martin-Löf dans sa conférence, pour parler le langage de Kant, avec un problème SAT (NP complet, le cas des gestionnaires de paquets) on est dans de l'analytique, tandis que le cas général des énoncés mathématique (dont la conjecture d'Erdös) est celui du synthétique a priori qui est indécidable. Il faut alors trouver d'autres méthodes pour y arriver, et c'est là qu'entre en jeu les méthodes formelles.

Pour l'industrie, on trouve par exemple :
- alt-ergo par l'équipe qui développe aussi opam le gestionnaire de paquets pour OCaml ;
- why3 qui est semi-automatique, certaines sont renvoyées vers Rocq pour un traitement manuel ;
- la méthode B qui fait fonctionner les métros automatiques de Paris.

Ce n'est pas un domaine inexploré de l'informatique, loin de là, ce sont mêmes ces questions, issues des mathématiques pures, qui font que nous avons aujourd'hui des ordinateurs. Mais personne au monde n'est venu affirmé que les machines étaient intelligentes grâce à cela et c'est incommensurablement plus fiable que n'importe quel perroquet stochastique. Gerard Berry qui a occupé la chaire au Collège de France avant Xavier Leroy, qui a fait toute sa carrière dans ce domaine de recherche, n'a jamais cessé de répéter qu'un ordinateur étant complément con : il calcule a une vitesse qui écrase tout être humain, mais il est con comme un balai.

Si l'on prend la méthode B, on peut faire ce titre racoleur : des millions de personnes de part de le monde voyage dans de métros automatiques grâce a des conjectures prouvées ou réfutées automatiquement (ou semi-automatiquement) par un ordinateur… sauf le Collège de France. ;-)

Jean-Raymond Abrial, l'inventeur de la méthode, a donné une conférence sur le sujet au Collège de France, invité par Gérard Berry. Je ne l'ai pas trouvé avec une rapide recherche, mais je suis sûr qu'elle existe, si quelqu'un est motivé.

Pour faire fonctionner la ligne 14 à Paris, les ingénieurs qui l'on conçu ont fait comme Erdös : de la formalisation et de la conjecture, et la machine se charge de confirmer ou d'infirmer leur intuition.

Néanmoins, dans le cas du métro automatique (comme pour un gestionnaires de paquets), on n'est pas intéressé par le contenu de la preuve elle-même. Si cela produit un gloubi boulga, on s'en fout, on veut juste la réponse mais avec la certitude que la machine ne se trompe pas (donc exit les perroquets). Par contre si l'on cherche une preuve formelle, que son contenu est ce qui nous importe le plus (cas des mathématiques pures ou même de la programmation usuelle, c'est la même chose par Curry-Howard), on envoie à la poubelle le code AI slop parce que son API est tout a chier et sans intérêt. D'où la réaction de Patrick Massot :

I think the situation is pretty clear: AI companies, and especially Math Inc, will indeed thoroughly bomb this area to turn it into a giant radioactive wasteland that will never be able to sustain life again, so we will never get the benefits expected from formalization (improved understanding and accessibility). I strongly advise young people to contribute to less shiny projects that are less likely to be destroyed.

Et je rajoute : quel est donc le projet politique de ces entreprises de la big tech pour vouloir jouer à ce jeu là ?

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

Oui c'est scandaleux que les LLM n'ait pas répondu ! D'autant que les problèmes NP complet sont parfaitement décidables, juste long à calculer, mais ce sont des théorèmes dont la démonstration ou refutation est parfaitement automatisable. D'ailleurs ma machine le fait à chaque fois que j'installe un paquet OCaml via le gestionnaire de paquets opam (il doit résoudre un problème NP complet).

Voilà un titre choc : des millions de personnes par jour font démontrer automatiquement des théorèmes par leur ordinateur à chaque qu'il font apt install et personne n'en parle !

Si on demande à gemini un apt install firefox, il hallucine à tous les coups et installe chrome. :-P

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

C'est parce que d'une part la philosophie en terminale est une particularité française et que d'autre part c'est incomprhénsible pour une élève de terminale. Si tu lis l'article de Martin-Lof, il explique par exemple que sa déduction des catégories est identique dans le principe à ce que les mathématiciens appellent la correspondance de Curry-Howard.

Les mathématiciens sont plus raisonnables dans la formation de la jeunesse. Personnellement, ce résultat mathématique m'a été enseigné quand j'étais en DEA (Bac +5) : je me suis dit cool, c'est comme Kant mais en plus simple. J'avais justement choisi un DEA en logique mathématique et fondement de l'informatique pour approfondir ma connaissance de la logique et mieux comprendre certains point de la Critique qui me restait obscur.

C'est comme si on disait à un élève de terminale en cours de maths : aujourd'hui on va étudier le théorème d'incomplétude de Gödel et le problème de l'arrêt de Turing, ainsi que leur incidence sur le fondement des mathématiques. Tu penses que ça se passerait bien ?

Ajoute à cela, que les enseignants de philosophie de terminale ne comprennent pas l'ouvrage eux même (Mr Phi en est le parfait exemple) et tu as le parfait cocktail pour du grand n'importe quoi.

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

Dans la Critique de la Raison pure au chapitre sur la méthodologie :

Les mathématiques donnent le plus éclatant exemple d’une heureuse extension de la raison pure par elle-même et sans le secours de l’expérience. Les exemples sont contagieux, surtout pour cette faculté, qui se flatte naturellement d’avoir toujours le même bonheur qu’elle a eu dans un cas particulier. Aussi la raison pure espère-t-elle pouvoir s’étendre, dans son usage transcendental, avec autant de bonheur et de solidité qu’elle l’a fait dans son usage mathématique, surtout en appliquant ici cette même méthode qui lui a été là d’une si évidente utilité. Il nous importe donc beaucoup de savoir si la méthode qui conduit à la certitude apodictique, et que dans cette dernière science on appelle mathématique, est identique à celle qui sert à chercher cette même certitude dans la philosophie et qui y devrait être appelée dogmatique.

La connaissance philosophique est la connaissance rationnelle par concepts, et la connaissance mathématique la connaissance rationnelle par construction des concepts. Construire un concept, c’est représenter à priori l’intuition qui lui correspond. La construction d’un concept exige donc une intuition non empirique, qui par conséquent, comme intuition, soit un objet singulier, mais qui n’en exprime pas moins, comme construction d’un concept (d’une représentation générale), quelque chose d’universel qui s’applique à toutes les intuitions possibles appartenant au même concept. Ainsi je construis un triangle en représentant l’objet correspondant à ce concept soit par la simple imagination dans l’intuition pure, soit même, d’après celle-ci, sur le papier dans l’intuition empirique, mais dans les deux cas tout à fait à priori, sans en avoir tiré le modèle de quelque expérience. La figure particulière ici décrite est empirique, et pourtant elle sert à exprimer le concept sans nuire à son universalité, parce que, dans cette intuition empirique, on ne songe jamais qu’à l’acte de la construction du concept, auquel beaucoup de déterminations sont tout à fait indifférentes, comme celles de la grandeur, des côtés et des angles, et que l’on fait abstraction de ces différences qui ne changent pas le concept du triangle.

Kant, Critique de la raison pure

Il faut lire la suite aussi, où il explique qu'au sens propre du terme seule la mathématique possède des définitions, raisons pour laquelle les BA des LLM ne savent même pas ce qu'ils demandent lorsqu'ils exigent une définition de l'intelligence. Mais bon, ce sont des adeptes de la métaphysique de bistro. ;-)

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

Je trouve ce commentaire bien plus intéressant que la vidéo de Mr Phi (dont je ne suis pas un grand amateur), mais il y a une réaction encore plus intéressante, à savoir l'article de David Bessis auquel renvoie gro-tsen : the fall of the theorem economy. Article que je conseille de lire pour ceux intéressés par les progrès des LLM en raisonnement et assistant pour la mathématique pure. Je dois avouer que je ne m'attendais pas à des progrès aussi rapide en la matière et que j'aurais plus misés sur la recherche de preuves formalisées en Lean/Rocq/Agda, que via une approche moins formelle en langue naturelle (telle qu'elle est pratiquée par les êtres humains).

Mais au-delà du problème de la distance unitaire, j'ai appris l'existence, via l'article de David Bessis, du projet First proof. Il s'agit d'une expérience menée par des mathématiciens qui mettent au défi les entreprises de LLM (à l'aide d'agents) de résoudre dix problèmes en complète autonomie (sans aide humaine sur le chemin à suivre pour les preuves), puis de les soumettre à une revue par les paires pour avis à publication (comme une revue le ferait pour un chercheur humain). Les problèmes sont choisis parmi des extensions de travaux publiés par les dits chercheurs du projet et correspondent à des théorèmes qu'ils ont prouvé mais non encore publiés. Ils en sont à la deuxième session de leur test :

• 6 à 8 problèmes furent résolus avec validation pour publication (mais une dead line courte d'une semaine entre l'annonce du projet et les réponses à fournir) ;
• la deuxième sessions s'est tenue sur plusieurs mois, et si je compte bien (cf le dépôt github) 7 réponses ont passé la validation par les paires pour publication.

Cela étant, ces progrès indéniables auraient pu mériter un traitement philosophique plus intéressant que ce qu'en fait Mr Phi. Tout d'abord, ce qui semble évident est une question de philosophie des mathématiques et qui renvoie à la question simple de sa propre définition Qu'est-ce que les mathématiques ? C'est en partie un clin d'œil à Laurent Claessens (l'auteur du Frido) qui dans un autre lien demande une définition de l'intelligence. Cette question de la définition est traitée dans un autre article, on ne peut plus intéressant de David Bessis, we had been wrong about mathematics since 2300 years. Le titre est aussi racoleur que celui de la vidéo de Mr Phi, mais le contenu philosophique nettement supérieur. Et ceux qui prétendent que les LLM comprennent ce qu'ils font pour avoir de tels résultats donnent la victoire sans hésitation aux formalistes dans les débats philosophiques sur la nature des mathématiques (position que n'a jamais pu tenir sérieusement aucun mathématicien professionnel, bien au contraire ils sont tous plus ou moins platonistes).

Viens ensuite la question : mais au fond, pourquoi fait-on des mathématiques et à quoi cela sert-il ? Celle-ci je la choisis en référence à la conclusion du premier article de David Bessis et celui-ci de Gro-tsen. On y sent les anciens élèves de la rue d'Ulm et l'influence de Bourbaki. Il cite Jacobi qui fut choisis par Jean Dieudonné pour l'épitaphe et le titre d'un de ses ouvrages de vulgarisation (il est le seul mathématicien que qui fut reçu par Bernard Pivot pour la présentation de son livre, on trouve facilement la vidéo dans les archives de l'INA, elle vaut le coup d'œil).

Il est vrai que M. Fourier avait l'opinion que le but principal des mathématiques était l'utilité publique et l'explication des phénomènes naturels ; mais un philosophe comme lui aurait dû savoir que le but unique de la science, c'est l'honneur de l'esprit humain, et que sous ce titre, une question de nombres vaut autant qu'une question du système du monde.

La plupart des mathématiciens purs se moquent de savoir si leur travaux ont une utilité technico-pratique. Mais alors, comme se questionne David Bessis, pourquoi ces entreprises de la tech investissent-elles de l'argent sur un tel marché de niche pour qui de tels outils n'est pas ardemment désirés ? Quelles idées ont-elles derrière la tête ?

En contrepoint de la citation de Jacobi et en lien avec la philosophie et la notion d'intelligence, je me permet de citer mon maître :

C'est par conséquent une objection aussi mal avisée qu'injuste que les esprits superficiels adressent aux grands hommes qui consacrent aux sciences des soins laborieux lorsqu'ils viennent demander: à quoi cela sert-il ? On ne doit en aucun cas poser une telle question quand l'on prétend s'occuper de science. À supposer qu'une science ne puisse apporter d'explication que sur un quelconque objet possible, de ce seul fait son utilité serait déjà suffisante. Toute connaissance logiquement parfaite a toujours quelque utilité possible : même si elle nous échappe jusqu'à présent, il se peut que la postérité la découvre. Si en cultivant les sciences on n'avait jamais mesuré l'utilité qu'au profit matériel qu'on pourrait en retirer, nous n'aurions pas l'arithmétique ni la géométrie. Aussi bien notre intelligence est ainsi conformée qu'elle trouve satisfaction dans la simple connaissance, et même une satisfaction plus grande que dans l'utilité qui en résulte. Platon l'avait déjà remarqué. L'homme y prend conscience de sa valeur propre; il a la sensation de ce qui se nomme : avoir l'intelligence. Les hommes qui ne sentent pas cela doivent envier les bêtes. La valeur intrinsèque que les connaissances tiennent de leur perfection logique est incomparbale avec leur valeur extrinsèque, qu'elles tirent de leur application.

Kant, Logique.

On pourrait continuer sur la distinction opérée par Socrate entre le philodoxe et le philosohe dans la République de Platon (au livre V, si je me souviens bien), mais par manque de temps je ne développerai pas ce point (peut être dans un autre commentaire).

Enfin pour ceux qui se demanderait pourquoi je glisse encore du Kant dans le débat, c'est tout simple. La perfection logique dans l'exécution de la démonstration est unanimement reconnue par les mathématiciens professionnels comme étant la preuve formalisée dans un logiciel comme Lean, Rocq ou Agda. Au coeur des ces logiciels résident un type checker fondé sur la théorie des types de Pier Martin Lof. Dans un article intitulé analytic and syntehic judgment in type theory, ce dernier rappel deux points. Le premier étant la distinction introduit, par Kant, entre jugement analytique et jugement synthétique ainsi que sa thèse centrale qui est que tous les jugements mathématiques sont synthétiques a priori. C'est cette thèse qui fut combattu à la fin du dix neuvième par les logicistes, qui foutu le bordel dans les fondements des mathématiques, mais chemin faisant on a eu les travaux de Gödel et Turing. Le second étant qu'en fin d'article il écrit :

So you have this formulation, which I have already quoted twice, mathematical knowledge through the construction of concepts, a splendid formulation which no doubt had a fruitful influence on Brouwer, and to my mind it is justifiable to say that intuitionism is a developpemnt of an essential Kantian position in the foundation of mathematics.

La formulation est là et répond à la première question philosophique que je posais : qu'est-ce que les mathématiques ? À cela Kant répondais : c'est la connaissance rationnelle par la construction de concepts, pour la distinguer de la philosophie qui est la connaissance rationnelle par concepts. Ce qui répond au passage à la question de David Bessis dans son article sur la définition des mathématiques : les intuitionnistes ont une définition très claire de ce que sont les mathématiques, ils ne sont ni platonistes, ni formalistes, mais pour une raison que j'ignore il semble ignorer cette position.

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

Rien ne démontre que l'IA quand elle choisit un token n'a pas déjà en germe quelques coups d'avance, ça peut être nécessaire pour maintenir une cohérenc

Les LLM implémentent vaguement la méthode propre aux intelligences (cf la théorie du schématisme dans la Critique de la raison pure), et tout laisse à penser que ces machines sont connes comme des huîtres.

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

Dans cette logique, aucun humain ne raisonne

Parles pour toi ! Personnellement, quand j'appuis sur les touches de mon clavier, c'est à dire à l'instant même où je m'adresses à toi, je raisonne déjà. Ce qui se passe dans ma tête, avant d'appuyer sur une touche, disons « si je bouge ce doit alors la lettre A apparaîtra », relève dèjà de l'inférence. Néanmoins, le mode de fonctionnement des IA génératives ne fonctionne pas selon le mêmes principes, et ne parlons pas des maths (bien que leur usage puisse être fructueux dans ce domaine).

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

Arf, son premier commentaire, j'ai pas tout pigé désolé.

Je reconnais que ce que j'ai écrit peut apparaître ésotérique à qui n'est pas familier avec ces problématiques. Essayons de rendre le fond de ma pensée plus accessible.

Lorsqu'il retrace les grandes lignes des différentes écoles philosophiques en théorie de la connaissance, il part du partage classique entre Platon et Aristote, immortalisé par Raphaël dans son tableau l'École d'Athènes. Puis à l'époque moderne (17ème et 18ème) viennent les rationalistes Descartes, Leibniz et Spinoza face aux empiriste de l'école anglaise Locke, Berkeley et Hume. Kant arrive dans cet état de lieu est chercha la consiliation, tout en sauvant la raison pure des attaques fatales qui lui porta David Hume.

Lorsque Stéphane Mallat résume le contenu de l'idéalisme transcendantale sous la forme :

Idéalisme transcendantal : connaissance résulte du traitement de l'expérience par les formes a priori de l'esprit

il n'expose qu'une partie de la philosophie kantienne : sa réfutation de l'empirisme, et de David Hume en particulier. Car c'est bien l'attaque de Hume contre la causalité qui fit sortir Kant de son sommeil dogmatique (l'expression est de Kant, et c'est ainsi qu'il qualifie tous les rationnalismes qui sont à sa gauche dans le transparent de Mallat). Bien qu'il fut en profond désaccord avec Hume sur le fond (l'origine du concept de causalité), il avait une grande admiration pour ce philosophe. L'attaque de Hume se trouve dans son livre Enquête sur l'entendement humain. Mais il faut bien comprendre la signification des conclusions de sa thèse. Lorsque qu'un statisticien répète à l'envie que corrélation n'est pas causalité, il semble signifier qu'il y a là deux notions distinctes. Pour Hume, la causalité est juste des corrélations qui n'ont pas encore reçu de contre exemple venant de l'observation. D'où cette présentation de Kant dans la préface des ses *Prolégomènes à toute métaphysique future qui voudrait se présenter comme science :

Depuis les essais de Locke et de Leibniz, ou plutôt depuis la naissance de la métaphysique, aussi haut qu’en remonte l’histoire, on ne peut citer aucun événement d’un caractère qui eût pu être décisif dans les destinées de cette science, que l’attaque dirigée contre elle par David Hume. Il n’apporta aucune lumière dans cette espèce de connaissance ; mais il fit jaillir une étincelle qui eût pu produire la lumière, si elle était tombée sur une matière inflammable, et si l’action en eût été entretenue et augmentée.

Hume partit surtout d’un concept unique de la métaphysique, mais important, à savoir du concept de la liaison de la cause et de l’effet (par conséquent aussi de la notion consécutive à celle-là, celle de force et d’action, etc.) ; il somma la raison, qui prétend l’avoir engendré dans son sein, de lui dire de quel droit elle pense que quelque chose peut être de telle nature que, s’il est posé, quelque autre chose nécessairement doit être aussi posé par le fait ; car c’est ce que dit la notion de cause. Il prouve invinciblement qu’il est tout à fait impossible à la raison de penser a priori et par des notions une pareille liaison, puisqu’elle renferme une nécessité. Au contraire, on ne saurait voir comment, parce que quelque chose existe, quelque autre chose doit aussi exister nécessairement, ni de quelle manière par conséquent la notion d’une pareille liaison peut s’établir a priori. D’où il conclut que la raison se trompe entièrement sur ce concept ; qu’elle le tient faussement pour son enfant, qu’il n’est qu’un bâtard de l’imagination, qui, engrossée par l’expérience, a soumis certaines représentations à la loi de l’association, et fait passer une nécessité subjective qui en découle, c’est-à-dire une habitude, pour une nécessité objective par intuition. D’où il conclut que la raison ne possède aucun pouvoir de former par la pensée de semblables liaisons, même d’une manière purement générale, parce qu’alors ses concepts ne seraient que de pures fictions, et que toutes ses prétendues connaissances a priori ne seraient que des expériences communes estampillées faussement ; ce qui revient à dire qu’il n’y a pas de métaphysique du tout, et qu’il ne peut y en avoir aucune[2]. Si téméraire et si fausse que fût la conséquence, elle était du moins fondée sur une recherche qui méritait bien que les bons esprits de l’époque unissent leurs efforts pour résoudre aussi heureusement que possible le problème dans le sens où il avait été posé, solution d’où toute une réforme de la science eût dû bientôt sortir.

Mais le sort contraire qui s’attache toujours à la métaphysique voulut que Hume ne fût compris de personne. On ne peut voir sans en éprouver un certain déplaisir comment ses adversaires Reid, Oswald, Beattie, et enfin jusqu’à Priestley, manquèrent le point de la question, parce qu’ils admettaient toujours comme accordé cela même qui était en doute, et qu’ils prouvaient au contraire avec chaleur et le plus souvent avec une grande inconvenance ce dont il n’avait jamais eu la pensée de douter ; ils méconnurent tellement le signal de la réforme que tout resta dans l’ancien état de choses, exactement comme si rien ne fût arrivé. La question n’était pas de savoir si la notion de cause est légitime, applicable, et nécessaire par rapport à toute la connaissance de la nature, car Hume n’en avait jamais douté ; mais il s’agissait de savoir si elle est conçue a priori par la raison, et si elle possède ainsi une vérité interne, indépendante de toute expérience, et qui par conséquent soit susceptible d’une utilité bien plus étendue, qui ne soit pas restreinte aux seuls objets de l’expérience : voilà ce que demandait Hume. Il n’était question que de l’origine de ce concept, et nullement de sa nécessité pratique ; cela trouvé, c’en était fait des conditions de l’usage et de l’étendue de sa légitimité.

Mais les adversaires du grand homme auraient été obligés, pour répondre à sa question, de pénétrer très avant dans la nature de la raison, comme faculté de la simple pensée pure, ce qui ne leur était pas commode. Ils imaginèrent en conséquence un moyen plus facile, sans aucune pensée d’agir avec autorité, ce fut d’en appeler au sens commun. C’est sans doute un grand bienfait du ciel que de posséder un entendement sain (ou simple, comme on l’a nommé récemment). Mais il faut le prouver par des faits, en montrant de la réflexion et de la raison dans ce qu’on pense et ce qu’on dit, et non point en y faisant appel comme à un oracle, quand on ne sait rien dire de propre à justifier ses assertions. Quand l’intelligence et la science sont en défaut, alors et pas plus tôt on fait appel au sens commun ; c’est une des subtiles inventions de notre temps, à l’aide de laquelle le parleur le plus futile peut entreprendre l’esprit le plus solide et lui résister. Mais tant qu’il reste encore quelque peu d’idées, on se garde bien de recourir à cette ressource. À voir la chose de plus près, cet appel n’est qu’un recours au jugement de la multitude ; approbation dont la philosophie rougit, mais dont se prévaut et s’enorgueillit le parleur populaire. Je dois croire pourtant que Hume eût pu prétendre avec autant de droit que Beattie au sens commun, et de plus, à ce que ne possédait assurément pas celui-ci, je veux dire une raison critique qui retient le sens commun dans ses limites naturelles, l’empêche de s’égarer dans les spéculations, ou, s’il en est question, de prétendre à rien décider, par la raison qu’il ne peut rendre raison de ses principes : ce n’est qu’à cette condition que le sens commun restera un entendement sain. Un ciseau et un maillet peuvent très bien servir à travailler un morceau de bois, mais s’il s’agit de graver sur cuivre il faut un poinçon. Ainsi le sens commun et le sens spéculatif sont tous les deux utiles, mais chacun dans son espèce : celui-là s’il s’agit de jugements qui trouvent leur application immédiate dans l’expérience, celui-ci quand il faut juger en général, par simples notions, par exemple en métaphysique, où ce qui s’appelle le bon sens, mais souvent par antiphrase, ne pense absolument rien.

C'est un bon résumé de la situation dans laquelle se trouvait Kant lorsqu'il entreprit son œuvre : il lui fallait sauver la causalité des attaques de David Hume, sans cela, outre la métaphysique, c'est la physique théorique elle même qui aurait du s'écrouler par absence de fondement. Kant était un newtonien convaincu et on lui doit le premier modèles de formation du système solaire basé sur la théorie de la gravitation de Newton. La réponse de Kant à Hume est la thèse résumé par Maillat dans sa diapositive. Mais pour se faire, il du marcher dans les pas d'Aristote. Cela se trouve au chapitre sur la logique transcendantale dans la Critique de la raison pure.

D’après cela, il y aura autant de concepts purs de l’entendement, s’appliquant à priori à des objets d’intuition, qu’il y avait, d’après la table précédente, de fonctions logiques dans tous les jugements possibles ; car ces fonctions épuisent entièrement l’entendement et en mesurent exactement la puissance. Nous donnerons à ces concepts, suivant le langage d’Aristote, le nom de catégories, puisque notre dessein est identique au sien dans son origine, bien qu’il s’en éloigne beaucoup dans l’exécution.

Et sa table des catégories (dont fait partie la causalité) est construite en miroir de la table qui expose la structure formelle de nos jugements en logique. On trouve ce chapitre sur wikisource, on tu y trouveras les deux tables. On y voit que le concept de causalité renvoie à la forme des jugements hypothétiques (si A alors B) en tant que deuxième catégorie de la relation.

C'est cela que j'ai exposé dans premier message, et la correspondance entre ces deux tables suit exactement le même principe que le correspondance de Curry-Howard exposé par Xavier Leroy dans son cours au Collège de France. Autrement dit, la synthèse par Maillat de la philosophie kantienne se concentre uniquement sur sa réfutation de Hume (mais nullement sur celles des autres rationnaliste, qui est situé dans le chapitre sur la dialéctique transcendantale de la Critique de la raison pure), ce qui exclut certes l'empirisme mais laisse intact les autres formes de rationnalisme, ce qui renvoie non aux réseau de neurones mais plutôt à la programmation fonctionnelle statiquement typée.

Alors, je ne nie pas l'utilité du principe d'abduction (après tout, c'est celui que l'on utilise lorsque l'on conclue de l'existence de fossiles à celle des dinosaures), mais il ne saurait venir en place de premier principe (il est un principe dérivé, qui présuppose déjà la causalité, et ne donne que des conclusions probables et non certaines) dans l'ordre du savoir humain.

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

Je pense que tu veux bien dire qu'elles ne sont qu'une pâle imitation du fonctionnement de notre esprit, mais .. ben dans le doute ?

Oui, je me suis embrouillé avec une double négation (assez ironique, si l'on sait que la double négation fût source de débats entre platonicien et intuitionniste en philosophie des mathématiques). Je conteste que l'on épuise le fond de l'a priorisme kantien et que ces IA soient intelligentes (à quelque degré que ce soit).

Il en faudrait bien plus pour me convaincre du contraire (si tant est que ce soit possible). Ce que je trouve étonnant dans cette conférence, par exemple, c'est sa présentation de l'idéalisme transcendantale :

idéalisme transcendantal : connaissance résulte du traitement de l'expérience par les formes a priori de l'esprit

Premièrement, cette thèse centrale chez Kant est le cœur de sa réfutation de l'empirisme humien : le concept de cause est a priori, établi en correspondance avec la forme des jugements hypothétiques. Deuxièmement, si l'on cherche un équivalent en informatique théorique c'est dans l'analyse statique et les logiques de programmes que cela se trouve, non dans les réseaux de neurones. C'est aussi enseigné au Collège de France, c'est la première année de cours de Xavier Leroy : Programmer = démontrer ? La correspondance de Curry-Howard aujourd'hui. Approche de la programmation assez aux antipodes des réseaux de neurones, mais personne ne viendra soutenir que l'implémentation du type checker d'un assistant de preuves comme Rocq confère l'intelligence à nos machines (et pourtant, on est bien plus proche de Kant que via le principe d'abduction). Et il y a une différence fondamentale dans le résultat obtenu : dans un cas (Kant et Curry-Howard) on obtient la certitude d'un programme « sans bugs », dans l'autre (générateur de code) on prie pour que tout se passe bien.

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

J'ai du mal avec l'idée de concept inné.

L'expression de concept inné ne me satisfait pas entièrement non plus. Elle laisse sous entendre que les concepts ne sont pas acquis, alors qu'ils le sont, mais ils le sont d'une manière distinctes de ceux d'origine proprement expérimentale. Tous les concepts mathématiques sont de cette sorte mais, pour reprendre un exemple étudié dans la conférence de Stéphane Mallart, il n'en est pas de même du concept de « chat » , qui n'a pu être acquis que par l'observation et l'existence empirique de cet animal. Les concepts mathématiques, en revanche, sont en nous a priori, c'est à dire antérieur à toute expérience réelle et effective, mais nous n'en prenons conscience (c'est ainsi que nous les acquérons, de façon consciente) que par une réflexion sur notre propre activité cognitive mise en exercice par l'expérience.

As-tu regardé la conférence de Stéphane Mallart ? Son exposé des différents courant en théorie de la connaissance se situe entre 8min30 et 11min30 environ. Historiquement, le rationnalisme trouve son origine chez Platon, plus particulièrement exposé dans le dialogue du Ménon. Socrate y développe sa théorie de la réminiscence, qui commence à partir d'ici dans le dialogue :

• Ménon : J’y consens, Socrate. Mais te borneras-tu à dire simplement que nous n’apprenons rien, et que ce qu’on appelle apprendre, n’est autre chose que se ressouvenir ? Pourrais-tu m’enseigner comment cela est ainsi ?

• Socrate : J’ai déjà dit, Menon, que tu es un rusé. Tu me demandes si je puis t’enseigner, dans le temps même que je soutiens qu’on n’apprend rien, et qu’on ne fait que se ressouvenir, afin de me faire tomber sur-le-champ en contradiction avec moi-même.

Ce ressouvenir, ou réminiscence, est ce processus d'acquisition d'un savoir qui est en nous a priori, c'est à dire antérieur à toute expérience effective. Pour illustrer son propos, Socrate fera démontrer, à un esclave de Ménon, le théorème de pythagore dans le cas particulier du triangle rectangle isocèle en traitant le problème de la duplication du carré. En arrière plan, il y a une crise des fondements des mathématiques pythagoriciennes (pour qui tout est nombre entier) avec la preuve d'irrationalité de la racine de 2, et un cas de non arrêt de l'algorithme d'Euclide. De nos jours, l'algorithme d'Euclide étant employé sur des nombres entiers, il termine toujours, mais si on l'interprète géométriquement, il y a des cas de non terminaison, d'où l'irrationalité de la racine de 2 (on trouvera une illustration de cela à la page 14 de cet article de Jean Dieudonné).

Depuis, les rationalistes de tout temps soutiennent que certaines de nos connaissance ne sont pas d'origine expérimentale (telles sont, en particulier, les connaissances mathématiques) mais ont leur origine en nous a priori. Alors, on pourrait certes dire, d'un certain point de vue, qu'elles sont innées, bien qu'elles doivent d'un autre côté être acquise par un travail de reflexion sur soi même, travail que Socrate appelait réminiscence.

C'est pur cela que, dans son article Efficacité et identité des mathématiques, Jean-Michel Salanskis, lorsqu'il évoque ce passage du Ménon, ajoute ce commentaire :

Un tel événement est ce qu’on a toujours associé à la notion d’enseignement magistral. Lorsque le savoir est dispensé par le maître, l’élève est susceptible de le recevoir de façon parfaite (tout spécialement si le maître est parvenu à donner une forme translucide à son explication) : dans cette hypothèse, il devient immédiatement l’égal du maître, et se trouve en mesure de le reprendre s’il dévie de ce que lui, comme élève, a pleinement compris. Tous les adeptes de l’enseignement magistral savent qu’une telle aventure leur pend au nez. La dispensation magistrale du savoir est possiblement égalisante, ou peut-être même égalisante dans son principe.

J'ajouterais, simplement, que c'est une représentation idyllique du cours magistral : ce serait un rêve de tout enseignant si chaque élève se retrouvait, de fait, dans cette situation d'égal à égal avec son maître; la réalité étant que seule une partie des étudiants se retrouvent dans cette situation. Raison pour laquelle, comme le souligne Stéphane Mallart à la fin de sa conférence, le phénomène d'hallucination n'est pas propre aux LLM, mais tout enseignant y est confronté dès qu'il corrige des copies d'examens ou fait passer des oraux.

J'espère avoir éclairci ce qu'il faut entendre par connaissance innée, ou pure ou a priori. En cela, de Platon, en passant par Descartes, Spinoza, Leibniz, jusqu'à nos jours, tous les rationnalistes s'accordent là-dessus : il est impossible de rendre compte de la connaissance mathématique en la faisant dériver de l'expérience; les mathématiques ne sont pas une science expérimentale.

La révolution qu'inaugura Kant, comme évoqué dans la conférence du lien, dans la tradition rationnaliste, poussé en cela par les critiques de l'empirisme de David Hume, ne concerne par l'origine de certaines de nos connaissances, mais les limites de validité de leur usage. À partir du moment où certains de nos concepts et principes ne sont pas d'origine expérimentale, la tentation est grande d'en faire un usage qui va au delà des limites de toute expérience possible, c'est à dire un usage transcendant. Par exemple, Platon, pour expliquer la réminiscence, développe une théorie de la métempsycose ou réincarnation des âmes (l'acquisition dans cette vie de ces connaissances pures est un processus qui consiste à se ressouvenir d'un état antérieur de notre âme oubliée par leur réincarnation successive), Descartes et Leibniz prétendaient prouver l'immortalité de l'âme et l'existence de Dieu, et j'en passe. Ce que fit Kant, c'est d'accorder l'origine a priori de certains concepts et principes, d'en faire l'inventaire complet pour ce qui concerne les notions primitives de la philosophie (sa philosophie est un désassembleur de la structure formelle de l'esprit humain, s'il m'est permis d'utiliser cette analogie), mais d'en limiter leur usage aux limites de l'expérience possible à la satisfaction des empiristes. C'est ainsi que dans un de ses transparents, Stéphane Mallart écrit :

Idéalisme transcendantal : connaissance résulte du traitement de l'expérience par les formes a priori de l'esprit

Idéalisme qui donnera naissance au courant pragmatiste américain sous l'influence de Charles Sander Pierce, courant auquel Stéphane Mallart rattache le fonctionnement de l'apprentissage profond.

Pragmatisme : la connaissance est ce qui permet de résoudre des problèmes pratiques, les décisions utilisent des probabilités.

Le lien entre les deux est ce que j'ai exposé avec le lien entre le principe d'abduction et la loi de Bayes.

Je conteste, néanmoins, que par là on épuise le fond de la théorie kantienne de la connaissance, et que c'est soit disant intelligence artificielle n'ont rien d'une intelligence. Elle ne sont qu'une pâle imitation du fonctionnement de notre esprit. Stéphane Mallart semble vouloir justifier qu'il y a une certaine forme d'intelligence dans nos machines, en insinuant : c'est comme chez Kant et Pierce, il y a de l'a priori dans nos réseaux de neurones, il y a donc une forme d'intelligence dans ses réseaux. Mais, d'une part, il ne développe pas assez (contrairement à ce que j'ai fait) ce qui distingue réellement un a priori de type kantien, d'un a priori à la sauce Platon, Descartes ou Leibniz (ce qui eut été la moindre des choses), mais surtout il n'est que lointainement de type Kantien, et ce n'est sûrement pas comme cela que l'humanité a abouti aux équations de Navier-Stokes (qu'à terme les IA génératives puissent être plus fiable pour prédire la météo que les modèles de Météo France peut s'entendre d'un point de vue pragamatique, mais ça ne change pas que notre esprit ne fonctionne pas ainsi).

Pour ce qui est de la causalité, comment expliquer par exemple la survivance si tardive de la théorie de la génération spontanée ?

Je ne vois pas bien le rapport entre cette question et l'existence de connaissance pure et a priori.

P.S : j'aimerai bien savoir ce qu'il y avait d'inutile dans mon commentaire, pour celui qui l'a jugé ainsi.

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

Il semble refaire la même conférence que celle qu'il avait donnée sous le titre Mystères mathématiques d’intelligences pas si artificielles au Collège de France lors d'un colloque sur l'intelligence artificielle au mois d'octobre dernier.

Au moins, ceux qui pensent que toute notre connaissance vient de l'expérience, justifiant ainsi le fonctionnement de l'apprentissage profond, y réfléchiront peut être à deux fois maintenant (cf. une discussion ici même sur le fondement du savoir humain).

Cela étant dit, je reste tout de même sceptique sur la filiation kantienne de IA génératives. Si je vois bien du Kant dans l'informatique et les mathématiques contemporaines, c'est à coup sûr dans les théories des types : la théorie homotopique des type pour les mathématiques, et les systèmes de type de langage comme Haskell, OCaml ou Rust pour l'informatique.

Si on se limite à la partie théorie de la connaissance de la doctrine kantienne, on peut se concentrer sur sa réfutation du point de vue de David Hume (de l'école anglaise empiriste) sur le concept de cause et effet. Pour Hume, cette notion est d'origine empirique, acquise parce que nous avons toujours perçu que certains évènements succèdent toujours à d'autres (comme le mouvement des boules sur un billard). Kant le réfute en soutenant que l'expérience (comme l'observation du billard) n'est que l'occasion, pour nous, de faire usage de notions que nous possédons en nous antérieurement à toute expérience : elles sont en nous a priori (innées, si l'on veut). Tel est le cas de la notion de cause et d'effet, et du principe de causalité qui va avec. Cette notion trouve son origine dans la correspondance avec la forme logique des jugements hypothétiques (si A alors B) et le principe dans la règle logique de leur usage (le modus ponens, si A alors B, or A donc B).

Cette correspondance, restreinte à l'usage mathématique de nos facultés de connaissance, donne la correspondance de Curry-Howard, au cœur des théories des types sus-mentionnées. Par exemple, le type générique d'un application de fonction est la règle du modus ponens.

let apply f x = f x;;
val apply : ('a -> 'b) -> 'a -> 'b

Ici, en OCaml, le type checker me dit que le type générique d'une fonction apply, qui prend pour paramètre une fonction f et une valeur x pour appliquer f à x, a pour type la règle du modus ponens. La fonction f a un type formellement équivalent a un jugement hypothétique ('a -> 'b, si A alors B), la valeur x doit avoir un type équivalent à l'antécédent du jugement (ici 'a ou A) et en sortie on a la conclusion du modus ponens à savoir 'b ou B. Appliquer un fonction ou appliquer un théorème, c'est le même acte intellectuel.

Pour les adeptes de la programmation impératives, on retrouve ces principes dans la logique de Hoare. Une instruction fait passé la machine d'un état A à état B par une instruction S, selon un principe analogue au modus ponens : et là, on est en plein chez Kant. Qui dit changement d'état, dit cause agissante; et derrière cette instruction S, il y a des principes physiques, des lois causales physiques, lois qui à l'heure actuelle sont à chercher principalement du côté de l'électronique.

Maintenant, comme l'expose Stéphane Mallart, le cœur de l'apprentissage profond et des réseaux de neurones c'est le calcul des probabilités et des probabilités conditionnelles. On y trouve comme principe fondamental la loi de Bayes :

P (A | B ) = P (B | A) * P (A) / P (B)

Cette loi est une version probabiliste d'un principe logiquement faux. Là où le modus ponens affirme :

• si A alors B, or A donc B

le principe logique correspondant à la loi de Bayes est :

• si A alors B, or B donc A

Néanmoins, si l'on ajoute des modalités (possibilité et nécessité) à nos jugement, la règle devient valide si l'on ne conclue pas à la nécessité de A (comme dans le modus ponens), mais seulement à la possibilité de A, ce qu'exprime en terme de calcul des probabilités le loi de Bayes. C'est ce que nous faisons quand nous concluons de la cause à l'effet. Charles Sander Pierce, disciple de Kant et père du pragmatisme, avait appelé cette règle principe d'abduction.

Alors, certes, il y a bien de l'a priori dans les réseaux de neurones (comment pourrait-il en être autrement ?), mais il n'est pas dans les réseaux eux mêmes, comme le soutient Stéphane Mallart, mais dans la façon dont nous les pensons et les concevons. Cependant, une telle position, réellement kantienne, ne va pas dans le sens de ceux qui veulent voir de l'intelligence pas si artificielle dans leur machine. ;-)

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

De toutes manières, l'argument est solide, sinon il n'aurait jamais été publié et validé; il n'a rien à voir avec prendre l'avion ou traverser la rue.

Solide, il l'est ! mais il ne date pas d'aujourd'hui. Il traverse toute l'histoire de la philosophie, il a dominé les débats entre écoles philosophiques de toute l'antiquité et, selon Jules Vuillemin, il est au fondement de toute sa métasystèmique de la philosophie. Ce que tu décris ressemble furieusement à l'argument dominateur de Diodore.

Selon Epictète :

L’argument dominateur paraît avoir été posé en vertu des principes suivants : il y a contradiction mutuelle entre ces trois propositions : tout ce qui s’est réalisé dans le passé est nécessaire ; l’impossible ne peut pas être une conséquence du possible ; et : il y a du possible qui n’a point de réalité actuelle et n’en aura pas.

Ayant conscience de cette contradiction, Diodore s’appuyait sur la vraisemblance des deux premières propositions pour établir celle-ci : rien n’est possible qui n’ait ou ne doive avoir une réalité actuelle.

Or, des deux propositions à choisir, voici celles qu’un autre conservera : il y a du possible qui n’a ou n’aura pas de réalité actuelle, et : l’impossible ne peut être une conséquence du possible, mais non la suivante : tout ce qui s’est réalisé dans le passé est nécessaire. Telle paraît être l’opinion de l’école de Cléanthe avec laquelle Antipater était pleinement d’accord.

D’autres, au contraire, conservent le groupe suivant de propositions : il y a du possible qui n’a ou n’aura pas de réalité actuelle, et : tout ce qui s’est réalisé dans le passé est nécessaire ; et ils affirment alors que l’impossible peut être une conséquence du possible. […]

Si donc on me demande : « et toi, lesquelles de ces propositions conserves-tu ? » je répondrai que je n’en sais rien. Mais j’ai reçu l’information suivante : Diodore conserverait telles propositions, l’école de Panthoidès, je crois, et Cléanthe telles autres, et celle de Chrysippe d’autres encore.

La surcouche en terme de calcul des probabilités ne sert à rien, c'est un problème de logique modale (toute mesure de proba induit un logique modale, mais la réciproque n'est pas vraie). Lorsque Diodore affirmait que « rien n’est possible qui n’ait ou ne doive avoir une réalité actuelle », il affirmait, en terme de calcul des probabilités, que ce qui a une mesure non nulle arrivera nécessairement un jour. La théorie que tu mentionnes ajoute simplement comme prémisse que la cause de l'apocalypse a une proba non nulle.

Jacques Bouveresse dans sa série de cours sur le thème « nécessité, contingence et liberté chez Leibniz » est revenu en détails sur l'aporie de Diodore : Le Dominateur, les possibles et le problème de la liberté.

On notera la subtilité de la position de Chrysippe qui rejette la conclusion de Diodore (et donc celle de la théorie que tu évoques) en rejetant la logique modale classique au profit de la logique modale intuitionniste. En terme de proba, cela signifie qu'il rejette l'équivalence P(A) = 0 ssi P(non A) = 1. Ce qui revient à prendre pour modèle sémantique de la logique modale des algèbres de Heyting et non des algèbres de Boole (comme en calcul des probabilités classique) : une double négation n'est pas équivalente à une affirmation, on rejette le tiers-exclus, le principe du raisonnement par l'absurde…

Quoi qu'il en soit, je trouve que tu vas sacrément loin d'en appeler au dominateur pour rejeter une remarque du style « à force de crier au loup, on ne vous écoute plus », surtout quand elle répond à une affirmation manifestement excessive. D'autant qu'alors tu t'exposes à voir s'opposer à toi un partisan de la théodicée de Leibniz à la mode Pangloss : « tout est pour le mieux dans le meilleur des mondes possibles » (c'est ainsi que Voltaire raillait, dans son Candide, la position de Leibniz sur le dominateur).

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

mais en reprenant la remarque selon laquelle ce n’est pas parce qu’on n’entend ou ne voit pas l’arbre qui tombe quelque part en Amazonie que ça veut dire que cet arbre n’existe pas, on est en train de faire aussi la distinction entre l’objet observé et l’objet en soi…?

J'ai bien envie de te répondre de remplacer l'arbre par le chat de Schrödinger. ;-)

Mais sinon, non, on n'est pas dans la distinction objet observé et objet en soi. C'est toujours la première acception comme absence effective d'observateur, et non celle d'abstraction du rapport à un observateur.

Mais Kant avait tout prévu pour moi. En réalité, il a reçu les mêmes objections, auxquelles il a répondu par :

Bien avant Locke déjà, mais surtout depuis, on admettait et on accordait généralement que l’on peut dire, sans préjudice de l’existence réelle de choses extérieures, d’une multitude de leurs prédicats, qu’ils ne font point partie de ces choses considérées en elles-mêmes, qu’ils n’appartiennent qu’à leurs phénomènes, et n’ont aucune existence propre en dehors de notre représentation. De ce nombre étaient la chaleur, la couleur, la saveur, etc. Si j’y ajoute par de bonnes raisons le reste des qualités des corps, qu’on appelle premières, l’étendue, le lieu, et en général l’espace avec tout ce qui en dépend (impénétrabilité ou matérialité, forme, etc.), et que je mette tout cela au nombre des simples phénomènes, c’est à quoi on ne pourra trouver raisonnablement à redire. Et de même que celui qui ne regarde pas les couleurs comme des propriétés qui fassent partie de l’objet même, mais comme des modifications qui tiennent au sens de la vue, ne peut cependant point s’appeler idéaliste, de même ma doctrine ne peut être traitée d’idéalisme par le seul fait que je trouve qu’un plus grand nombre de propriétés des corps, que toutes les propriétés même qui constituent l’intuition d’un corps, n’appartiennent qu’à son phénomène ; car l’existence de la chose qui apparaît n’est point par là même supprimée, comme dans le véritable idéalisme ; mais par là on fait voir seulement qu’on ne peut absolument pas connaître par les sens la chose telle qu’elle est en soi.

Là quant il parle de Locke, c'est ce dont je parlais plus haut avec le réalisme naïf de Russell ou la physique anthropomorphique de Poincaré.

Oui, les gens vont te prendre pour fou (:

Ça c'est parce que l'on est en occident, demande à un bouddhiste, il sera tout de suite moins interloqué. C'est pour cela que dans la discussion sur l'autre lien, je parlais de l'enfant bouddhiste de Matrix qui dit que la cuillère n'existe pas.

D'ailleurs un des deux auteurs de l'article, que je donne dans un autre commentaire sur le lien entre Bohr et Kant, est bouddhiste : Michel Bitbol. Je l'ai rencontré il y a une quinzaine d'année, et j'avais débattu de l'esthétique transcendantale de Kant avec lui. On n'a jamais réussi à se mettre d'accord, non qu'il en rejette l'esprit, mais il rejette la lettre car il en a la même lecture que Poincaré : elle est remise en cause par les géométries non-euclidiennes. Je conteste cette lecture, mais c'est un autre sujet.

Auquel cas, je vous déclare réconciliés

Il a dit avoir une conception proche de celle de Bohr, auquel cas nous n'avons jamais été en désaccord (cf. l'article de Michel Bitbol) ;-)

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

Allez, je m'essaye à ce que j'avais promis : pourquoi ne peut-on faire de mathématiques (et donc a fortiori de physique) sans poser les intuitions pures de l'espace et du temps comme fondement ?

Nous allons, pour cela, faire un bon dans le temps et remonter en mésopotamie 3200 ans avant notre ère. Comme stipuler dans la brochure sur l'histoire des mathématiques de mon précèdent message, c'est là que remonte les premières traces d'activité mathématique. On y faisait de l'arithmétique élémentaire afin de compter les nombres de têtes de bétails dans les troupeaux, dans un système rudimentaire en base 10 constitué de batônnets et de billes d'argiles. Plus tard, vers -2500 ans, ils furent remplacer par des encoches sur des tablettes. Comme l'écrivait Gilles Dowek dans Les métamorphoses du calcul :

Il est même vraisemblable, quoiqu'il soit difficile d'avoir des certitudes en ce domaine, que l'écriture ait été inventée précisément pour tenir des livres de comptes et que les chiffres soient, de ce fait, antérieurs aux lettres. Même si certains ont du mal à l'admettre, nous devons probablement l'ensemble de la culture écrite à la bien peu romantique profession de comptable.

Je fais une petite disgression pour conseiller la lecture de ce livre (qui aborde la question que j'évoquais plus haut de Frege vs Kant, entre autres) pour ceux intéressés par les problèmatiques mathématiques qui ont amené Turing a développer sa notion de machine unverselle à calculer, ainsi que par les liens ténus qu'entretiennent le calcul et le raisonnement mathématique. Son auteur, Gilles Dowek, nous a malheureusement quitté cet été. Il était directeur de recherche à INRIA et travaillait principalement dans le domaine de la preuve assistée par ordinateur.

Mais revenons à nos moutons (aux sens propre, comme aux sens figuré) et à la question du dénombrement. Voilà notre propriétaire qui arrive avec ces moutons, les confie au berger, et ils se mettent tous les deux à compter pour se mettre d'accord : O O I I. Il y a deux billes et deux batôns, le troupeau est constitué de 22 têtes. On voit déjà qu'ils ont mis au point un algorithme de compression : avec simplement des batôns, il en aurait fallu 22 (où l'on voit apparaître la bijection entre les têtes de bétails et l'ensemble de bâtons) tandis qu'en remplaçant dix batôns par une bille, il leur suffit de 4 objets pour compter le troupeau : on gagne en espace de stockage. Le système algorithmique est même plus complet que ce couple de dénombrement puis compression, puisqu'ils y ajoutent une signature (sous la forme d'un sceau du propriétaire) ainsi que l'intervention d'un tiers de confiance, en la personne d'un comptable, afin de conserver la bourse scellée contenant billes et bâtons durant toute la durée de la garde.

Maintenant, oublions leur algorithme de compression et, tel un enfant comptant sur ses doigts, limitons nous à l'usage de bâtons. Nous avons là ce que les mathématiciens appellent les entiers unaires. Représentation peu efficace à l'usage, comme l'avait déjà constater les mésopotamiens, mais qui est pourtant la structure de données la plus élémentaire utilisée en informatique : la liste chaînée.

Afin d'illustrer la chose simplement, limitons nous au nombre 5.

│  │  │  │  │

Maintenant, je rajoute une flèche entre chaque bâtons :

│  →  │  →  │  →  │  →  │

Et voilà notre liste chaînée : c'est une liste dont chaque cellule comporte un bâton et qui pointe (la flèche) vers un autre cellule, jusqu'à la dernière qui n'a pas de flêche car pointant sur NULL (l'absence, le zéro).

Rien que dans cet exemple simple, déjà pratiqué il y a plus de 5000 ans, on voit illustrer la théorie kantienne du schématisme.

Le schème n’est toujours par lui-même qu’un produit de l’imagination ; mais, comme la synthèse de cette faculté n’a pour but aucune intuition particulière, mais seulement l’unité dans la détermination de la sensibilité, il faut bien distinguer le schème de l’image. Ainsi, quand je place cinq points les uns à la suite des autres ….., c’est là une image du nombre cinq. Au contraire, quand je ne fais que penser un nombre en général, qui peut être ou cinq ou cent, cette pensée est plutôt la représentation d’une méthode servant à représenter en une image, conformément à un certain concept, une quantité (par exemple mille), qu’elle n’est cette image même, chose que, dans le dernier cas, il me serait difficile de parcourir des yeux et de comparer avec mon concept. Or c’est cette représentation d’un procédé général de l’imagination, servant à procurer à un concept son image, que j’appelle le schème de ce concept.

Dans le cas du nombre entier, comme il le dira par la suite :

Le nombre n’est donc autre chose que l’unité de la synthèse que j’opère entre les diverses parties d’une intuition homogène en général, en introduisant le temps lui-même dans l’appréhension de l’intuition.

Ces deux extraits sont à retrouver au chapitre sur le schématisme.

Ainsi, pour obtenir le nombre, il me faut un divers (dans l'espace, ici les bâtons ou les têtes de bétails) que je parcours, dans le temps, pour unifier ce divers en un tout par une activitée de synthèse (la liaison de la liste) qui produit le nombre. Et si je pense à un nombre en général, non un nombre en particulier comme 5 dans notre cas, alors j'ai plus en pensée un procédé de construction, procédé que Kant appelle le schème du concept. Raison pour laquelle Kant définira la mathématique comme la connaissance rationnelle par le construction de concepts. En mathématique, nous construisons des structures de données dans l'espace et le temps, le procédé n'étant pas limité au cas du nombre entier, bien que soit dans celui-ci qu'il est le plus simplement compréhensible (et qui fut le premier historiquement parlant).

J'espère avoir faire comprendre ce que je voulais dire par la nécessité de l'espace et du temps pour construire des objets mathématiquement. Comme je m'étais engagé à traiter du lien entre la syntaxe et la sémantique du langage (le lien entre ⊢ et ⊨), je vais m'y essayer maintenant. Pour ceux qui ne sont pas au courant du début des échanges, cela fait suite à une autre discussion avec Pierre-Matthieu et mahikeulbody déjà au sujet du problème de l'unification de la relativité générale et de la physique quantique.

Lorsqu'un logicien utilise un symbole du type A ⊢ B, il veut dire par là que sous l'hypothèse A, on peut prouver B, ou que B est une thèse de la théorie ayant A pour principe. Dans l'usage du symbole ⊢, il ne s'agit que d'une manipulation purement formelle et syntaxique des propositions selon certaines règles que l'on appelle règle de déductions (ou règles d'inférence), règle par lesquelles on étudie le rapport de consécution entre jugements.

Maintenant, lorsqu'un logiciel utilise une expression du type M ⊨ P, il veut dire que la proposition P est satisfaite par l'objet M, ou que P est vrai pour M, ou que M est un modèle de P. Ici on ne considère plus nos jugements dans leur rapport respcetifs, mais dans leur rapport avec le monde des objets (construits dans l'espace et le temps).

Un exemple simple pour mettre les choses au clair, étudions le cas de la disjonctions le ou. Dans les régles de déduction, je vais en considérer deux celle qui introduit les jugements hypothétiques (si A alors B) et celles qui introduit les jugements disjonctifs (le ou) :

• de A ⊢ B on peut déduire ⊢ si A alors B ;
• de Env ⊢ P on peut déduire Env ⊢ P ou Q (où Env est un ensemble de propositions, et Q une proposition quelconque) ;
• on peut déduire toute proposition d'elle-même A ⊢ A

Partant des ces règles, dont leur usage ne relève que d'un simple jeu syntaxique, on peut prouver, sans hypothèse ⊢ si P alors (P ou Q). C'est là une magnifique tautologie, on appelle d'ailleurs tautologie ce qui peut se prouver sans hyptohèse (la partie à gauche du taquet ⊢ est vide). La preuve est comme suit :

de P je peux poser P, P ⊢ P, j'applique la seconde règle (où Env vaut P) ce qui donner P ⊢ P ou Q puis je finis avec la première règle ⊢ si P alors (P ou Q).

Voilà ce qui se passe quand on fait une démonstration. En revanche, lorsque l'on calcule des tables de vérités (avec des booléens true et false), alors on fait de la sémantique, on utilise le ⊨. Un solveur SAT cherche si un proposition P qu'on lui donne en entrée admet un modèle, c'est-à-dire des valuations booléennes de toutes les variables constitutant P telles que M ⊨ P où M est l'ensemble des valuations booléennes.

Les contraintes que l'on veut sur notre système de règles déduction sont celles-ci :

• si on peut y prouver un proposition sans hyptohèse, alors elle doit être une tautologie sémantique (vrai pour toutes valuations booléennes) ;
• réciproquement, si on a une tautologie sémantique, alors elle doit être prouvable.

On dit alors que notre système est déductivement complet, c'est cela que Gödel à prouver sous le nom de théorème de complétude : il prouve tout ce que l'on peut prouver. Ce faisant il a écrit le premier desassembleur interactif de l'histoire par cette preuve (si l'on interpète via Curry-Howard la preuve de ce théorème, c'est un desassembleur).

Ce théorème est de la plus grande importance pour le seconde théorème qui suivit : le théorème d'incomplétude. Maintenant, si au lieu de prendre des tautologies, on s'intéresse à ce que l'on peut prouver dans une théorie donnée, disons celles des entiers unaires dont on parlait tout au début. On parle alors de l'arithémtique de Péano (une théorie axiomatique qui décrit les règles de constructions des entiers unaires). Gödel a alors montré que cette théorie contient des énoncés (que l'on peut exprimer dans son langage) qu'elle ne peut ni démontrer ni réfuter, à commencer par sa propre cohérence. Et ce résultat, grâce au théorème de complétude précédent, n'est pas du à un défaut de déductions des règles de preuves (elles sont complètes) mais à une incomplétude de la théorie : elle ne peut décider de toutes les questions qu'elle pose.

Je ne peux m'empêcher, à nouveau, de citer un passage de la Critique de la raison pure :

Qu’est-ce que la vérité ? C’est avec cette vieille et fameuse question que l’on pensait pousser à bout les logiciens, et que l’on cherchait à les prendre en flagrant délit de verbiage ou à leur faire avouer leur ignorance, et par conséquent la vanité de tout leur art. La définition de nom qui consiste à dire que la vérité est l’accord de la connaissance avec son objet, est ici admise et supposée ; mais on veut savoir quel est le critérium général et certain de la vérité de toute connaissance.

C’est déjà une grande et infaillible preuve de sagesse et de lumières que de savoir ce que l’on peut raisonnablement demander. En effet, si la question est absurde en soi et si elle appelle des réponses oiseuses, non-seulement elle couvre de honte celui qui la fait, mais elle a aussi parfois l’inconvénient de jeter dans l’absurdité lui qui y répond sans y prendre garde, et de présenter ainsi le ridicule spectacle de deux personnes, dont l’une trait le bouc (comme disaient les anciens), tandis que l’autre tient le baquet.

Si la vérité consiste dans l’accord d’une connaissance avec son objet, cet objet doit être par-là même distingué de tout autre ; car une connaissance contînt-elle d’ailleurs des idées applicables à un autre objet, elle est fausse quand elle ne s’accorde pas avec celui auquel elle se rapporte. D’un autre côté, un critérium universel de la vérité devrait être bon pour toutes les connaissances, sans distinction de leurs objets. Mais, puisqu’on y ferait abstraction de tout contenu de la connaissance (de son rapport à son objet), et que la vérité porte justement sur ce contenu, il est clair qu’il est tout à fait impossible et absurde de demander une marque distinctive de la vérité de ce contenu des connaissances, et qu’on ne saurait trouver un signe suffisant à la fois et universel de la vérité. Et, comme le contenu d’une connaissance a été nommé plus haut la matière de cette connaissance, il est juste de dire qu’il n’y a point de critérium universel à chercher pour la vérité de la connaissance de la matière, puisque cela est contradictoire en soi.

Alors juste deux remarques : ce que Kant appelle définition nominale de la vérité (accord de la connaissance avec son objet) est exactement ce que les logiciens entendent par l'usage du symbole ⊨, ensuite l'absence de critère universel de la vérité car c'est contradicroire en soi, c'est ce que prouve le théorème d'incomplétude de Gödel. Bon, celui de Gödel est plus spécifique que la remarque de Kant. Kant traite le cas d'un critère qui vaudrait pour tout objet et toute théorie, là où Gödel a montré que même en se restraignant à la théorie arithmétique, un tel critère ne pouvait exister.

Je voudrais aussi terminer sur la question : à quoi ressemble un modèle de l'arithmétique ? Pour cela, on va d'abord traiter d'un modèle de la théorie des ordres. Une relation d'ordre c'est, intuitivment, ce que l'on pense derrière le symbole <. Un modèle d'une telle théorie est par exemple cette image :

A < B < C

C'est la donné de trois objets (ici A, B et C) ainsi que d'une relation entrer eux qui doit satisafaire aux axiomes de la théorie : c'est un graphe orienté (A , B et C en sont les noeuds, la relation étant caractérisée par les arêtes du graphe). On peut voir par exemple que cette théorie aussi est incompléte : la proposition il existe un plus grand élément n'est ni prouvable, ni réfutable. En effet, le modèle avec mes trois objets satisfait cette proposition, C étant un plus grand élément (il y a accord entre la proposition et l'objet) tandis que si je prend pour modèle les entiers naturels, il n'y a pas de plus grand élément. Or si la proposition était prouvable, elle devrait être vraie dans tout modèle (d'après le théorème de complétude), ce qui n'est pas le cas.

Maintenant, un modèle de l'arithmétique est aussi un graphe orienté : celui qui contient toutes les listes chaînées sans cycle:

│  ←  │  ←  │  ←  │  ←  │ ← ...

Cantor appelait cela un ordinal infini.

Une petite remarque en passant sur les entiers binaires : on peut les voir comme des chemins dans un arbre binaire équilibré (qui est aussi un graphe).

           ●
         ╱   ╲
       ●       ●
     ╱  ╲     ╱  ╲
    ●    ●   ●    ●

Ici, au feuille du bas on a les 4 nombres sur 2 bits. Si partant de la racine on fait gauche-droite (01) on tombe sur 1, et droite-gauche (10) on tombe sur deux. Maintenant en considérant l'arbre infini, on a un équivalent de l'ordinal des listes chaînées. À chaque étage, on a une liste finie, qui grandit exponentiellement par rapport à la hauteur de l'arbre ou reciproquement la hauteur est logarithmique en la taille de la liste. On a l'algorithme de compression de nos mésopotamiens, mais eux ils ont dix branches à chaque étage (la base dix).

Pour finir, rapidement, sur une question de mahikeulbody sur les postulats et les axiomes en physique quantique. L'interprétation probabiliste des vecteurs d'états lors d'une mesure, concerne la sémantique du système, le passage des propositions au monde physique, c'est-à-dire le ⊨. Pour de la lecture en rapport avec toute cette discussion : Bohr's complementarity and Kant's epistemology.

P.S : désolé pour le pavé, et les typos qu'il doit y avoir dans mon texte (la flemme de la relecture).

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

J'ai perdu une occasion de me taire, et c'est encore un cas où l'on se rend compte qu'il est plus simple de promettre que de tenir. Le temps m'a manqué ce week-end, et même là, en ayant réfléchi à ce que voulais dire, j'ai du mal à faire le tri dans ce que je dois garder et ce que je dois exposer. Je tente tout de même l'essai, en espérant ne pas m'avancer trop loin dans l'abstraction (la philosophie kantienne est éminemment abstraite).

Comme j'ai été mal compris sur que l'on entend par chose en soi (mais je m'y attendais), et que cela a trait à la question qu'est-ce que la réalité ?, je me dois de revenir en premier lieu sur ce que les kantiens entendent par réalité. La discussion ayant pour origine un théorie d'unification de la physique, je vais citer un passage d'un livre sur la physique quantique :

Songeons à une pierre. C'est un objet qui existe « pleinement » au sens où nous n'hésitons pas à lui attribuer par la pensée des propriétés bien définies : une taille, une forme, une couleur qui sont ce qu'elles sont, même en l'absence d'observateur. Les objets quantiques, eux, ne semblent pas pouvoir être considérer de la sorte puisque leur propriétés ne sont pas toujours déterminées antérieurement à la mesure qui en est faite.

Étienne Klein, Petit voyage dans le monde des quanta, Flammarion p. 90

Alors au risque de vous surprendre (et peut être de me prendre pour un fou, mais j'ai l'habitude ;-), dans ce texte, ce qui me dérange n'est pas ce qu'il dit des objets quantiques, mais bien ce qu'il dit de la pierre. Non seulement j'hésite à la doter de tels attributs, mais en plus je le nie farouchement ! Partant, j'ai un avantage sur nombre de physiciens (la plupart sont ce que Kant appelait des réalistes transcendentaux, ils attribuent ces propriétés à la pierre), c'est que les objets soumis aux principes de la relativité générale ou les objets quantique sont traités de manière homogène : ils n'ont aucune existence en dehors du rapport à l'expérience.

Dans ce court extrait, un malentendu peut survenir du fait de l'ambiguité de l'expression « en l'absence d'observateur ». En effet, celle-ci peut ou bien signifier la non présence effective d'un personne observant la pierre, ou bien signifier faire abstraction de tout rapport à l'observation (que celle-ci soit effective ou potentielle). C'est sous cette deuxième signification que les kantiens parlent de la chose en soi : les objets, qui nous apparaissent comme spatio-temporellemt déterminés ou determinables dans l'expérience, sont cette fois considérés (dans la pensée) non dans leur rapport à notre perception, mais en eux-mêmes, c'est-à-dire en soi. Vient alors la question : ces attributs, dont je dote la pierre comme objet d'expérience possible, lui reviennent-ils aussi, lorsque je la considère en soi ? À cette dernière, les kantiens répondent par la négative.

Mais s'il y a une connaissance possible des choses en soi (ce que les kantiens nient aussi), elle ne peut relever de la physique, qui n'a pour objet que des phénomènes, c'est-à-dire des objets considérés dans leur rapport à une expérience possible, et non des choses en soi. C'est ce que voulais dire lorsque j'ai écrit :

Assurèment, pour un kantien, il se cache quelque chose derrière les apparences de l'intuition, mais cette chose sera à jamais inconnaissable et est ineffable : c'est la chose en soi.

Pour un exposé plus détaillé sur l'origine des intuitions de l'espace et du temps, il faut lire le chapitre sur l'esthétique transcendentale de la Critique de la raison pure. Chapitre dans lequel, Kant écrit entre autre :

le concept transcendental des phénomènes dans l’espace nous suggère cette observation critique que rien en général de ce qui est perçu dans l’espace n’est une chose en soi, et que l’espace n’est pas une forme des choses considérées en elles-mêmes, mais que les objets ne nous sont pas connus en eux-mêmes, et que ce que nous nommons objets extérieurs consiste dans de simples représentations de notre sensibilité, dont l’espace est la forme, mais dont le véritable corrélatif, c’est-à-dire la chose en soi, n’est pas et ne peut pas être connu par là. Aussi bien ne s’en enquiert-on jamais dans l’expérience.

Ici, c'est moi qui est graissé. Lorsque tu dis :

j'ai plutôt envie de dire que la physique pourrait un jour évoluer vers une théorie représentant la réalité telle qu'elle est, mais qu'on ne pourra jamais en être sûr. Dis autrement, pour moi la réalité n'est pas forcément inconnaissable (au sens inaccessible), ce qui serait inaccessible, c'est savoir si une théorie la décrit telle qu'elle est (quand bien même sa cohérence avec tous les observables serait totale).

je te répondrais que les kantiens considérent que la physique nous représentent bien la réalité telle qu'elle est, à condition de se restreindre par là à la réalité phénoménale; réalité qui alors, comme elle n'est considérée que comme un objet d'expérience possible, est nécessairement soumise aux pures formes de l'intuition humaine que sont l'espace et le temps. Néanmoins, si l'on cherche à savoir quelles sont ces choses qui nous apparaissent dans l'espace et dans le temps, alors d'une part on ne le saura jamais, et d'autre part ce n'est pas l'objet de la physique comme science.

Kant, dans toute sa philosophie, s'est concentré sur deux problèmes centraux : quelle est l'origine de nos intuitions et de nos concepts (empirique ou a priori) ? quelles sont les limites de leur usage légitime (immanent ou transcendant) ? À la première, en bon rationaliste, il répond que certaines intuitions (espace et temps) et certains concepts (les catégories) ont leur origine a priori dans notre faculté de connaître, mais que tout usage transcendant (au-delà des limites de l'expérience possible) est illégitime. Ainsi, lorsque l'on cherche à attribuer des propriétés spatio-temporelles à la pierre en soi, ou même à considérer le temps comme un concept émergeant d'une réalité connaissable en soi, je réponds comme le satellite de 2PetitsVerres : ILLEGAL CPU INSTRUCTION :-D

Je dois m'arrêter là pour le moment. Je pourrais reprendre l'écriture de mon commentaire plus tard, et poster le tout en un seul message, mais je préfère envoyer déjà cet éclaircissement préliminaire et rédiger plus tard (si cela intéresse quelqu'un) ce que je m'étais engagé à faire sur le traitement de la signification et de la vérité, là où apparaît la nécessité de poser l'espace et le temps comme intuitions primitives pour faire des mathématiques. En attendant, ceux intéressés pourront consulter cette brochure sur l'initiation à l'histoire des mathématiques et lire les deux textes de Einstein et Kant aux pages 6 et 7, textes auxquels je rajouterais celui-ci :

Des pensées sans contenu sont vides, des intuitions sans concepts sont aveugles. Par conséquent, il est tout aussi nécessaire de rendre sensibles ses concepts (c’est-à-dire de leur adjoindre l’objet dans l’intuition) que de se rendre intelligibles ses intuitions (c’est-à-dire de les subsumer sous des concepts). Les deux pouvoirs ou capacités ne peuvent pas non plus échanger leurs fonctions. L’entendement ne peut rien intuitionner et les sens ne peuvent rien penser. C’est seulement dans la mesure où ils se combinent que peut se produire de la connaissance.

Kant, Critique de la raison pure

En logique, le taquet ⊢ traite des jugements (formés à partir des concepts) dans leur rapports respectifs tandis que le ⊨ leur adjoint une intuition sans laquelle il resterait vide, sans signification et sans rapport à la vérité. C'est dans ce rapport à l'intuition qu'interviennent l'espace et le temps, par l'interprétation algorithmique des mathématiques, d'où mon clin d'oeil à la théorie de la complexité algorithmique dans un précédent message.

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

Du coup, la réponse à Voltairine est quand même un peu "élitiste", non ?

Sans doute, c'est pour cela que dans mon premier message je proposais à Pierre-Matthieu de développer sa pensée pour que l'on comprenne ce qu'il voulait dire.

Mais, autant que je le comprennes, sa position epistémologique est assez classique et pas spécialement propre à Niels Bohr. Elle est commune à l'ensemble des physiciens, Einstein y compris, et pourtant leurs différends épistémologiques ont fait des étincelles. ;-)

Dans son recueil de texte intitulé Comment je vois le monde, on trouve un article qu'Einstein a écrit sur la philosophie de Russell. On peut y trouver cette citation tirée de An inquiry into Meaning and Truth :

Nous commençons tous avec le réalisme naïf, c'est-à-dire avec la doctrine que les objets sont tels qu'ils paraissent. Nous admettons que l'herbe est verte, que la neige est froide et que les pierre sont dures. Mais la physique nous assure que le vert des herbes, le froid de la neige et la dureté des pierres ne sont pas le même vert, le même froid et la même dureté que nous connaissons par notre expérience, mais quelque chose de totalement différent. L'observateur qui prétend observer une pierre observe, en réalité, si nous voulons ajouter foi à la physique, les impressions des pierres sur lui-même. C'est pourquoi la science paraît être en contradiction avec elle-même; quand elle se considère comme étant extrêmement objective, elle plonge contre sa volonté dans la subjectivité. Le réalisme naîf conduit à la physique, et la physique montre de sno côté, que ce réalisme naîf, dans la mesure où il reste conséquent, est faux. Logiquement faux, donc faux.

Russell, An inquiry into Meaning and Truth.

Après avoir cité Russell, Einstein ajoute ce commentaire : « Mise à part leur parfaite formulation, ces lignes expriment quelque chose à laquelle je n'avais jamais songé ». C'est ce réalisme naïf que la physique rejette et contre lequel un enseignant en physique doit prémunire ses étudiants.

Cette idée, Russell la développe en longueur et d'une façon extrêmement clair dans son ouvrage Les problèmes de philosophie en particulier dans son premier chapitre Apparence et réalité.

Cela vaut tout autant pour la température. Henri Poincaré traite cette problématique philosophique à sa façon dans La science et l'hypothèse, en particulier dans son chapitre sur la mécanique classique. Traitant du problème de ce qu'il nomme la mécanique anthropomorphique (là où Russell parle de réalisme naîf), on peut lire :

Ce qui importe, ce n’est pas de savoir ce que c’est que la force, c’est de savoir la mesurer.

Tout ce qui ne nous apprend pas à la mesurer est aussi inutile au mécanicien, que l’est, par exemple, la notion subjective de chaud et de froid au physicien qui étudie la chaleur. Cette notion subjective ne peut se traduire en nombres, donc elle ne sert à rien ; un savant dont la peau serait absolument mauvaise conductrice de la chaleur et qui, par conséquent, n’aurait jamais éprouvé, ni sensations de froid, ni sensations de chaud, pourrait regarder un thermomètre tout aussi bien qu’un autre, et cela lui suffirait pour construire toute la théorie de la chaleur.

Poincaré, La science et l'hyptothèse

Autrement dit, un être humain pourrait être totalement dépourvu de toute sensation de chaud et de froid, cela ne empêcherai pas de développer la notion de température. Notion qui nécessite, tout de même, de poser au fondement les intuitions de l'espace et du temps : c'est une mesure statistique d'agitation des molécules, c'est-à-dire du mouvement, et un mouvement sans espace ni temps est vide de sens.

Pour revenir au thème original du journal, on pourra aussi lire un autre ouvrage de Poincaré : La valeur de la science. On y trouve au chapitre sur la Crise actuelle de la physique mathématique, un exposé sur la théorie du temps local de Lorentz et la synchronisation des horloges par des rayons lumineux. Théorie qui donnera par la suite la fameuse relativité restreinte d'Einstein.

Je manque de temps pour développer ce que je souhaite, je continuerais donc dans un autre commentaire. Mais avant cela, je voudrais ajouter une dernière chose.

Au final, et contrairement à ce que j'ai cru comprendre à tort, ce n'est pas tant le fait que le temps puisse être un phénomène émergeant (voire même une illusion) que PMA trouve absurde (c'est peut-être le cas mais il me semble maintenant que ce n'était pas l'objet de son commentaire), mais le fait qu'on puisse espérer le déduire d'une théorie.

Je partage son point de vue là-dessus. Il me faudra, comme Russell, faire une enquête sur la signification et la vérité. Cela me permettra, au passage, de reprendre notre discussion sur l'axiomatisation de la physique. Dans l'article que je t'avais donné, il y avait deux symboles utilisés : ⊢ et ⊨. Le premier concerne ce que l'on peut prouver et le second traite de la sémantique, c'est-à-dire de la signification et de la vérité. Les énoncés peuvent ne pas évoquer le temps, mais pour leur donner un sens, parler de vérité, il faut les interpréter et c'est dans ce passage (le ⊨) qu'interviennent les intuitions pures de l'espace et du temps, ce que Kant appelait la schématisation des concepts (et c'est aussi là que se trouvent ce que tu appellais les postulats de la physique quantique, et non dans les axiomes, qui eux sont concernés par la déduction et le ⊢).

J'espère trouver du temps d'ici la fin du week-end pour revenir là-dessus.

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

Il n'est pas question de faire disparaître le concept temps mais de l'interroger et de se demander si derrière les apparences issues de l'intuition ne se cache pas une réalité totalement différente.

J'ai oublié de répondre à ce point. Assurèment, pour un kantien, il se cache quelque chose derrière les apparences de l'intuition, mais cette chose sera à jamais inconnaissable et est ineffable : c'est la chose en soi. Aucune science, et certainement pas la physique, ne pourra nous renseigner sur ce qu'elle est. Non que je critique les théories qui cherchent à unifier la gravitation relativiste et la physique quantique, mais à chaque fois que les physiciens cherchent à les traduire dans le language vernaculaire, je trouve leur traduction douteuse.

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

Second appel à l'argument d'autorité, c'est lassant…

Ce n'est pas cela un appel à l'argument d'autorité. ;-) Un argument d'autorité eut été de dire que Pierre-Matthieu a raison de qualifier la conclusion d'absurde parce qu'il est enseignant-chercheur en physique. Ce qui n'a rien à voir avec ce que j'ai dit. Je trouvais juste amusant que tu sous-entendes qu'il ne connaissait pas l'état actuel de la physique (« Et considérer que la physique « décrit le matériel » (par opposition à la philosophie ?) me paraît être une conception désuète voire erronée. ») et de lui proposer une fiche wikipédia pour l'instruire.

C'est marrant cette tendance à prendre les choses au pied de la lettre et de manière caricaturale tout en invoquant l’épistémologie et en écartant la philosophie :-D

C'est marrant cette tendance à invoquer l'épistémologie et la philosophie tout en ignorant cette discipline: :-D

Je préfère me citer de manière non tronquée ;-)

ma position epistémologique étant que cela rendrait les physiciens-mathématiciens dans l'incapicité de faire des mathématiques (pour schématiser leur concept mathématiques, ils ont besoin des formes pure de l'intuition sensible humaine que sont l'espace et le temps).

Le texte entre parenthèse étant une référence à la conception kantienne de l'espace et du temps telle qu'exposée dans la Critique de la raison pure. Mais peut être n'est-ce pas là un ouvrage de philosophie ni d'épistémologie ? D'ailleurs, d'après Wikipédia, le terme épistémologie fut introduit en français à la suite de la traduction d'un ouvrage de Bertrand Russell :

L'introduction en 1901 du mot « épistémologie » en français résulte d'un emprunt à l'anglais epistemology à l'occasion de la traduction de l'Essai sur les fondements de la géométrie de Bertrand Russell, le mot anglais ayant été lui-même formé pour traduire l'allemand Wissenschaftslehre, désignation par le philosophe postkantien Johann Gottlieb Fichte de sa propre philosophie comme Doctrine de la science.

Fichte étant lui-même un disciple de Kant mais qui, de mon point de vue, s'est égaré dans le transcendant (au-delà des limites de l'expérience) faisant fi des limites posées par son maître dans la Critique. Quoi qu'il en soit, la Doctrine de la science de Fichte est sa version de ce que Kant entreprit dans la Critique, et Russell appellait epistemology la démarche initiée par Kant dans sa philosophie.

Soit dit en passant, si nous avons aujourd'hui l'ordinateur c'est en partie grâce à Kant et une thèse qu'il a soutenu dans la Critique :

Les jugements mathématiques sont tous synthétiques. Cette proposition semble avoir échappé jusqu’ici à l’observation de tous ceux qui ont analysé la raison humaine, et elle paraît même en opposition avec toutes leurs suppositions ; elle est pourtant incontestablement certaine, et elle a une grande importance par ses résultats. En effet, comme on trouvait que les raisonnements des mathématiques procédaient tous suivant le principe de contradiction (ainsi que l’exige la nature de toute certitude apodictique), on se persuadait que leurs principes devaient être connus aussi à l’aide du principe de contradiction, en quoi l’on se trompait ; car si le principe de contradiction peut nous faire admettre une proposition synthétique, ce ne peut être qu’autant qu’on présuppose une autre proposition synthétique, d’où elle puisse être tirée, mais en elle-même elle n’en saurait dériver.

Kant, Critique de la raison pure

Le mathématicien et philosophe Gottlob Frege voulu la réfuter en développant son idéographie et la théorie des ensembles dites de Cantor-Frege pour montrer que la seule logique était suffisante pour fonder l'arithmétique. Cette dernière s'avéra contradictoire, ce qui mit un peu le bordel au sein de la communauté mathématique. C'est de cette contradiction que sortie le deuxième problème de Hilbert, puis plus tard son problème de la décision, problème qui reçu une réponse négative de la part de Turing via son problème de l'arrêt.

Cette thèse fait partie ce qu'il est convenu d'appelé philosophie kantienne des mathématiques au même titre que sa doctrine de l'espace et du temps et sa théorie du schématisme que j'ai brièvement résumé dans mon précédent message par : pas de temps, pas de mathématiques et, a fortiori, pas de physique théorique. Les notions d'espace et de temps n'ont pas la même origine que celle de la température.

On voit par tout cela ce que contient et représente le schème de chaque catégorie : celui de la quantité, la production (la synthèse) du temps lui-même dans l’appréhension successive d’un objet ; celui de la qualité, la synthèse de la sensation (de la perception) avec la présentation du temps, ou ce qui remplit le temps; celui de la relation, le rapport qui unit les perceptions en tout temps (c’est-à-dire suivant une règle de la détermination du temps) ; enfin le schème de la modalité et de ses catégories, le temps lui-même comme corrélatif de l’acte qui consiste à déterminer si et comment un objet appartient au temps. Les schèmes ne sont donc autre chose que des déterminations à priori du temps faites d’après certaines règles ; et ces déterminations, suivant l’ordre des catégories, concernent la série du temps, le contenu du temps, l’ordre du temps, enfin l’ensemble du temps par rapport à tous les objets possibles.

Kant; Critique de la raison pure

La schématisation c'est ce qui permet à un physicien d'appliquer au réel, dans une connaissance expérimentale, des concepts que, pourtant, ils n'empruntent pas à l'expérience (comme le sont tous les concepts mathématiques).

Essaye, par exemple, de développer une théorie de la complexité algorithmique sans poser au fondement les intuitions pures de l'espace et du temps.  ;-)

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

Je te renvoie à la page Wikipedia qui en donne une définition correcte tout en décrivant son évolution.

Internet reste un endroit marrant, on peut y trouver des personnes expliquant à un enseignant-chercheur en physique ce qu'est … la physique. Je ne m'en lasserai jamais. :-)

Cela étant dit, je ne serai pas contre le fait que Pierre-Matthieu développe ce qu'il entend lorsqu'il dit qu'elle décrit le matériel et que l'on ne doit pas la confondre avec son objet. Afin de la rassurer, je lui accorde qu'il a du temps, celui-ci n'ayant pas disparu, ma position epistémologique étant que cela rendrait les physiciens-mathématiciens dans l'incapicité de faire des mathématiques (pour *schématiser leur concept mathématiques, ils ont besoin des formes pure de l'intuition sensible humaine que sont l'espace et le temps).

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.